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2019-2020年高三數(shù)學(xué)《指數(shù)與指數(shù)函數(shù)》教案 ●知識(shí)梳理 1.指數(shù) （1）n次方根的定義 若xn=a，則稱x為a的n次方根，“”是方根的記號(hào). 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)的奇次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的奇次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)，0的奇次方根是0；正數(shù)的偶次方根是兩個(gè)絕對(duì)值相等符號(hào)相反的數(shù)，0的偶次方根是0，負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根. （2）方根的性質(zhì) ①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，=a. ②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，=|a|= （3）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義 ①a=（a＞0，m、n都是正整數(shù)，n＞1）. ②a==（a＞0，m、n都是正整數(shù)，n＞1）. 2.指數(shù)函數(shù) （1）指數(shù)函數(shù)的定義 一般地，函數(shù)y=ax（a＞0且a≠1）叫做指數(shù)函數(shù). （2）指數(shù)函數(shù)的圖象 底數(shù)互為倒數(shù)的兩個(gè)指數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱. （3）指數(shù)函數(shù)的性質(zhì) ①定義域：R. ②值域：（0，＋∞）. ③過(guò)點(diǎn)（0，1），即x=0時(shí)，y=1. ④當(dāng)a＞1時(shí)，在R上是增函數(shù)；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，在R上是減函數(shù). ●點(diǎn)擊雙基 1.等于 A.－ B.－ C. D. 解析：=a（－a）=－（－a）=－（－a）. 答案：A 2.函數(shù)y=2的圖象與直線y=x的位置關(guān)系是 解析：y=2=（）x. ∵＞1，∴不可能選D. 又∵當(dāng)x=1時(shí)，2＞x，而當(dāng)x=3時(shí)，2＜x，∴不可能選A、B. 答案：C 3.若函數(shù)y=ax+b－1（a＞0且a≠1）的圖象經(jīng)過(guò)二、三、四象限，則一定有 A.0＜a＜1且b＞0 B.a＞1且b＞0 C.0＜a＜1且b＜0 D.a＞1且b＜0 解析：作函數(shù)y=ax+b－1的圖象. 答案：C 4.函數(shù)y=－ex的圖象 A.與y=ex的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱 B.與y=ex的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱 C.與y=e－x的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱 D.與y=e－x的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱 解析：圖象法. 答案：D 5.若直線y=2a與函數(shù)y=|ax－1|（a＞0且a≠1）的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，則a的取值范圍是___________________. 解析：數(shù)形結(jié)合.由圖象可知0＜2a＜1，0＜a＜. 答案：0＜a＜ 6.函數(shù)y=（）的遞增區(qū)間是___________. 解析：∵y=（）x在（－∞，+∞）上是減函數(shù)，而函數(shù)y=x2－2x+2=（x－1）2+1的遞減區(qū)間是（－∞，1］，∴原函數(shù)的遞增區(qū)間是（－∞，1］. 答案：（－∞，1］ ●典例剖析 【例1】 下圖是指數(shù)函數(shù)（1）y=ax，（2）y=bx，（3）y=cx，（4）y=dx的圖象，則a、b、c、d與1的大小關(guān)系是 A.a＜b＜1＜c＜d B.b＜a＜1＜d＜c C.1＜a＜b＜c＜d D.a＜b＜1＜d＜c 剖析：可先分兩類，即（3）（4）的底數(shù)一定大于1，（1）（2）的底數(shù)小于1，然后再?gòu)模?）（4）中比較c、d的大小，從（1）（2）中比較a、b的大小. 解法一：當(dāng)指數(shù)函數(shù)底數(shù)大于1時(shí)，圖象上升，且當(dāng)?shù)讛?shù)越大，圖象向上越靠近于y軸；當(dāng)?shù)讛?shù)大于0小于1時(shí)，圖象下降，底數(shù)越小，圖象向右越靠近于x軸.得b＜a＜1＜d＜c. 解法二：令x=1，由圖知c1＞d1＞a1＞b1， ∴b＜a＜1＜d＜c. 答案：B 【例2】 已知2≤（）x－2，求函數(shù)y=2x－2－x的值域. 解：∵2≤2－2（x－2），∴x2+x≤4－2x，即x2+3x－4≤0，得－4≤x≤1.又∵y=2x－2－x是［－4，1］上的增函數(shù)，∴2－4－24≤y≤2－2－1.故所求函數(shù)y的值域是［－，］. 【例3】 要使函數(shù)y=1+2x+4xa在x∈（－∞，1］上y＞0恒成立，求a的取值范圍. 解：由題意，得1+2x+4xa＞0在x∈（－∞，1］上恒成立，即a＞－在x∈（－∞，1］上恒成立.又∵－=－（）2x－（）x=－［（）x+］2+，當(dāng)x∈（－∞，1］時(shí)值域?yàn)椋ǎ?，－］，∴a＞－. 評(píng)述：將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域問(wèn)題是解決這類問(wèn)題常用的方法. ●闖關(guān)訓(xùn)練 夯實(shí)基礎(chǔ) 1.已知f（x）=ax，g（x）=－logbx，且lga+lgb=0，a≠1，b≠1，則y=f（x）與y=g（x）的圖象 A.關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱 B.關(guān)于直線x－y=0對(duì)稱 C.關(guān)于y軸對(duì)稱 D.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 解析：lga+lgb=0ab=1. ∴g（x）=－logbx=－loga－1x=logax. ∴f（x）與g（x）的圖象關(guān)于y=x對(duì)稱. 答案：B 2.下列函數(shù)中值域?yàn)檎龑?shí)數(shù)的是 A.y=－5x B.y=（）1－x C.y= D.y= 解析：∵y=（）x的值域是正實(shí)數(shù)，而1－x∈R，∴y=（）1－x的值域是正實(shí)數(shù). 答案：B 3.化簡(jiǎn)（a＞0，b＞0）的結(jié)果是___________________. 解析：原式====. 答案： 4.滿足條件m＞（mm）2的正數(shù)m的取值范圍是___________________. 解析：∵m＞0，∴當(dāng)m＞1時(shí)，有m2＞2m，即m＞2； 當(dāng)0＜m＜1時(shí)，有m2＜2m，即0＜m＜1. 綜上所述，m＞2或0＜m＜1. 答案：m＞2或0＜m＜1 5.函數(shù)f（x）=ax+loga（x+1）在［0，1］上的最大值與最小值的和為a，則a的值為 A. B. C.2 D.4 解析：f（x）在［0，1］上是單調(diào)函數(shù)，由已知f（0）+f（1）=a1+loga1+a+loga2=aloga2=－1a=. 答案：B 6.已知9x－103x+9≤0，求函數(shù)y=（）x－1－4（）x+2的最大值和最小值. 解：由9x－103x+9≤0得（3x－1）（3x－9）≤0，解得1≤3x≤9.∴0≤x≤2.令（）x=t，則≤t≤1，y=4t2－4t+2=4（t－）2+1.當(dāng)t=即x=1時(shí)，ymin=1；當(dāng)t=1即x=0時(shí)，ymax=2. 培養(yǎng)能力 7.若a2x+ax－≤0（a＞0且a≠1），求y=2a2x－3ax+4的值域. 解：由a2x+ax－≤0（a＞0且a≠1）知0＜ax≤. 令ax=t，則0＜t≤，y=2t2－3t+4.借助二次函數(shù)圖象知y∈［3，4）. 8.解方程4x+|1－2x|=11. 解：當(dāng)x≤0時(shí)，1－2x≥0. 原方程4x－2x－10=02x=2x=－＜0（無(wú)解）或2x=+＞1知x＞0（無(wú)解）. 當(dāng)x＞0時(shí)，1－2x＜0. 原方程4x+2x－12=02x=－2x=－4（無(wú)解）或2x=3x=log23（為原方程的解）. 探究創(chuàng)新 9.若關(guān)于x的方程25－|x+1|－45－|x+1|－m=0有實(shí)根，求m的取值范圍. 解法一：設(shè)y=5－|x+1|，則0＜y≤1，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程y2－4y－m=0在（0，1］內(nèi)有實(shí)根.設(shè)f（y）=y2－4y－m，其對(duì)稱軸y=2，∴f（0）＞0且f（1）≤0，得－3≤m＜0. 解法二：∵m=y2－4y，其中y=5－|x+1|∈（0，1］，∴m=（y－2）2－4∈［－3，0）. ●思悟小結(jié) 1.利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義可以把根式的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為冪的運(yùn)算，從而簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程. 2.指數(shù)函數(shù)y=ax（a＞0，a≠1）的圖象和性質(zhì)受a的影響，要分a＞1與0＜a＜1來(lái)研究. 3.指數(shù)函數(shù)的定義重在“形式”，像y=23x，y=2，y=3，y=3x+1等函數(shù)都不符合形式y(tǒng)=ax（a＞0，a≠1），因此，它們都不是指數(shù)函數(shù). ●教師下載中心 教學(xué)點(diǎn)睛 1.本小節(jié)的重點(diǎn)是指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用.對(duì)于含有字母參數(shù)的兩個(gè)函數(shù)式比較大小或兩個(gè)函數(shù)式由于自變量的不同取值而有不同大小關(guān)系時(shí)，必須對(duì)字母參數(shù)或自變量取值進(jìn)行分類討論.用好用活指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，是解決這一類問(wèn)題的關(guān)鍵. 2.對(duì)可化為a2x+bax+c=0或a2x+bax+c≥0（≤0）的指數(shù)方程或不等式，常借助換元法解決，但應(yīng)提醒學(xué)生注意換元后“新元”的范圍. 拓展題例 【例1】 若60a＝3，60b＝5.求12的值. 解：a=log603，b＝log605， 1－b＝1－log605＝log6012， 1－a－b＝1－log603－log605＝log604， ＝＝log124， 12＝12＝12＝2. 【例2】 方程2x=2－x的解的個(gè)數(shù)為_(kāi)_____________. 解析：方程的解可看作函數(shù)y=2x和y=2－x的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，分別作出這兩個(gè)函數(shù)圖象（如下圖）. 由圖象得只有一個(gè)交點(diǎn)，因此該方程只有一個(gè)解. 答案：1 評(píng)述：無(wú)法直接求解的方程問(wèn)題，常用作圖法來(lái)解，注意數(shù)形結(jié)合的思想.