4.4生活中的優(yōu)化問題舉例一、基礎達標1方底無蓋水箱的容積為256，則最省材料時，它的高為()A4 B6 C4.5 D8答案A解析設底面邊長為x，高為h，則V(x)x2h256，h，S(x)x24xhx24xx2，S(x)2x.令S(x)0，解得x8，h4.2某銀行準備新設一種定期存款業(yè)務，經預算，存款量與存款利率的平方成正比，比例系數(shù)為k(k>0)已知貸款的利率為0.0486，且假設銀行吸收的存款能全部放貸出去設存款利率為x，x(0,0.0486)，若使銀行獲得最大收益，則x的取值為()A0.016 2 B0.032 4 C0.024 3 D0.048 6答案B解析依題意，得存款量是kx2，銀行支付的利息是kx3，獲得的貸款利息是0.048 6kx2，其中x(0,0.048 6)所以銀行的收益是y0.048 6kx2kx3(0<x<0.048 6)，則y0.097 2kx3kx2.令y0，得x0.032 4或x0(舍去)當0<x<0.032 4時，y>0；當0.032 4<x<0.048 6時，y<0.所以當x0.032 4時，y取得最大值，即當存款利率為0.032 4時，銀行獲得最大收益3如果圓柱軸截面的周長l為定值，則體積的最大值為()A.3 B.3 C.3 D.3答案A解析設圓柱的底面半徑為r，高為h，體積為V，則4r2hl，h，Vr2hr22r3.則Vlr6r2，令V0，得r0或r，而r>0，r是其唯一的極值點當r時，V取得最大值，最大值為3.4用邊長為120 cm的正方形鐵皮做一個無蓋水箱，先在四角分別截去一個小正方形，然后把四邊翻轉90角，再焊接成水箱，則水箱最大容積為()A120 000 cm3 B128 000 cm3C150 000 cm3 D158 000 cm3答案B解析設水箱底邊長為x cm，則水箱高h60(cm)水箱容積VV(x)x2h60x2 (0<x<120)V(x)120xx2.令V(x)0，得x0(舍去)或x80.可判斷得x80 cm時，V取最大值為128 000 cm3.5做一個無蓋的圓柱形水桶，若要使其體積是27，且用料最省，則圓柱的底面半徑為_答案3解析設圓柱的底面半徑為R，母線長為L，則VR2L27，L，要使用料最省，只須使圓柱表面積最小，由題意，S表R22RLR22，S(R)2R0，R3，則當R3時，S表最小6電動自行車的耗電量y與速度x之間的關系為yx3x240x(x0)，為使耗電量最小，則其速度應定為_答案40解析由題設知yx239x40，令y0，解得x40，或x1，故函數(shù)yx3x240x(x0)在40，)上遞增，在(0,40上遞減當x40時，y取得最小值由此得為使耗電量最小，則其速度應定為40.7學?；虬嗉壟e行活動，通常需要張貼海報進行宣傳現(xiàn)讓你設計一張如圖所示的豎向張貼的海報，要求版心面積為128 dm2，上、下兩邊各空2 dm，左、右兩邊各空1 dm.如何設計海報的尺寸，才能使四周空白面積最?。拷庠O版心的高為x dm，則版心的寬為 dm，此時四周空白面積為S(x)(x4)1282x8，x>0.求導數(shù)，得S(x)2.令S(x)20，解得x16(x16舍去)于是寬為8.當x(0,16)時，S(x)<0；當x(16，)時，S(x)>0.因此，x16是函數(shù)S(x)的極小值點，也是最小值點所以，當版心高為16 dm，寬為8 dm時，能使四周空白面積最小二、能力提升8把長為12 cm的細鐵絲截成兩段，各自擺成一個正三角形，那么這兩個正三角形的面積之和的最小值是()A. cm2 B4 cm2 C3 cm2 D2 cm2答案D解析設一個正三角形的邊長為xcm，則另一個正三角形的邊長為(4x)cm，則這兩個正三角形的面積之和為Sx2(4x)2(x2)242(cm2)，故選D.9某公司生產一種產品， 固定成本為20 000元，每生產一單位的產品，成本增加100元，若總收入R與年產量x的關系是R(x)則當總利潤最大時，每年生產產品的單位數(shù)是()A150 B200 C250 D300答案D解析由題意得，總利潤P(x)令P(x)0，得x300，故選D.10.為處理含有某種雜質的污水，要制造一底寬為2米的無蓋長方體沉淀箱，污水從A孔流入，經沉淀后從B孔流出，設箱體的長為a米，高為b米已知流出的水中該雜質的質量分數(shù)與a，b的乘積ab成反比，現(xiàn)有制箱材料60平方米，問當a_，b_時，經沉淀后流出的水中該雜質的質量分數(shù)最小(A，B孔的面積忽略不計)答案63解析設y為流出的水中雜質的質量分數(shù)，則y，其中k(k>0)為比例系數(shù)依題意，即所求的a，b值使y值最小，根據題設，4b2ab2a60(a>0，b>0)得b.于是y.(0<a<30)令y0，得a6或a10(舍去)只有一個極值點，此極值點即為最值點當a6時，b3，即當a為6米，b為3米時，經沉淀后流出的水中該雜質的質量分數(shù)最小11某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距m米，余下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩經測算，一個橋墩的工程費用為256萬元；距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費用為(2)x萬元假設橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點，且不考慮其他因素，記余下工程的費用為y萬元(1)試寫出y關于x的函數(shù)關系式；(2)當m640米時，需新建多少個橋墩才能使y最??？解(1)設需新建n個橋墩，則(n1)xm，即n1.所以yf(x)256n(n1)(2)x256(2)xm2m256.(2)由(1)知，f(x)令f(x)0，得512，所以x64.當0<x<64時，f(x)<0，f(x)在區(qū)間(0,64)內為減函數(shù)；當64<x<640時，f(x)>0，f(x)在區(qū)間(64,640)內為增函數(shù)，所以f(x)在x64處取得最小值此時n119.故需新建9個橋墩才能使y最小12一火車鍋爐每小時煤消耗費用與火車行駛速度的立方成正比，已知當速度為20 km/h時，每小時消耗的煤價值40元，其他費用每小時需200元，火車的最高速度為100 km/h，火車以何速度行駛才能使從甲城開往乙城的總費用最少？解設速度為x km/h，甲、乙兩城距離為a km.則總費用f(x)(kx3200)a(kx2)由已知條件，得40k203，k，f(x)a(0x100)令f(x)0，得x10.當0<x<10時，f(x)<0；當10<x<100時，f(x)>0.當x10時，f(x)有最小值，即速度為10 km/h時，總費用最少三、探究與創(chuàng)新13.某企業(yè)擬建造如圖所示的容器(不計厚度，長度單位：米)，其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設計要求容器的容積為立方米，且l2r.假設該容器的建造費用僅與其表面積有關已知圓柱形部分每平方米建造費用為3千元，半球形部分每平方米建造費用為c(c>3)千元設該容器的建造費用為y千元(1)寫出y關于r的函數(shù)表達式，并求該函數(shù)的定義域；(2)求該容器的建造費用最小時的r.解(1)設容器的容積為V，由題意知Vr2lr3，又V，故l.由于l2r，因此0<r2.所以建造費用y2rl34r2c2r34r2c，因此y4(c2)r2，0<r2.(2)由(1)得y8(c2)r(r3)，0<r2.由于c>3，所以c2>0.當r30時，r.令m，則m>0，所以y(rm)(r2rmm2)當0<m<2，即c>時，令y0，得rm.當r(0，m)時，y<0；當r(m,2時，y>0，所以rm是函數(shù)y的極小值點，也是最小值點當m2，即3<c時，當r(0,2時，y0，函數(shù)單調遞減，所以r2是函數(shù)y的最小值點綜上所述，當3<c時，建造費用最小時r2；當c>時，建造費用最小時r.