突破點(diǎn)4等差數(shù)列、等比數(shù)列核心知識(shí)提煉提煉1 等差數(shù)列、等比數(shù)列的運(yùn)算(1)通項(xiàng)公式等差數(shù)列：ana1(n1)d；等比數(shù)列：ana1·qn1.(2)求和公式等差數(shù)列：Snna1d；等比數(shù)列：Sn(q1)(3)性質(zhì)若mnpq，在等差數(shù)列中amanapaq；在等比數(shù)列中am·anap·aq.提煉2 等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定與證明數(shù)列an是等差數(shù)列或等比數(shù)列的證明方法：(1)證明數(shù)列an是等差數(shù)列的兩種基本方法利用定義，證明an1an(nN*)為同一常數(shù)；利用中項(xiàng)性質(zhì)，即證明2anan1an1(n2)(2)證明an是等比數(shù)列的兩種基本方法利用定義，證明(nN*)為同一常數(shù)；利用等比中項(xiàng)，即證明aan1an1(n2).提煉3 數(shù)列中項(xiàng)的最值的求法(1)根據(jù)數(shù)列與函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)f(n)an，利用求解函數(shù)最值的方法(多利用函數(shù)的單調(diào)性)進(jìn)行求解，但要注意自變量的取值必須是正整數(shù)(2)利用數(shù)列的單調(diào)性求解，利用不等式an1an(或an1an)求解出n的取值范圍，從而確定數(shù)列單調(diào)性的變化，進(jìn)而確定相應(yīng)的最值(3)轉(zhuǎn)化為關(guān)于n的不等式組求解，若求數(shù)列an的最大項(xiàng)，則可解不等式組若求數(shù)列an的最小項(xiàng)，則可解不等式組求出n的取值范圍之后，再確定取得最值的項(xiàng) 高考真題回訪回訪1等差數(shù)列基本量的運(yùn)算1(20xx·全國(guó)卷)已知an是公差為1的等差數(shù)列，Sn為an的前n項(xiàng)和，若S84S4，則a10()A.BC10 D12B公差為1，S88a1×18a128，S44a16.S84S4，8a1284(4a16)，解得a1，a10a19d9.故選B.2(20xx·全國(guó)卷)設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若a1a3a53，則S5()A5B7 C.9D11A法一：a1a52a3，a1a3a53a33，a31，S55a35，故選A.法二：a1a3a5a1(a12d)(a14d)3a16d3，a12d1，S55a1d5(a12d)5，故選A.3(20xx·全國(guó)卷)等差數(shù)列an的公差為2，若a2，a4，a8成等比數(shù)列，則an的前n項(xiàng)和Sn()An(n1) Bn(n1)C. D.A由a2，a4，a8成等比數(shù)列，得aa2a8，即(a16)2(a12)(a114)，a12，Sn2n×22nn2nn(n1)回訪2等比數(shù)列基本量的運(yùn)算4(20xx·全國(guó)卷)已知等比數(shù)列an滿足a1，a3a54(a41)，則a2()A2 B1C. D.C法一：a3a5a，a3a54(a41)，a4(a41)，a4a440，a42.又q38，q2，a2a1q×2，故選C.法二：a3a54(a41)，a1q2·a1q44(a1q31)，將a1代入上式并整理，得q616q3640，解得q2，a2a1q，故選C.5(20xx·全國(guó)卷)在數(shù)列an中，a12，an12an，Sn為an的前n項(xiàng)和若Sn126，則n_.6a12，an12an，數(shù)列an是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，又Sn126，126，n6.熱點(diǎn)題型1等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算題型分析：以等差(比)數(shù)列為載體，考查基本量的求解，體現(xiàn)方程思想的應(yīng)用是近幾年高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)，題型以客觀題為主，難度較小【例1】(1)已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a1a330，S4120，設(shè)bn1log3an，那么數(shù)列bn的前15項(xiàng)和為() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：04024053】A152 B135C80 D16(2)設(shè)an是首項(xiàng)為a1，公差為1的等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和若S1，S2，S4成等比數(shù)列，則a1()A2 B2C. D(1)B(2)D(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，由a1a330，a2a4S4(a1a3)90，所以公比q3，首項(xiàng)a13，所以an3n，bn1log33n1n，則數(shù)列bn是等差數(shù)列，前15項(xiàng)的和為135，故選B.(2)由題意知S1a1，S22a11，S44a16，因?yàn)镾1，S2，S4成等比數(shù)列，所以SS1·S4，即(2a11)2a1(4a16)，解得a1，故選D.方法指津在等差(比)數(shù)列問(wèn)題中最基本的量是首項(xiàng)a1和公差d(公比q)，在解題時(shí)往往根據(jù)已知條件建立關(guān)于這兩個(gè)量的方程組，從而求出這兩個(gè)量，那么其他問(wèn)題也就會(huì)迎刃而解這就是解決等差、等比數(shù)列問(wèn)題的基本量的方法，這其中蘊(yùn)含著方程的思想提醒：應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，務(wù)必注意公比q的取值范圍變式訓(xùn)練1 (1)在數(shù)列an中，a11，an1an3，Sn為an的前n項(xiàng)和，若Sn51，則n_.(2)(20xx·東北三省四市聯(lián)考)等比數(shù)列an中各項(xiàng)均為正數(shù)，Sn是其前n項(xiàng)和，且滿足2S38a13a2，a416，則S4_.(1)6(2)30(1)由a11，an1an3，得an1an3，所以數(shù)列an是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列由Snn×351，即(3n17)(n6)0，解得n6或n(舍)(2)設(shè)數(shù)列an的公比為q(q0)，則解得所以S430.熱點(diǎn)題型2等差、等比數(shù)列的基本性質(zhì)題型分析：該熱點(diǎn)常與數(shù)列中基本量的運(yùn)算綜合考查，熟知等差(比)數(shù)列的基本性質(zhì)，可以大大提高解題效率【例2】(1)(20xx·南昌一模)若等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前4項(xiàng)的和為9，積為，則前4項(xiàng)倒數(shù)的和為()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：04024054】A. B.C1 D2(2)(20xx·中原名校聯(lián)考)若數(shù)列an滿足d(nN*，d為常數(shù))，則稱數(shù)列an為調(diào)和數(shù)列已知數(shù)列為調(diào)和數(shù)列，且x1x2x20200，則x5x16()A10 B20C30 D40(1)D(2)B(1)由題意得S49，所以.由a1·a1q·a1q2·a1q3(aq3)2得aq3.由等比數(shù)列的性質(zhì)知該數(shù)列前4項(xiàng)倒數(shù)的和為·2，故選D.(2)數(shù)列為調(diào)和數(shù)列，xn1xnd，xn是等差數(shù)列，x1x2x20200，x1x2020，又x1x20x5x16，x5x1620.方法指津1若an，bn均是等差數(shù)列，Sn是an的前n項(xiàng)和，則mankbn，仍為等差數(shù)列，其中m，k為常數(shù)2若an，bn均是等比數(shù)列，則can(c0)，|an|，an·bn，manbn(m為常數(shù)，m0)，a，仍為等比數(shù)列3公比不為1的等比數(shù)列，其相鄰兩項(xiàng)的差也依次成等比數(shù)列，且公比不變，即a2a1，a3a2，a4a3，成等比數(shù)列，且公比為q.4(1)等比數(shù)列(q1)中連續(xù)k項(xiàng)的和成等比數(shù)列，即Sk，S2kSk，S3kS2k，成等比數(shù)列，其公比為qk.(2)等差數(shù)列中連續(xù)k項(xiàng)的和成等差數(shù)列，即Sk，S2kSk，S3kS2k，成等差數(shù)列，公差為k2d.5若A2n1，B2n1分別為等差數(shù)列an，bn的前2n1項(xiàng)的和，則.變式訓(xùn)練2(1)已知各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列an滿足2a2a2a120，數(shù)列bn是等比數(shù)列，且b7a7，則b3b11等于()A16 B8 C.4 D2(2)(20xx·武漢二模)等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a5a6a4a718，則log3a1log3a2log3a10()A12 B10C8 D2log35(1)A(2)B(1)an是等差數(shù)列，a2a122a7，2a2a2a124a7a0.又a70，a74.又bn是等比數(shù)列，b3b11ba16.(2)由等比數(shù)列的性質(zhì)知a5a6a4a79，所以log3a1log3a2log3a3log3a10log3(a1a2a3a10)log3(a5a6)5log39510，故選B.熱點(diǎn)題型3等差、等比數(shù)列的證明題型分析：該熱點(diǎn)在考查數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式的同時(shí)，考查學(xué)生的推理論證能力【例3】(20xx·全國(guó)卷)記Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和已知S22，S36.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)求Sn，并判斷Sn1，Sn，Sn2是否成等差數(shù)列解 (1)設(shè)an的公比為q.由題設(shè)可得2分解得q2，a124分故an的通項(xiàng)公式為an(2)n6分(2)由(1)可得Sn(1)n8分由于Sn2Sn1(1)n22Sn，10分故Sn1，Sn，Sn2成等差數(shù)列12分方法指津 判斷或證明數(shù)列是否為等差或等比數(shù)列，一般是依據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義，或利用等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)進(jìn)行判斷提醒：利用aan1·an1(n2)來(lái)證明數(shù)列an為等比數(shù)列時(shí)，要注意數(shù)列中的各項(xiàng)均不為0.變式訓(xùn)練3(20xx·全國(guó)卷)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中為常數(shù)(1)證明：an2an；(2)是否存在，使得an為等差數(shù)列？并說(shuō)明理由解 (1)證明：由題設(shè)知anan1Sn1，an1an2Sn11，兩式相減得an1(an2an)an1，2分由于an10，所以an2an4分(2)由題設(shè)知a11，a1a2S11，可得a21.5分由(1)知，a316分令2a2a1a3，解得4.7分故an2an4，由此可得a2n1是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，a2n14n3.9分a2n是首項(xiàng)為3，公差為4的等差數(shù)列，a2n4n1.11分所以an2n1，an1an2，因此存在4，使得數(shù)列an為等差數(shù)列12分