2019-2020年人教版高中數(shù)學(xué)必修二教案：2-3-4 平面與平面垂直的性質(zhì)項(xiàng)目?jī)?nèi)容課題2.3.4 平面與平面垂直的性質(zhì)（1課時(shí)）修改與創(chuàng)新教學(xué)目標(biāo)1.探究平面與平面垂直的性質(zhì)定理，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力.2.面面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力.3.通過平面與平面垂直的性質(zhì)定理的學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化的思想.教學(xué)重、難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):平面與平面垂直的性質(zhì)定理.教學(xué)難點(diǎn):平面與平面性質(zhì)定理的應(yīng)用.教學(xué)準(zhǔn)備多媒體課件教學(xué)過程復(fù)習(xí)（1）面面垂直的定義.如果兩個(gè)相交平面所成的二面角為直二面角，那么這兩個(gè)平面互相垂直.（2）面面垂直的判定定理.兩個(gè)平面垂直的判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直.兩個(gè)平面垂直的判定定理符號(hào)表述為：.兩個(gè)平面垂直的判定定理圖形表述為：圖1如圖2，長(zhǎng)方體ABCDABCD中，平面AADD與平面ABCD垂直,直線AA垂直于其交線AD.平面AADD內(nèi)的直線AA與平面ABCD垂直嗎？圖2提出問題如圖3,若,=CD,AB,ABCD,ABCD=B.請(qǐng)同學(xué)們討論直線AB與平面的位置關(guān)系.圖3用三種語言描述平面與平面垂直的性質(zhì)定理，并給出證明.設(shè)平面平面,點(diǎn)P,Pa,a,請(qǐng)同學(xué)們討論直線a與平面的關(guān)系.分析平面與平面垂直的性質(zhì)定理的特點(diǎn)，討論應(yīng)用定理的難點(diǎn).總結(jié)應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理的口訣.活動(dòng):問題引導(dǎo)學(xué)生作圖或借助模型探究得出直線AB與平面的關(guān)系.問題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行語言轉(zhuǎn)換.問題引導(dǎo)學(xué)生作圖或借助模型探究得出直線a與平面的關(guān)系.問題引導(dǎo)學(xué)生回憶立體幾何的核心，以及平面與平面垂直的性質(zhì)定理的特點(diǎn).問題引導(dǎo)學(xué)生找出應(yīng)用平面與平面垂直的性質(zhì)定理的口訣.討論結(jié)果：通過學(xué)生作圖或借助模型探究得出直線AB與平面垂直,如圖3.兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理用文字語言描述為：如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一平面.兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理用圖形語言描述為：如圖4.圖4兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理用符號(hào)語言描述為：AB.兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理證明過程如下：圖5如圖5，已知,=a,AB，ABa于B.求證：AB.證明：在平面內(nèi)作BECD垂足為B,則ABE就是二面角CD的平面角.由,可知ABBE.又ABCD，BE與CD是內(nèi)兩條相交直線,AB.問題也是闡述面面垂直的性質(zhì)，變?yōu)槲淖謹(jǐn)⑹鰹椋呵笞C：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么經(jīng)過第一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面的直線，在第一個(gè)平面內(nèi).下面給出證明.如圖6,已知，P，Pa，a.求證：a.圖6證明：設(shè)=c，過點(diǎn)P在平面內(nèi)作直線bc，,b.而a，Pa,經(jīng)過一點(diǎn)只能有一條直線與平面垂直,直線a應(yīng)與直線b重合.那么a. 利用“同一法”證明問題，主要是在按一般途徑不易完成問題的情形下所采用的一種數(shù)學(xué)方法，這里要求做到兩點(diǎn).一是作出符合題意的直線b，不易想到，二是證明直線b和直線a重合，相對(duì)容易些.點(diǎn)P的位置由投影所給的圖及證明過程可知，可以在交線上，也可以不在交線上. 我認(rèn)為立體幾何的核心是：直線與平面垂直，因?yàn)榱Ⅲw幾何的幾乎所有問題都是圍繞它展開的，例如它不僅是線線垂直與面面垂直相互轉(zhuǎn)化的橋梁，而且由它還可以轉(zhuǎn)化為線線平行，即使作線面角和二面角的平面角也離不開它.兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理的特點(diǎn)就是幫我們找平面的垂線，因此它是立體幾何中最重要的定理. 應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理口訣是：“見到面面垂直，立即在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線”.應(yīng)用示例例1 如圖7，已知，a,a,試判斷直線a與平面的位置關(guān)系.圖7解:在內(nèi)作垂直于與交線的垂線b,b.a,ab.a,a.變式訓(xùn)練 如圖8,已知平面交平面于直線a.、同垂直于平面，又同平行于直線b.求證：(1)a；(2)b. 圖8 圖9證明：如圖9,(1)設(shè)=AB，=AC.在內(nèi)任取一點(diǎn)P并在內(nèi)作直線PMAB，PNAC.，PM.而a，PMa.同理,PNa.又PM，PN，a.(2)在a上任取點(diǎn)Q，過b與Q作一平面交于直線a1，交于直線a2.b，ba1.同理,ba2. a1、a2同過Q且平行于b，a1、a2重合.又a1，a2，a1、a2都是、的交線，即都重合于a.ba1，ba.而a，b.點(diǎn)評(píng)：面面垂直的性質(zhì)定理作用是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，見到面面垂直首先考慮利用性質(zhì)定理，其口訣是：“見到面面垂直，立即在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線”.例2 如圖10，四棱錐PABCD的底面是AB=2，BC=的矩形，側(cè)面PAB是等邊三角形，且側(cè)面PAB底面ABCD. 圖10 圖11（1）證明側(cè)面PAB側(cè)面PBC；（2）求側(cè)棱PC與底面ABCD所成的角；（3）求直線AB與平面PCD的距離.（1）證明：在矩形ABCD中，BCAB,又面PAB底面ABCD,側(cè)面PAB底面ABCD=AB,BC側(cè)面PAB.又BC側(cè)面PBC,側(cè)面PAB側(cè)面PBC.（2）解：如圖11,取AB中點(diǎn)E，連接PE、CE,又PAB是等邊三角形,PEAB.又側(cè)面PAB底面ABCD，PE面ABCD.PCE為側(cè)棱PC與底面ABCD所成角.PE=BA=,CE=,在RtPEC中，PCE=45為所求.（3）解：在矩形ABCD中，ABCD,CD側(cè)面PCD，AB側(cè)面PCD，AB側(cè)面PCD.取CD中點(diǎn)F，連接EF、PF，則EFAB.又PEAB,AB平面PEF.又ABCD,CD平面PEF.平面PCD平面PEF.作EGPF，垂足為G，則EG平面PCD.在RtPEF中，EG=為所求.變式訓(xùn)練 如圖12，斜三棱柱ABCA1B1C1的棱長(zhǎng)都是a，側(cè)棱與底面成60角，側(cè)面BCC1B1面ABC.求平面AB1C1與底面ABC所成二面角的大小.圖12活動(dòng):請(qǐng)同學(xué)考慮面BB1C1C面ABC及棱長(zhǎng)相等兩個(gè)條件，師生共同完成表述過程，并作出相應(yīng)輔助線.解：面ABC面A1B1C1，則面BB1C1C面ABC=BC,面BB1C1C面A1B1C1=B1C1,BCB1C1，則B1C1面ABC.設(shè)所求兩面交線為AE，即二面角的棱為AE,則B1C1AE，即BCAE.過C1作C1DBC于D，面BB1C1C面ABC,C1D面ABC，C1DBC.又C1CD=60,CC1=a,故CD=,即D為BC的中點(diǎn).又ABC是等邊三角形,BCAD.那么有BC面DAC1,即AE面DAC1.故AEAD，AEAC1,C1AD就是所求二面角的平面角.C1D=a，AD=a，C1DAD,故C1AD=45.點(diǎn)評(píng):利用平面與平面垂直的性質(zhì)定理,找出平面的垂線是解決問題的關(guān)鍵.課堂小結(jié)知識(shí)總結(jié)：利用面面垂直的性質(zhì)定理找出平面的垂線，然后解決證明垂直問題、平行問題、求角問題、求距離問題等.思想方法總結(jié)：轉(zhuǎn)化思想，即把面面關(guān)系轉(zhuǎn)化為線面關(guān)系，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.作業(yè)課本習(xí)題2.3 B組3、4.板書設(shè)計(jì)教學(xué)反思