精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第十六講 質(zhì)數(shù)與合數(shù)我們知道，每一個(gè)自然數(shù)都有正因數(shù)(因數(shù)又稱約數(shù))例如，1有一個(gè)正因數(shù)；2，3，5都有兩個(gè)正因數(shù)，即1和其本身；4有三個(gè)正因數(shù)：1，2，4；12有六個(gè)正因數(shù)：1，2，3，4，6，12由此可見，自然數(shù)的正因數(shù)，有的多，有的少除了1以外，每個(gè)自然數(shù)都至少有兩個(gè)正因數(shù)我們把只有1和其本身兩個(gè)正因數(shù)的自然數(shù)稱為質(zhì)數(shù)(又稱素?cái)?shù))，把正因數(shù)多于兩個(gè)的自然數(shù)稱為合數(shù)這樣，就把全體自然數(shù)分成三類：1，質(zhì)數(shù)和合數(shù)2是最小的質(zhì)數(shù)，也是唯一的一個(gè)既是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)的數(shù)也就是說，除了2以外，質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)，小于100的質(zhì)數(shù)有如下25個(gè)：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97質(zhì)數(shù)具有許多重要的性質(zhì)：性質(zhì)1 一個(gè)大于1的正整數(shù)n，它的大于1的最小因數(shù)一定是質(zhì)數(shù)性質(zhì)2 如果n是合數(shù)，那么n的最小質(zhì)因數(shù)a一定滿足a2n性質(zhì)3 質(zhì)數(shù)有無窮多個(gè)(這個(gè)性質(zhì)將在例6中證明)性質(zhì)4(算術(shù)基本定理)每一個(gè)大于1的自然數(shù)n，必能寫成以下形式：這里的P1，P2，Pr是質(zhì)數(shù)，a1，a2，ar是自然數(shù)如果不考慮p1，P2，Pr的次序，那么這種形式是唯一的關(guān)于質(zhì)數(shù)和合數(shù)的問題很多，著名的哥德巴赫猜想就是其中之一哥德巴赫猜想是：每一個(gè)大于2的偶數(shù)都能寫成兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和這是至今還沒有解決的難題，我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在這個(gè)問題上做了到目前為止最好的結(jié)果，他證明了任何大于2的偶數(shù)都是兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和或一個(gè)質(zhì)數(shù)與一個(gè)合數(shù)的和，而這個(gè)合數(shù)是兩個(gè)質(zhì)數(shù)的積(這就是通常所說的1+2)下面我們舉些例子例1 設(shè)p，q，r都是質(zhì)數(shù)，并且p+q=r，pq求p解 由于r=p+q，所以r不是最小的質(zhì)數(shù)，從而r是奇數(shù)，所以p，q為一奇一偶因?yàn)閜q，故p既是質(zhì)數(shù)又是偶數(shù)，于是p=2例2 設(shè)p(5)是質(zhì)數(shù)，并且2p+1也是質(zhì)數(shù)求證：4p+1是合數(shù)證 由于p是大于3的質(zhì)數(shù)，故p不會(huì)是3k的形式，從而p必定是3k+1或3k+2的形式，k是正整數(shù)若p=3k+1，則2p+1=2(3k+1)+1=3(2k+1)是合數(shù)，與題設(shè)矛盾所以p=3k+2，這時(shí)4p+1=4(3k+2)+1=3(4k3)是合數(shù)例3 設(shè)n是大于1的正整數(shù)，求證：n4+4是合數(shù)證 我們只需把n4+4寫成兩個(gè)大于1的整數(shù)的乘積即可n4+4=n4+4n2+4-4n2(n2+2)2-4n2(n2-2n+2)(n2+2n+2)，因?yàn)閚2+2n2n2-2n+2=(n-1)2+11，所以n4+4是合數(shù)例4 是否存在連續(xù)88個(gè)自然數(shù)都是合數(shù)？解 我們用n！表示1×2×3××n.令a=1×2×3××89=89！，那么，如下連續(xù)88個(gè)自然數(shù)都是合數(shù)：a+2，a+3，a+4，a+89這是因?yàn)閷?duì)某個(gè)2k89，有a+k=k×(2××(k-1)×(k+1)××89+1)是兩個(gè)大于1的自然數(shù)的乘積說明 由本例可知，對(duì)于任意自然數(shù)n，存在連續(xù)的n個(gè)合數(shù)，這也說明相鄰的兩個(gè)素?cái)?shù)的差可以任意的大用(a，b)表示自然數(shù)a，b的最大公約數(shù)，如果(a，b)=1，那么a，b稱為互質(zhì)(互素)例5 證明：當(dāng)n2時(shí)，n與n！之間一定有一個(gè)質(zhì)數(shù)證 首先，相鄰的兩個(gè)自然數(shù)是互質(zhì)的這是因?yàn)?a，a-1)=(a，1)1，于是有(n！，n！-1)=1由于不超過n的自然數(shù)都是n！的約數(shù)，所以不超過n的自然數(shù)都與n！-1互質(zhì)(否則，n！與n！-1不互質(zhì))，于是n！-1的質(zhì)約數(shù)p一定大于n，即npn！-1n！所以，在n與n！之間一定有一個(gè)素?cái)?shù)例6 證明素?cái)?shù)有無窮多個(gè)證 下面是歐幾里得的證法假設(shè)只有有限多個(gè)質(zhì)數(shù)，設(shè)為p1，p2，pn.考慮p1p2pn+1，由假設(shè)，p1p2pn+1是合數(shù)，它一定有一個(gè)質(zhì)約數(shù)p顯然，p不同于p1，p2，pn，這與假設(shè)的p1，p2，pn為全部質(zhì)數(shù)矛盾例7 證明：每一個(gè)大于11的自然數(shù)都是兩個(gè)合數(shù)的和證 設(shè)n是大于11的自然數(shù)(1)若n=3k(k4)，則n3k=6+3(k-2)；(2)若n=3k+1(k4)，則n=3k+1=4+3(k-1)；(3)若n=3k+2(k4)，則n=8+3(k-2)因此，不論在哪種情況下，n都可以表為兩個(gè)合數(shù)的和例8 求不能用三個(gè)不同合數(shù)的和表示的最大奇數(shù)解 三個(gè)最小的合數(shù)是4，6，8，它們的和是18，于是17是不能用三個(gè)不同的合數(shù)的和表示的奇數(shù)下面證明大于等于19的奇數(shù)n都能用三個(gè)不同的合數(shù)的和來表示由于當(dāng)k3時(shí)，4，9，2k是三個(gè)不同的合數(shù)，并且4+9+2k19，所以只要適當(dāng)選擇k，就可以使大于等于19的奇數(shù)n都能用4，9，2k(k=n-13/2)的和來表示 綜上所述，不能表示為三個(gè)不同的合數(shù)的和的最大奇數(shù)是17練習(xí)十六1求出所有的質(zhì)數(shù)p，使p+10，p+14都是質(zhì)數(shù)2若p是質(zhì)數(shù)，并且8p2+1也是質(zhì)數(shù)，求證：8p2-p+2也是質(zhì)數(shù)3當(dāng)m1時(shí)，證明：n4+4m4是合數(shù)4不能寫成兩個(gè)合數(shù)之和的最大的自然數(shù)是幾？5設(shè)p和q都是大于3的質(zhì)數(shù)，求證：24p2-q26設(shè)x和y是正整數(shù)，xy，p是奇質(zhì)數(shù)，并且求x+y的值專心-專注-專業(yè)