課時規(guī)范練A組基礎(chǔ)對點練1已知函數(shù)f(x)x32x23m，x0，)，若f(x)50恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是()A.B.C(，2 D(，2)解析：f(x)x24x，由f(x)>0，得x>4或x<0.f(x)在(0,4)上單調(diào)遞減，在(4，)上單調(diào)遞增，當(dāng)x0，)時，f(x)minf(4)要使f(x)50恒成立，只需f(4)50恒成立即可，代入解之得m.答案：A2對xR，函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)存在，若f(x)>f(x)，且a>0，則以下說法正確的是()Af(a)>ea·f(0) Bf(a)<ea·f(0)Cf(a)>f(0) Df(a)<f(0)解析：設(shè)g(x)，則g(x)>0，故 g(x)為R上的單調(diào)遞增函數(shù)，因此g(a)>g(0)，即>f(0)，所以f(a)>ea·f(0)，選A.答案：A3若存在正數(shù)x使2x(xa)<1成立，則a的取值范圍是()A(，) B(2，)C(0，) D(1，)解析：2x(xa)<1，a>x.令f(x)x，f(x)12xln 2>0.f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，f(x)>f(0)011，a的取值范圍為(1，)，故選D.答案：D4某工廠要圍建一個面積為512平方米的矩形堆料場，一邊可以利用原有的墻壁，其他三邊需要砌新的墻壁，當(dāng)砌新的墻壁所用的材料最省時，堆料場的長和寬分別為()A32米，16米 B30米，15米C40米，20米 D36米，18米解析：要求材料最省，則要求新砌的墻壁總長最短，設(shè)堆料廠的寬為x米，則長為米，因此新墻總長為L2x(x>0)，則L2，令L0，得x±16.又x>0，x16.則當(dāng)x16時，L取得極小值，也是最小值，即用料最省，此時長為32(米)故選A.答案：A5某銀行準(zhǔn)備設(shè)一種新的定期存款業(yè)務(wù)，經(jīng)預(yù)測，存款量與存款利率的平方成正比，比例系數(shù)為k(k>0)，貸款的利率為4.8%，假設(shè)銀行吸收的存款能全部放貸出去若存款利率為x(x(0,0.048)，則銀行獲得最大收益的存款利率為()A3.2% B2.4%C4% D3.6%解析：依題意知，存款量是kx2，銀行應(yīng)支付的利息是kx3，銀行應(yīng)獲得的利息是0.048kx2，所以銀行的收益y0.048kx2kx3，故y0.096kx3kx2，令y0，得x0.032或x0(舍去)因為k>0，所以當(dāng)0<x<0.032時，y>0；當(dāng)0.032<x<0.048時，y<0.因此，當(dāng)x0.032時，y取得極大值，也是最大值，即當(dāng)存款利率定為3.2%時，銀行可獲得最大收益答案：A6已知函數(shù)f(x)m2ln x(mR)，g(x)，若至少存在一個x01，e，使得f(x0)<g(x0)成立，則實數(shù)m的取值范圍是()A. B.C(，0 D(，0)解析：由題意，不等式f(x)<g(x)在1，e上有解，mx<2ln x在1，e上有解，即<在1，e上有解，令h(x)，則h(x)，當(dāng)1xe時，h(x)0，在1，e上，h(x)maxh(e)，<，m<.m的取值范圍是.故選B.答案：B7若函數(shù)f(x)xexa有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍為()A<a<0 Ba>Ce<a<0 D0<a<e解析：構(gòu)造函數(shù)g(x)xex，則g(x)ex(x1)，因為ex>0，所以由g(x)0，解得x1，當(dāng)x>1時，g(x)>0，函數(shù)g(x)為增函數(shù)；當(dāng)x<1時，g(x)<0，函數(shù)g(x)為減函數(shù)，所以當(dāng)x1時函數(shù)g(x)有最小值；g(1)e1.畫出函數(shù)yxex的圖象，如圖所示，顯然當(dāng)<a<0時，函數(shù)f(x)xexa有兩個零點，故選A.答案：A8當(dāng)x2,1時，不等式ax3x24x30恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是()A5，3 B.C6，2 D4，3解析：當(dāng)x(0,1時，得a3342，令t，則t1，)，a3t34t2t，令g(t)3t34t2t，t1，)，則g(t)9t28t1(t1)·(9t1)，顯然在1，)上，g(t)<0，g(t)單調(diào)遞減，所以g(t)maxg(1)6，因此a6；同理，當(dāng)x2,0)時，得a2.由以上兩種情況得6a2，顯然當(dāng)x0時也成立，故實數(shù)a的取值范圍為6，2答案：C9若函數(shù)f(x)2xsin x對任意的m2,2，f(mx3)f(x)<0恒成立，則x的取值范圍是_解析：f(x)f(x)，f(x)為奇函數(shù)，若xR時，f(x)2cos x>0恒成立，f(x)在R上為增函數(shù)，又f(x)為奇函數(shù)，故在定義域內(nèi)為增函數(shù)，f(mx3)f(x)<0可變形為f(mx3)<f(x)，mx3<x，將其看作關(guān)于m的一次函數(shù)，則g(m)x·m3x，m2,2，可得當(dāng)m2,2時，g(m)<0恒成立，若x0，g(2)<0，若x<0，g(2)<0，解得3<x<1.答案：3<x<110已知函數(shù)f(x)ln x3x8的零點x0a，b，且ba1，a，bN*，則ab_.解析：f(2)ln 268ln 22<0，f(3)ln 398ln 31>0，且函數(shù)f(x)ln x3x8在(0，)上為增函數(shù)，x02,3，即a2，b3.ab5.答案：511已知函數(shù)f(x)axxln x(aR)(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間e，)上為增函數(shù)，求a的取值范圍；(2)當(dāng)a1且kZ時，不等式k(x1)<f(x)在x(1，)上恒成立，求k的最大值解析：(1)f(x)aln x1，由題意知f(x)0在e，)上恒成立，即ln xa10在e，)上恒成立，即a(ln x1)在e，)上恒成立，而(ln x1)max(ln e1)2，a2，即a的取值范圍為2，)(2)當(dāng)a1時，f(x)xxln x，x(1，)，原不等式可化為k<，即k<對任意x>1恒成立令g(x)，則g(x).令h(x)xln x2(x>1)，則h(x)1>0，h(x)在(1，)上單調(diào)遞增h(3)1ln 3<0，h(4)22ln 2>0，存在x0(3,4)使h(x0)0，即g(x0)0.即當(dāng)1<x<x0時，h(x)<0，即g(x)<0.當(dāng)x>x0時，h(x)>0，即g(x)>0.g(x)在(1，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，)上單調(diào)遞增由h(x0)x0ln x020，得ln x0x02，g(x)ming(x0)x0(3,4)，k<g(x)minx0且kZ，即kmax3.12(20xx·德州中學(xué)月考)已知函數(shù)f(x)mx2xln x.(1)若在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)存在區(qū)間D，使得該函數(shù)在區(qū)間D上為減函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍；(2)當(dāng)0<m時，若曲線C：yf(x)在點x1處的切線l與曲線C有且只有一個公共點，求m的值或取值范圍解析：(1)f(x)2mx1，即2mx2x1<0在(0，)上有解當(dāng)m0時顯然成立；當(dāng)m>0時，由于函數(shù)y2mx2x1的圖象的對稱軸x>0，故需且只需>0，即18m>0，解得m<.故0<m<，綜上所述，實數(shù)m的取值范圍為.(2)f(1)m1，f(1)2m，故切線方程為ym12m(x1)，即y2mxm1.從而方程mx2xln x2mxm1在(0，)上有且只有一解設(shè)g(x)mx2xln x(2mxm1)，則g (x)在(0，)上有且只有一個零點又g(1)0，故函數(shù)g(x)有零點x1.則g(x)2mx12m.當(dāng)m時，g(x)0，又g(x)不是常數(shù)函數(shù)，故g(x)在(0，)上單調(diào)遞增函數(shù)g(x)有且只有一個零點x1，滿足題意當(dāng)0<m<時，由g(x)0，得x或x1.且>1，由g(x)>0，得0<x<1或x>；由g(x)<0，得1<x<.故當(dāng)x在(0，)上變化時 ，g(x)，g(x)的變化情況如下表：x(0,1)1g(x)00g(x)極大值極小值根據(jù)上表知g<0.又g(x)mxmln x1.g>0，故在上，函數(shù)g(x)又有一個零點，不滿足題意綜上所述，m.B組能力提升練1若不等式2xln xx2ax3對x(0，)恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是()A(，0) B(，4C(0，) D4，)解析：2xln xx2ax3，則a2ln xx，設(shè)h(x)2ln xx(x>0)，則h(x).當(dāng)x(0,1)時，h(x)<0，函數(shù)h(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x(1，)時，h(x)>0，函數(shù)h(x)單調(diào)遞增，所以h(x)minh(1)4，所以ah(x)min4.答案：B2(20xx·運城模擬)已知函數(shù)f(x)ln xtan 的導(dǎo)函數(shù)為f(x)，若方程f(x)f(x)的根x0小于1，則的取值范圍為()A. B.C. D.解析：因為f(x)ln xtan ，所以f(x)，令f(x)f(x)，得ln xtan ，即tan ln x設(shè)g(x)ln x，顯然g(x)在(0，)上單調(diào)遞減，而當(dāng)x0時，g(x)，所以要使?jié)M足f(x)f(x)的根x0<1，只需tan >g(1)1，又因為0<<，所以.答案：A3(20xx·宜州調(diào)研)設(shè)f(x)|ln x|，若函數(shù)g(x)f(x)ax在區(qū)間(0,4)上有三個零點，則實數(shù)a的取值范圍是()A. B.C. D.解析：令y1f(x)|ln x|，y2ax，若函數(shù)g(x)f(x)ax在區(qū)間(0,4)上有三個零點，則y1f(x)|ln x|與y2ax的圖象(圖略)在區(qū)間(0,4)上有三個交點由圖象易知，當(dāng)a0時，不符合題意；當(dāng)a>0時，易知y1|ln x|與y2ax 的圖象在區(qū)間(0,1)上有一個交點，所以只需要y1|ln x|與y2ax的圖象在區(qū)間(1,4)上有兩個交點即可，此時|ln x|ln x，由ln xax，得a.令h(x)，x(1,4)，則h(x)，故函數(shù)h(x)在(1，e)上單調(diào)遞增，在(e,4)上單調(diào)遞減，h(e)，h(1)0，h(4)，所以<a<，故選D.答案：D4已知函數(shù)f(x)x3x2axa(xR，其中a>0)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,0)內(nèi)恰有兩個零點，則a的取值范圍是()A. B.C(1,2) D(0，)解析：f(x)x2(1a)xa(x1)(xa)由f(x)0，得x1或a(a>0)當(dāng)x變化時f(x)與f(x)的變化情況如表：x(，1)1(1，a)a(a，)f(x)00f(x)極大值極小值故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(，1)，(a，)；單調(diào)遞減區(qū)間是(1，a)可知函數(shù)f(x)在區(qū)間(2，1)內(nèi)單調(diào)遞增；在區(qū)間(1,0)內(nèi)單調(diào)遞減從而函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,0)內(nèi)恰有兩個零點，當(dāng)且僅當(dāng)解得0<a<.所以a的取值范圍是.答案：A5(20xx·鄭州模擬)若函數(shù)f(x)x2aln x(a>0)有唯一的零點x0，且m<x0<n(m，n為相鄰整數(shù))，則mn的值為()A1 B3C5 D7解析：令g(x)x2，h(x)aln x，則g(x)2x，h(x)(a>0，x>0)因為函數(shù)f(x)有唯一零點x0，所以函數(shù)g(x)，h(x)的圖象有唯一一個交點，即g(x)，h(x)有唯一公切點(x0，y0)，即由得x2ln x00，令(x)x2ln x0，則(1)3>0，(2)57ln 2>0，(e)e2<0，所以x0(2，e)，所以m2，n3，所以mn5.答案：C6若函數(shù)f(x)1(a<0)沒有零點，則實數(shù)a的取值范圍為_解析：f(x).當(dāng)a<0時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，2)2(2，)f(x)0f(x)極小值若使函數(shù)f(x)沒有零點，當(dāng)且僅當(dāng)f(2)1>0，解得a>e2，所以此時e2<a<0，故實數(shù)a的取值范圍為(e2,0)答案：(e2,0)7已知f(x)x2x，g(x)x32xm，若不等式f(x)g(x)對任意x4,4恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是_解析：令h(x)g(x)f(x)x3x23xm，則h(x)(x3)(x1)所以當(dāng)4<x<1時，h(x)>0；當(dāng)1<x<3時，h(x)<0；當(dāng)3<x<4時，h(x)>0.要使f(x)g(x)恒成立，即h(x)max0，由上知h(x)的最大值在x1或x4處取得，而h(1)m，h(4)m，所以m0，即m，所以實數(shù)m的取值范圍為.答案：8(20xx·長沙模擬)已知函數(shù)f(x)x|x2a|，若存在x1,2，使得f(x)<2，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：當(dāng)x1,2時，f(x)|x3ax|，由f(x)<2可得2<x3ax<2，即為x2<a<x2，設(shè)g(x)x2，導(dǎo)數(shù)為g(x)2x，當(dāng)x1,2時，g(x)0，即g(x)在1,2上單調(diào)遞減，所以g(x)min415，即有a>5，即a<5；設(shè)h(x)x2，導(dǎo)數(shù)為h(x)2x，當(dāng)x1,2時，h(x)<0，即h(x)在1,2上單調(diào)遞減，可得h(x)max121.即有a<1，即a>1.綜上可得，a的取值范圍是1<a<5.答案：(1,5)9已知f(x)ax2，g(x)2ln x，若方程f(x)g(x)在區(qū)間，e上有兩個不等解，試求a的取值范圍解析：原式等價于方程a在區(qū)間，e上有兩個不等解令(x)，由(x)易知，(x)在(，)上為增函數(shù)，在(，e)上為減函數(shù)，則(x)max()，而(e)，().由(e)()<0，所以(e)<()所以(x)min(e)，如圖可知(x)a有兩個不等解時，需a<.即f(x)g(x)在，e上有兩個不等解時a的取值范圍為.10(20xx·貴陽模擬)已知函數(shù)f(x)1，g(x)xln x.(1)證明：g(x)1.(2)證明：(xln x)f(x)>1.證明：(1)g(x)，當(dāng)0<x<1時，g(x)<0.當(dāng)x>1時，g(x)>0，即g(x)在(0,1)上為減函數(shù)，在(1，)上為增函數(shù)所以g(x)g(1)1，得證(2)f(x)1，f(x)，所以當(dāng)0<x<2時，f(x)<0，x>2時，f(x)>0，即f(x)在(0,2)上為減函數(shù)，在(2，)上為增函數(shù)，所以f(x)f(2)1，又由(1)知xln x1，且等號不同時取得所以(xln x)f(x)>1.