【導與練】（新課標）20xx屆高三數(shù)學一輪復習 第7篇 第6節(jié) 空間直角坐標系、空間向量及其運算課時訓練 理 【選題明細表】知識點、方法題號空間直角坐標系3、4空間向量的計算1、2、5、7、10、13、15共線、共面向量定理的應用6、8綜合問題11、12、14基礎過關一、選擇題1.(20xx青島一模)已知a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),則下列結論正確的是(C)(A)ac,bc(B)ab,ac(C)ac,ab(D)以上都不對解析:c=2a,ac,又a·b=(-2,-3,1)·(2,0,4)=-4+0+4=0,ab.故選C.2.(20xx銀川質檢)已知a=(+1,0,2),b=(6,2-1,2),若ab,則與的值可以是(A)(A)2,12 (B)-13,12(C)-3,2(D)2,2解析:由題意知,+16=22,2-1=0,解得=2,=12或=-3,=12.3.(20xx山東濰坊月考)如圖所示,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2,E為PB的中點,cos<DP,AE>=33,若以DA,DC,DP所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,則點E的坐標為(A)(A)(1,1,1)(B)(1,1,12)(C)(1,1,32)(D)(1,1,2)解析:設P(0,0,z),依題意知A(2,0,0),B(2,2,0),則E(1,1,z2),于是DP=(0,0,z),AE=(-1,1,z2),cos<DP,AE>=DP·AE|DP|AE|=z22|z|·z24+2=33.解得z=±2,由題圖知z=2,故E(1,1,1).4.(20xx福州質檢)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為a,點M在AC1上且AM=12MC1,N為B1B的中點,則|MN|為(A)(A)216a(B)66a(C)156a(D)153a解析:以D為原點建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz,則A(a,0,0),C1(0,a,a),N(a,a,a2).設M(x,y,z).點M在AC1上且AM=12MC1,(x-a,y,z)=12(-x,a-y,a-z)x=23a,y=a3,z=a3.M(2a3,a3,a3),|MN|=(a-23a) 2+(a-a3) 2+(a2-a3) 2=216a.故選A.5.(20xx北京東城一摸)如圖所示,已知PA平面ABC,ABC=120°,PA=AB=BC=6,則|PC|等于(C)(A)62(B)6(C)12(D)144解析:因為PC=PA+AB+BC,所以PC2=PA2+AB2+BC2+2AB·BC=36+36+36+2×36cos 60°=144.所以|PC|=12.6.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,),若a、b、c三向量共面,則實數(shù)等于(D)(A)627(B)637(C)647(D)657解析:由題意存在實數(shù)x,y使得c=xa+yb,即(7,5,)=x(2,-1,3)+y(-1,4,-2),由此得方程組7=2x-y,5=-x+4y,=3x-2y.解得x=337,y=177,所以=997-347=657.二、填空題7.(20xx廣東一模)若向量a=(1,2),b=(2,-1,2)且a與b的夾角的余弦值為89,則=. 解析:由已知得89=a·b|a|b|=2-+45+2·9,85+2=3(6-),解得=-2或=255.答案:-2或2558.已知A(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,-5),點P(x,-1,3)在平面ABC內,則x=. 解析:根據(jù)共面向量定理設AP=AB+AC,即(x-4,-2,0)=(-2,2,-2)+(-1,6,-8),由此得x-4=-2-,-2=2+6,0=-2-8.解得=-4,=1,所以x=4+8-1=11.答案:119.(20xx河南新鄉(xiāng)一模)在空間直角坐標系中,以點A(4,1,9)、B(10,-1,6)、C(x,4,3)為頂點的ABC是以BC為斜邊的等腰直角三角形,則實數(shù)x的值為. 解析:AB=(6,-2,-3),AC=(x-4,3,-6),由題意知AB·AC=0,|AB|=|AC|,6(x-4)-6+18=0.可解得x=2.答案:2三、解答題10.已知各個面都是平行四邊形的四棱柱ABCDABCD.設M是底面ABCD的中心,N是側面BCCB的對角線BC上的點,且BNNC=31,設MN=AB+AD+AA',試求,之值.解:MN=MB+BN=12DB+34BC'=12(DA+AB)+34(BC+CC')=12(-AD+AB)+34(AD+AA')=12AB+14AD+34AA',所以=12,=14,=34.11.直三棱柱ABCABC中,AC=BC=AA,ACB=90°,D、E分別為AB、BB的中點.(1)求證:CEAD;(2)求異面直線CE與AC所成角的余弦值.解:令CA=a,CB=b,CC'=c,根據(jù)題意,|a|=|b|=|c|,且a·b=b·c=c·a=0,(1)CE=b+12c,A'D=-c+12b-12a.CE·A'D=-12c2+12b2=0.CEA'D,即CEAD.(2)AC'=-a+c,|AC'|=2|a|,|CE|=52|a|.AC'·CE=(-a+c)·(b+12c)=12c2=12|a|2,cos<AC',CE>=12|a|22×52|a|2=1010.即異面直線CE與AC所成角的余弦值為1010.能力提升12.(20xx高考北京卷)在空間直角坐標系Oxyz中,已知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,2).若S1,S2,S3分別為三棱錐DABC在xOy,yOz,zOx坐標平面上的正投影圖形的面積,則(D)(A)S1=S2=S3 (B)S2=S1且S2S3(C)S3=S1且S3S2(D)S3=S2且S3S1解析:根據(jù)題目條件,在空間直角坐標系Oxyz中作出該三棱錐DABC,顯然S1=12×2×2=2,S2=S3=12×2×2=2.故選D.13.(20xx遼寧沈陽模擬)在一直角坐標系中已知A(-1,6),B(3,-8),現(xiàn)沿x軸將坐標平面折成60°的二面角,則折疊后A、B兩點間的距離為. 解析:如圖為折疊后的圖形,其中作ACCD,BDCD,則AC=6,BD=8,CD=4,兩異面直線AC、BD所成的角為60°,故由AB=AC+CD+DB,得|AB|2=|AC+CD+DB|2=68,|AB|=217.答案:21714.已知如圖所示,平行六面體ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且C1CD=C1CB=BCD=60°.(1)求證:C1CBD;(2)當CDCC1的值是多少時,能使A1C平面C1BD?請給出證明.(1)證明:取CD=a,CB=b,CC1=c,由已知|a|=|b|,且<a,b>=<b,c>=<c,a>=60°,BD=CD-CB=a-b,CC1·BD=c·(a-b)=c·a-c·b=12|c|a|-12|c|b|=0,C1CBD,即C1CBD.(2)解:若A1C平面C1BD,則A1CC1D,又CA1=a+b+c,C1D=a-c.CA1·C1D=0,即(a+b+c)·(a-c)=0.整理得3a2-|a|c|-2c2=0.(3|a|+2|c|)(|a|-|c|)=0,|a|-|c|=0,即|a|=|c|.即當CDCC1=|a|c|=1時,A1C平面C1BD.探究創(chuàng)新15.(20xx高考廣東卷)已知向量a=(1,0,-1),則下列向量中與a成60°夾角的是(B)(A)(-1,1,0)(B)(1,-1,0)(C)(0,-1,1)(D)(-1,0,1)解析:設b=(1,-1,0),則cos<a,b>=a·b|a|b|=12×2=12,即b與a的夾角為60°.故選B.