2019-2020年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪（文） 第九章 9-3幾何概型教案1幾何概型設(shè)D是一個(gè)可度量的區(qū)域(例如線段、平面圖形、立體圖形等)，每個(gè)基本事件可以視為從區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，區(qū)域D內(nèi)的每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都一樣；隨機(jī)事件A的發(fā)生可以視為恰好取到區(qū)域D內(nèi)的某個(gè)指定區(qū)域d中的點(diǎn)這時(shí)，事件A發(fā)生的概率與d的測度(長度、面積、體積等)成正比，與d的形狀和位置無關(guān)把滿足這樣條件的概率模型稱為幾何概型2在幾何概型中，事件A的概率計(jì)算公式P(A).3幾何概型試驗(yàn)的兩個(gè)基本特點(diǎn)(1)無限性：在一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個(gè)；(2)等可能性：每個(gè)結(jié)果的發(fā)生具有等可能性【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)在一個(gè)正方形區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)的概率是零()(2)幾何概型中，每一個(gè)基本事件就是從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，該區(qū)域中的每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)相等()(3)在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形()(4)與面積有關(guān)的幾何概型的概率與幾何圖形的形狀有關(guān)()(5)從區(qū)間1,10內(nèi)任取一個(gè)數(shù)，取到1的概率是P.()1在線段0,3上任投一點(diǎn)，則此點(diǎn)坐標(biāo)小于1的概率為_答案解析坐標(biāo)小于1的區(qū)間為0,1，長度為1，0,3區(qū)間長度為3，故所求概率為.2(xx遼寧改編)若將一個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入如圖所示的長方形ABCD中，其中AB2，BC1，則質(zhì)點(diǎn)落在以AB為直徑的半圓內(nèi)的概率是_答案解析設(shè)質(zhì)點(diǎn)落在以AB為直徑的半圓內(nèi)為事件A，則P(A).3(xx福建)如圖，在邊長為1的正方形中隨機(jī)撒1 000粒豆子，有180粒落到陰影部分，據(jù)此估計(jì)陰影部分的面積為_答案0.18解析由題意知，這是個(gè)幾何概型問題，0.18，S正1，S陰0.18.4(xx山東)在區(qū)間3,3上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x使得|x1|x2|1成立的概率為_答案解析由絕對值的幾何意義知：使|x1|x2|1成立的x值為x1,3，由幾何概型知所求概率為P.題型一與長度、角度有關(guān)的幾何概型例1(1)在區(qū)間1,1上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，求cos x的值介于0到之間的概率(2)如圖所示，在ABC中，B60，C45，高AD，在BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M，求BM<1的概率解(1)如圖，由函數(shù)ycos x的圖象知，當(dāng)1<x<或<x<1時(shí)，0<cos x<.由概率的幾何概型知：cos x的值介于0到之間的概率為.(2)因?yàn)锽60，C45，所以BAC75，在RtABD中，AD，B60，所以BD1，BAD30.記事件N為“在BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M，使BM<1”，則可得BAM<BAD時(shí)事件N發(fā)生由幾何概型的概率公式，得P(N).思維升華幾何概型有兩個(gè)特點(diǎn)：一是無限性；二是等可能性基本事件可以抽象為點(diǎn)，盡管這些點(diǎn)是無限的，但它們所占據(jù)的區(qū)域都是有限的，因此可用“比例解法”求解幾何概型的概率(1)(xx湖南改編)在區(qū)間2,3上隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)X，則X1的概率為_(2)在半徑為1的圓內(nèi)的一條直徑上任取一點(diǎn)，過這個(gè)點(diǎn)作垂直于直徑的弦，則弦長超過圓內(nèi)接等邊三角形邊長的概率是_答案(1)(2)解析(1)在區(qū)間2,3上隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)X，則X1，即2X1的概率為P.(2)記事件A為“弦長超過圓內(nèi)接等邊三角形的邊長”，如圖，不妨在過等邊三角形BCD的頂點(diǎn)B的直徑BE上任取一點(diǎn)F作垂直于直徑的弦，當(dāng)弦為CD時(shí)，就是等邊三角形的邊長(此時(shí)F為OE中點(diǎn))，弦長大于CD的充要條件是圓心O到弦的距離小于OF，由幾何概型公式得：P(A).題型二與面積、體積有關(guān)的幾何概型例2(1)設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈，在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是_(2)有一個(gè)底面圓的半徑為1、高為2的圓柱，點(diǎn)O為這個(gè)圓柱底面圓的圓心，在這個(gè)圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為_思維點(diǎn)撥求隨機(jī)點(diǎn)所在區(qū)域與所有區(qū)域的面積或體積比答案(1)(2)解析(1)如圖所示，正方形OABC及其內(nèi)部為不等式組表示的區(qū)域D，且區(qū)域D的面積為4，而陰影部分表示的是區(qū)域D內(nèi)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的區(qū)域易知該陰影部分的面積為4.因此滿足條件的概率是.(2)先求點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離小于或等于1的概率，圓柱的體積V圓柱1222，以O(shè)為球心，1為半徑且在圓柱內(nèi)部的半球的體積V半球13.則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離小于或等于1的概率為，故點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為1.思維升華數(shù)形結(jié)合為幾何概型問題的解決提供了簡捷直觀的方法用圖解題的關(guān)鍵：用圖形準(zhǔn)確表示出試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域，由題意將已知條件轉(zhuǎn)化為事件A滿足的不等式，在圖形中畫出事件A發(fā)生的區(qū)域，通用公式：P(A).(1)在區(qū)間，內(nèi)隨機(jī)取出兩個(gè)數(shù)分別記為a，b，則函數(shù)f(x)x22axb22有零點(diǎn)的概率為_(2)在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，在正方體ABCDA1B1C1D1 內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為_答案(1)1(2)1解析(1)由函數(shù)f(x)x22axb22有零點(diǎn)，可得(2a)24(b22)0，整理得a2b22，如圖所示，(a，b)可看成坐標(biāo)平面上的點(diǎn)，試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?a，b)|a，b，其面積S(2)242.事件A表示函數(shù)f(x)有零點(diǎn)，所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)镸(a，b)|a2b22，即圖中陰影部分，其面積為SM423，故P(A)1.(2)V正238，V半球13，故點(diǎn)P到O的距離大于1的概率為1.題型三生活中的幾何概型問題例3甲、乙兩船駛向一個(gè)不能同時(shí)停泊兩艘船的碼頭，它們在一晝夜內(nèi)到達(dá)該碼頭的時(shí)刻是等可能的如果甲船停泊時(shí)間為1 h，乙船停泊時(shí)間為2 h，求它們中的任意一艘都不需要等待碼頭空出的概率思維點(diǎn)撥當(dāng)基本事件受兩個(gè)連續(xù)變量控制時(shí)，一般是把兩個(gè)連續(xù)變量分別作為一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，這樣基本事件就構(gòu)成了平面上的一個(gè)區(qū)域，即可借助平面區(qū)域解決解這是一個(gè)幾何概型問題設(shè)甲、乙兩艘船到達(dá)碼頭的時(shí)刻分別為x與y，A為“兩船都不需要等待碼頭空出”，則0x24,0y24，要使兩船都不需要等待碼頭空出，當(dāng)且僅當(dāng)甲比乙早到達(dá)1 h以上或乙比甲早到達(dá)2 h以上，即yx1或xy2.故所求事件構(gòu)成集合A(x，y)|yx1或xy2，x0,24，y0,24A為圖中陰影部分，全部結(jié)果構(gòu)成集合為邊長是24的正方形及其內(nèi)部所求概率為P(A).思維升華生活中的幾何概型度量區(qū)域的構(gòu)造方法：(1)審題：通過閱讀題目，提煉相關(guān)信息(2)建模：利用相關(guān)信息的特征，建立概率模型(3)解模：求解建立的數(shù)學(xué)模型(4)結(jié)論：將解出的數(shù)學(xué)模型的解轉(zhuǎn)化為題目要求的結(jié)論(xx重慶)某校早上8：00開始上課，假設(shè)該校學(xué)生小張與小王在早上7：307：50之間到校，且每人在該時(shí)間段的任何時(shí)刻到校是等可能的，則小張比小王至少早5分鐘到校的概率為_(用數(shù)字作答)答案解析在平面直角坐標(biāo)系中畫出由小王(x)和小張(y)到校的時(shí)間對應(yīng)的點(diǎn)(x，y)所構(gòu)成的平面區(qū)域，再畫出小張比小王至少早到5分鐘對應(yīng)的點(diǎn)(x，y)所構(gòu)成的平面區(qū)域，計(jì)算出兩區(qū)域的面積，利用幾何概型的概率公式計(jì)算即可設(shè)小王到校時(shí)間為x，小張到校時(shí)間為y，則小張比小王至少早到5分鐘時(shí)滿足xy5.如圖，原點(diǎn)O表示7：30，在平面直角坐標(biāo)系中畫出小王和小張到校的時(shí)間構(gòu)成的平面區(qū)域(圖中正方形區(qū)域)，該正方形區(qū)域的面積為400，小張比小王至少早到5分鐘對應(yīng)的圖形(圖中陰影部分)的面積為1515，故所求概率P.混淆長度型與面積型幾何概型致誤典例：在長度為1的線段上任取兩點(diǎn)，將線段分成三段，試求這三條線段能構(gòu)成三角形的概率易錯(cuò)分析不能正確理解題意，無法找出準(zhǔn)確的幾何度量來計(jì)算概率規(guī)范解答解設(shè)x、y表示三段長度中的任意兩個(gè)因?yàn)槭情L度，所以應(yīng)有0<x<1,0<y<1,0<xy<1，即(x，y)對應(yīng)著坐標(biāo)系中以(0,1)、(1,0)和(0,0)為頂點(diǎn)的三角形內(nèi)的點(diǎn)，如圖所示要形成三角形，由構(gòu)成三角形的條件知所以x<，y<，且xy>，故圖中陰影部分符合構(gòu)成三角形的條件因?yàn)殛幱安糠值娜切蔚拿娣e占大三角形面積的，故這三條線段能構(gòu)成三角形的概率為.溫馨提醒解決幾何概型問題的易誤點(diǎn)：(1)不能正確判斷事件是古典概型還是幾何概型，導(dǎo)致錯(cuò)誤(2)利用幾何概型的概率公式時(shí)，忽視驗(yàn)證事件是否具有等可能性，導(dǎo)致錯(cuò)誤方法與技巧1區(qū)分古典概型和幾何概型最重要的是看基本事件的個(gè)數(shù)是有限個(gè)還是無限個(gè)2轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用對一個(gè)具體問題，可以將其幾何化，如建立坐標(biāo)系將試驗(yàn)結(jié)果和點(diǎn)對應(yīng)，然后利用幾何概型概率公式(1)一般地，一個(gè)連續(xù)變量可建立與長度有關(guān)的幾何概型，只需把這個(gè)變量放在坐標(biāo)軸上即可；(2)若一個(gè)隨機(jī)事件需要用兩個(gè)變量來描述，則可用這兩個(gè)變量的有序?qū)崝?shù)對來表示它的基本事件，然后利用平面直角坐標(biāo)系就能順利地建立與面積有關(guān)的幾何概型；(3)若一個(gè)隨機(jī)事件需要用三個(gè)連續(xù)變量來描述，則可用這三個(gè)變量組成的有序數(shù)組來表示基本事件，利用空間直角坐標(biāo)系建立與體積有關(guān)的幾何概型失誤與防范1準(zhǔn)確把握幾何概型的“測度”是解題關(guān)鍵2幾何概型中，線段的端點(diǎn)、圖形的邊框是否包含在事件之內(nèi)不影響所求結(jié)果.A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：35分鐘)1(xx陜西改編)從正方形四個(gè)頂點(diǎn)及其中心這5個(gè)點(diǎn)中，任取2個(gè)點(diǎn)，則這2個(gè)點(diǎn)的距離不小于該正方形邊長的概率為_答案解析取兩個(gè)點(diǎn)的所有情況為10種，所有距離不小于正方形邊長的情況有6種，概率為.2設(shè)p在0,5上隨機(jī)地取值，則方程x2px0有實(shí)根的概率為_答案解析一元二次方程有實(shí)數(shù)根0，而p24(p1)(p2)，解得p1或p2，故所求概率為P.3在區(qū)間1,4內(nèi)取一個(gè)數(shù)x，則2xx2的概率是_答案解析不等式2xx2，可化為x2x20，則1x2，故所求概率為.4已知ABC中，ABC60，AB2，BC6，在BC上任取一點(diǎn)D，則使ABD為鈍角三角形的概率為_答案解析如圖，當(dāng)BE1時(shí)，AEB為直角，則點(diǎn)D在線段BE(不包含B、E點(diǎn))上時(shí)，ABD為鈍角三角形；當(dāng)BF4時(shí)，BAF為直角，則點(diǎn)D在線段CF(不包含C、F點(diǎn))上時(shí)，ABD為鈍角三角形所以ABD為鈍角三角形的概率為.5如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以O(shè)A，OB為直徑作兩個(gè)半圓在扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是_答案1解析設(shè)分別以O(shè)A，OB為直徑的兩個(gè)半圓交于點(diǎn)C，OA的中點(diǎn)為D，如圖，連結(jié)OC，DC.不妨令OAOB2，則ODDADC1.在以O(shè)A為直徑的半圓中，空白部分面積S1111，所以整體圖形中空白部分面積S22.又因?yàn)镾扇形OAB22，所以陰影部分面積為S32.所以P1.6已知集合A|，nZ，若從A中任取一個(gè)元素均可作為直線l的傾斜角，則直線的斜率小于零的概率是_答案解析由于傾斜角范圍為0，)，故當(dāng)0n8時(shí)，集合A中共有9個(gè)解，分別為0，.其中當(dāng)為，時(shí)，此時(shí)為鈍角，直線l的斜率小于零故直線l的斜率小于零的概率P.7(xx湖北)在區(qū)間2,4上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，若x滿足|x|m的概率為，則m_.答案3解析由|x|m，得mxm.當(dāng)m2時(shí)，由題意得，解得m2.5，矛盾，舍去當(dāng)2<m<4時(shí)，由題意得，解得m3.即m的值為3.8在區(qū)間1,5和2,4上分別各取一個(gè)數(shù)，記為m和n，則方程1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的概率是_答案解析方程1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，m>n.如圖，由題意知，在矩形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)Q(m，n)，點(diǎn)Q落在陰影部分的概率即為所求的概率，易知直線mn恰好將矩形平分，所求的概率為P.9小波通過做游戲的方式來確定周末活動(dòng)，他隨機(jī)地往單位圓內(nèi)投擲一點(diǎn)，若此點(diǎn)到圓心的距離大于，則周末去看電影；若此點(diǎn)到圓心的距離小于，則去打籃球；否則，在家看書則小波周末不在家看書的概率為_答案解析去看電影的概率P1，去打籃球的概率P2，不在家看書的概率為P.10已知向量a(2,1)，b(x，y)(1)若x，y分別表示將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子(六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為1,2,3,4,5,6)先后拋擲兩次時(shí)第一次、第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，求滿足ab1的概率；(2)若x，y在連續(xù)區(qū)間1,6上取值，求滿足ab<0的概率解(1)將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲兩次，所包含的基本事件總數(shù)為6636(個(gè))；由ab1有2xy1，所以滿足ab1的基本事件為(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3個(gè)；故滿足ab1的概率為.(2)若x，y在連續(xù)區(qū)間1,6上取值，則全部基本事件的結(jié)果為(x，y)|1x6,1y6；滿足ab<0的基本事件的結(jié)果為A(x，y)|1x6,1y6且2xy<0；畫出圖形如圖，矩形的面積為S矩形25，陰影部分的面積為S陰影252421，故滿足ab<0的概率為.B組專項(xiàng)能力提升(時(shí)間：25分鐘)1(xx湖北改編)由不等式組確定的平面區(qū)域記為1，不等式組確定的平面區(qū)域?yàn)?，在1中隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好在2內(nèi)的概率為_答案解析如圖，平面區(qū)域1就是三角形區(qū)域OAB，平面區(qū)域2與平面區(qū)域1的重疊部分就是區(qū)域OACD，易知C(，)，故由幾何概型的概率公式，得所求概率P.2一個(gè)長方體空屋子，長，寬，高分別為5米，4米，3米，地面三個(gè)角上各裝有一個(gè)捕蠅器(大小忽略不計(jì))，可捕捉距其一米空間內(nèi)的蒼蠅，若一只蒼蠅從位于另外一角處的門口飛入，并在房間內(nèi)盤旋，則蒼蠅被捕捉的概率是_答案解析屋子的體積為54360米3，捕蠅器能捕捉到的空間體積為133.故蒼蠅被捕捉的概率是.3.已知點(diǎn)A在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B在直線y1上，點(diǎn)C(3,4)，若AB，則ABC的面積大于5的概率是_答案解析設(shè)B(x,1)，根據(jù)題意知點(diǎn)D(，1)，若ABC的面積小于或等于5，則DB45，即DB，此時(shí)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)x，而AB，所以點(diǎn)B的橫坐標(biāo)x3,3，所以ABC的面積小于或等于5的概率為P，所以ABC的面積大于5的概率是1P.4在面積為S的ABC內(nèi)部任取一點(diǎn)P，PBC的面積大于的概率為_答案解析如圖，假設(shè)當(dāng)點(diǎn)P落在EF上時(shí)(EFBC)，恰好滿足PBC的面積等于，作PGBC，AHBC，則易知.符合要求的點(diǎn)P可以落在AEF內(nèi)的任意處，其概率為P.5平面內(nèi)有一組平行線，且相鄰平行線間的距離為3 cm，把一枚半徑為1 cm的硬幣任意投擲在這個(gè)平面內(nèi)，則硬幣不與任何一條平行線相碰的概率是_答案解析如圖所示，當(dāng)硬幣中心落在陰影區(qū)域時(shí)，硬幣不與任何一條平行線相碰，故所求概率為.6設(shè)f(x)和g(x)是定義在同一區(qū)間上的兩個(gè)函數(shù)若對任意x1,2，都有|f(x)g(x)|8，則稱f(x)和g(x)是“友好函數(shù)”設(shè)f(x)ax，g(x).(1)若a1,4，b1,1,4，求f(x)和g(x)是“友好函數(shù)”的概率(2)若a1,4，b1,4，求f(x)和g(x)是“友好函數(shù)”的概率解(1)設(shè)事件A表示f(x)和g(x)是“友好函數(shù)”，則|f(x)g(x)|(x1,2)所有的情況有：x，x，x，4x，4x，4x，共6種且每種情況被取到的可能性相同又當(dāng)a>0，b>0時(shí)，yax在(0，)上遞減，在(，)上遞增；且yx和y4x在(0，)上遞增，對x1,2可使|f(x)g(x)|8恒成立的情況有x，x，x，4x，故事件A包含的基本事件有4種，P(A)，故所求概率是.(2)設(shè)事件B表示f(x)和g(x)是“友好函數(shù)”，a是從區(qū)間1,4中任取的數(shù)，b是從區(qū)間1,4中任取的數(shù)，點(diǎn)(a，b)所在的區(qū)域是長為3，寬為3的矩形區(qū)域要使x1,2時(shí)，|f(x)g(x)|8恒成立，需f(1)g(1)ab8且f(2)g(2)2a8，事件B表示的點(diǎn)的區(qū)域是如圖所示的陰影部分矩形區(qū)域的面積S339，陰影部分的面積S陰(2)3，根據(jù)幾何概型的概率公式可得所求概率為P.