新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料三、分類與整合思想分類與整合思想是將一個(gè)較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題分解(或分割)成若干個(gè)基礎(chǔ)性問題，通過對(duì)基礎(chǔ)性問題的解答來實(shí)現(xiàn)解決原問題的思想策略對(duì)問題實(shí)行分類與整合，分類標(biāo)準(zhǔn)等于增加一個(gè)已知條件，實(shí)現(xiàn)了有效增設(shè)，將大問題(或綜合性問題)分解為小問題(或基礎(chǔ)性問題)，優(yōu)化解題思路，降低問題難度；分類研究后還要對(duì)討論結(jié)果進(jìn)行整合.方法一公式、定理分類整合法模型解法公式、定理分類整合法即利用數(shù)學(xué)中的基本公式、定理對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行分類，然后分別對(duì)每類問題進(jìn)行解決的方法此方法多適用于公式、定理自身需要分類討論的情況破解此類題的關(guān)鍵點(diǎn)：分類轉(zhuǎn)化，結(jié)合已知所涉及的知識(shí)點(diǎn)，找到合理的分類標(biāo)準(zhǔn)依次求解，對(duì)每個(gè)分類所對(duì)應(yīng)的問題，逐次求解匯總結(jié)論，匯總分類結(jié)果，得結(jié)論典例1設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，前n項(xiàng)和Sn>0 (n1,2,3，)，則q的取值范圍是_解析由an是等比數(shù)列，Sn>0，可得a1S1>0，q0，當(dāng)q1時(shí)，Snna1>0.當(dāng)q1時(shí)，Sn>0，即>0(n1,2,3，)，則有或由得1<q<1，由得q>1.故q的取值范圍是(1,0)(0，)答案(1,0)(0，)思維升華公式、定理的分類整合法的分類一般比較固定，由定理、公式的限制引起的分類整合法往往是因?yàn)橛械臄?shù)學(xué)定理、公式是分類給出的，在不同的條件下結(jié)論不一致，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、函數(shù)的單調(diào)性等跟蹤演練1Sn是等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若S4，S3，S5成等差數(shù)列，則an的公比為()A. B2 C D2答案D解析設(shè)an的公比為q(q0)，由等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且S4，S3，S5成等差數(shù)列，得2S3S4S5.當(dāng)q1時(shí)，S44a1，S33a1，S55a1，此時(shí)2S3S4S5，不滿足題意；當(dāng)q1時(shí)，有，即q2q20，解得q2或q1(舍去)方法二位置關(guān)系的分類整合法模型解法對(duì)于幾何中位置關(guān)系的分類討論問題常采用分類整合法，這種方法適用于解析幾何中直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，以及幾何圖形中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的研究破解此類題的關(guān)鍵點(diǎn)：確定特征，一般在確立初步特征時(shí)將能確定的所有位置先確定分類，根據(jù)初步特征對(duì)可能出現(xiàn)的位置關(guān)系進(jìn)行分類得出結(jié)論，將“所有關(guān)系”下的目標(biāo)問題進(jìn)行匯總處理典例2在約束條件下，當(dāng)3s5時(shí)，z3x2y的最大值的變化范圍是()A6,15 B7,15C6,8 D7,8解析由可得由圖，可得A(2,0)，B(4s,2s4)，C(0，s)，C(0,4)當(dāng)3s<4時(shí)，不等式組所表示的可行域是四邊形OABC及其內(nèi)部，此時(shí)，z3x2y在點(diǎn)B處取得最大值，且zmax3(4s)2(2s4)s4，由3s<4，得7zmax<8.當(dāng)4s5時(shí)，不等式組所表示的可行域是OAC及其內(nèi)部，此時(shí)z3x2y在點(diǎn)C處取得最大值，且zmax8.綜上可知，z3x2y的最大值的變化范圍是7,8，故選D.答案D思維升華(1)在解析幾何位置關(guān)系的研究中，不能僅僅關(guān)注直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中的相交、相離和相切三種情況，還要注意焦點(diǎn)在不同位置時(shí)的關(guān)系的探究(2)在幾何圖形的相關(guān)問題中，要充分發(fā)揮空間想象能力，將所有可能出現(xiàn)的關(guān)系“一網(wǎng)打盡”如本題隨著s取值的變化，目標(biāo)函數(shù)值是會(huì)隨著變化的，如果考慮不全，就會(huì)得出錯(cuò)誤結(jié)論跟蹤演練2拋物線y24px(p>0)的焦點(diǎn)為F，P為其上的一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OPF為等腰三角形，則這樣的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為_答案4解析當(dāng)|PO|PF|時(shí)，點(diǎn)P在線段OF的中垂線上，此時(shí)，點(diǎn)P的位置有兩個(gè)；當(dāng)|OP|OF|時(shí)，點(diǎn)P的位置也有兩個(gè)；對(duì)|FO|FP|的情形，點(diǎn)P不存在事實(shí)上，F(xiàn)(p，0)，若設(shè)P(x，y)，則|FO|p，|FP|，若p，則有x22pxy20，又y24px，x22px0，解得x0或x2p，當(dāng)x0時(shí)，不構(gòu)成三角形當(dāng)x2p(p>0)時(shí)，與點(diǎn)P在拋物線上矛盾符合要求的點(diǎn)P有4個(gè)方法三含參問題的分類整合法模型解法含參問題的分類整合法是分類討論問題中最重要、最常見也是最復(fù)雜的一種方法，在解決問題中一般根據(jù)參數(shù)的取值范圍進(jìn)行分類此模型適用于某些含有參數(shù)的問題，如含參的方程、不等式等，由于參數(shù)的取值不同會(huì)導(dǎo)致所得的結(jié)果不同，或?qū)τ诓煌膮?shù)值要運(yùn)用不同的方法進(jìn)行求解或證明，因此要分類討論破解此類題的關(guān)鍵點(diǎn)：確定范圍，確定需要分類問題中參數(shù)的取值范圍確定分類標(biāo)準(zhǔn)，這些分類標(biāo)準(zhǔn)都是在解題過程中根據(jù)解決問題的需要確定的，注意有些參數(shù)可能出現(xiàn)多級(jí)分類，要做到不重不漏分類解決問題，對(duì)分類出來的各相應(yīng)問題分別進(jìn)行求解得出結(jié)論，將所得到的結(jié)論進(jìn)行匯總，得出正確結(jié)論典例3函數(shù)f(x)ax24x3在0,2上有最大值f(2)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A(，1 B1，)C(，0) D(0，)解析方法一當(dāng)a0時(shí)，f(x)4x3在0,2上為單調(diào)遞增函數(shù)，最大值為f(2)，滿足題意當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)ax24x3a23，其對(duì)稱軸為x.當(dāng)a>0時(shí)，f(x)ax24x3在0,2上為單調(diào)遞增函數(shù)，最大值為f(2)，滿足題意當(dāng)a<0時(shí)，只有當(dāng)2，即1a<0時(shí)，f(x)ax24x3在0,2上為單調(diào)遞增函數(shù)，最大值為f(2)，滿足題意綜上，當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)f(x)ax24x3在0,2上有最大值f(2)故選B.方法二由f(x)ax24x3，得f(x)2ax4，要使函數(shù)f(x)ax24x3在0,2上有最大值f(2)，需使f(x)ax24x3在0,2上為單調(diào)遞增函數(shù)，則f(x)2ax40在0,2上恒成立，當(dāng)x0時(shí)成立，當(dāng)x0時(shí)，由x(0,2，得a，因?yàn)樵?0,2上的最大值為1，所以a1.綜上，當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)f(x)ax24x3在0,2上有最大值f(2)故選B.答案B思維升華對(duì)于含參問題的分類討論主要有以下三種類型：(1)概念型，即問題所涉及的數(shù)學(xué)概念是分類進(jìn)行定義的，如|a|的定義分a>0，a0，a<0三種情況(2)性質(zhì)型，即問題中涉及的數(shù)學(xué)定理、公式和運(yùn)算性質(zhì)、法則有范圍或者條件限制、或者是分類給出的，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，分q1和q1兩種情況(3)含參型，求解含有參數(shù)的問題時(shí)，必須根據(jù)參數(shù)的不同取值范圍進(jìn)行討論另外，某些不確定的數(shù)量、不確定的圖形的形狀或位置、不確定的結(jié)論等，都需要通過分類討論，保證其完整性，使之具有確定性跟蹤演練3已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)，且F2到直線xy90的距離等于橢圓的短軸長(1)求橢圓C的方程；(2)若圓P的圓心為P(0，t)(t>0)，且經(jīng)過F1，F(xiàn)2兩點(diǎn)，Q是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)且在圓P外，過Q作圓P的切線，切點(diǎn)為M，當(dāng)|QM|的最大值為時(shí)，求t的值解(1)設(shè)橢圓的方程為1(a>b>0)，依題意可得2b4，所以b2，又c1，所以a2b2c25，所以橢圓C的方程為1.(2)設(shè)Q(x，y)，圓P的方程為x2(yt)2t21，連接PM，因?yàn)镼M為圓P的切線，所以PMQM，所以|QM|.若4t2，即t時(shí)，當(dāng)y2時(shí)，|QM|取得最大值，且|QM|max，解得t<(舍去)若4t>2，即0<t<，當(dāng)y4t時(shí)，|QM|取得最大值，且|QM|max，解得t2，又0<t<，所以t.綜上，當(dāng)t時(shí)，|QM|的最大值為.