第八篇平面解析幾何(必修2、選修21)第1節(jié) 直線與方程課時訓練 理【選題明細表】知識點、方法題號直線的傾斜角與斜率1、4、7直線方程3、5、9、11、12兩條直線的位置關(guān)系2、8、10、16點到直線的距離、兩條平行線之間的距離6、14直線方程的綜合應(yīng)用9、13、15、16一、選擇題1.(20xx北京朝陽模擬)直線x+3y+1=0的傾斜角是(D)(A)6(B)3(C)23(D)56解析:由直線的方程得直線的斜率為k=-33,設(shè)傾斜角為,則tan =-33,又0,),所以=56.2.直線3ax-y-1=0與直線(a-23)x+y+1=0垂直,則a的值是(D)(A)-1或13(B)1或13(C)-1或-13(D)1或-13解析:由題意得,3a(a-23)-1=0,解得a=1或a=-13.3.(20xx深圳模擬)已知點A(1,2)、B(3,1),則線段AB的垂直平分線的方程是(B)(A)4x+2y-5=0(B)4x-2y-5=0(C)x+2y-5=0(D)x-2y-5=0解析:線段AB的中點為(2,32),又因為線段AB的斜率為2-11-3=-12,所以線段AB的垂直平分線的斜率為k=2,所以線段AB的垂直平分線的方程是y-32=2(x-2),即4x-2y-5=0.4.(20xx山東省泰安模擬)直線x+(a2+1)y+1=0的傾斜角的取值范圍是(B)(A)0,4 (B)34,)(C)0,4(2,)(D)4,234,解析:直線的斜截式方程為y=-1a2+1x-1a2+1,所以斜率為k=-1a2+1,即tan =-1a2+1,所以-1tan <0,解得34<,即傾斜角的取值范圍是34,).5.若直線l1:y=k(x-4)與直線l2關(guān)于點(2,1)對稱,則直線l2經(jīng)過定點(B)(A)(0,4)(B)(0,2)(C)(-2,4)(D)(4,-2)解析:直線l1:y=k(x-4)經(jīng)過定點(4,0),其關(guān)于點(2,1)對稱的點為(0,2),又直線l1與直線l2關(guān)于點(2,1)對稱,故直線l2經(jīng)過定點(0,2).故選B.6.點(1,1)到直線ax+y-3=0的最大距離為(C)(A)1(B)2(C)5(D)6解析:因為直線ax+y-3=0過定點(0,3),點(1,1)到直線ax+y-3=0的最大距離即為點(1,1)與點(0,3)之間得距離d=(1-0)2+(1-3)2=5.7.已知點A(1,3),B(-2,-1).若直線l:y=k(x-2)+1與線段AB相交,則k的取值范圍是(D)(A)12,+)(B)(-a,-2(C)(-,-212,+)(D)-2,12解析:由已知直線l恒過定點P(2,1),如圖所示.若l與線段AB相交,則kPAkkPB,kPA=-2,kPB=12,-2k12.故選D.8.(20xx承德聯(lián)考)使三條直線4x+y=4,mx+y=0,2x-3my=4不能圍成三角形的m的值最多有(D)(A)1個(B)2個(C)3個(D)4個解析:要使三條直線不能圍成三角形,只需其中兩條直線平行或者三條直線共點即可.若4x+y=4與mx+y=0平行,則m=4;若4x+y=4與2x-3my=4平行,則m=-16;若mx+y=0與2x-3my=4平行,則m的值不存在;若4x+y=4,mx+y=0,2x-3my=4共點,則m=-1或m=23.綜上可知,m的值最多有4個.9.經(jīng)過點P(1,4)的直線在兩坐標軸上的截距都是正的,且截距之和最小,則直線的方程為(B)(A)x+2y-6=0(B)2x+y-6=0(C)x-2y+7=0(D)x-2y-7=0解析:法一設(shè)直線方程為xa+yb=1,直線過點P(1,4),1a+4b=1,即a=bb-4.a>0,b>0,bb-4>0,即b>4.a+b=b+bb-4=b+4b-4+1=(b-4)+4b-4+59.(當且僅當a=3,b=6時,“=”成立)故直線方程為2x+y-6=0.故選B.法二設(shè)直線方程為xa+yb=1(a>0,b>0),直線過點P(1,4),1a+4b=1.a+b=(a+b)×(1a+4b)=1+4ab+ba+4=5+(4ab+ba)5+24ab×ba=9.(當且僅當4ab=ba,即b=2a,也就是a=3,b=6時等號成立)截距之和最小時直線方程為x3+y6=1,即2x+y-6=0.故選B.二、填空題10.已知直線l的傾斜角為34,直線l1經(jīng)過點A(3,2)、B(a,-1),且l1與l垂直,直線l2:2x+by+1=0與直線l1平行,則a+b等于. 解析:直線l的斜率為-1,則l1的斜率為1,kAB=2-(-1)3-a=1,a=0.由l1l2,得-2b=1,b=-2,a+b=-2.答案:-211.經(jīng)過點(-2,2),且與兩坐標軸所圍成的三角形面積為1的直線l的方程為. 解析:顯然直線不平行于x,y軸,設(shè)直線方程為y-2=k(x+2)(k0),與x軸交點為(-2k-2,0),與y軸交點為(0,2k+2).12|-2k-2|·|2k+2|=1,解得k=-12或k=-2,所求直線方程為x+2y-2=0或2x+y+2=0.答案:x+2y-2=0或2x+y+2=012.已知直線l過點P(3,4)且與點A(-2,2),B(4,-2)等距離,則直線l的方程為. 解析:與A、B等距離的點所在直線與直線AB平行或經(jīng)過線段AB的中點C(1,0)若lAB,則kl=kAB=-2-24-(-2)=-23,直線l的方程為y-4=-23(x-3)即2x+3y-18=0.若l經(jīng)過線段AB的中點C,則直線l的方程為y-0x-1=4-03-1即2x-y-2=0.答案:2x+3y-18=0或2x-y-2=013.(20xx合肥模擬)在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,點P是邊AB上異于A,B的一點.光線從點P出發(fā),經(jīng)BC,CA反射后又回到點P(如圖).若光線QR經(jīng)過ABC的重心,則AP等于. 解析:以AB、AC所在直線分別為x軸、y軸建立如圖所示平面直角坐標系,則A(0,0),B(4,0),C(0,4), 得ABC的重心D(43,43),設(shè)AP=x,P(x,0),x(0,4),由光的反射定理, 知點P關(guān)于直線BC、AC的對稱點P1(4,4-x)、P2(-x,0),與ABC的重心D(43,43)共線,所以4343+x=43-(4-x)43-4,求得x=43,AP=43.答案:4314.定義:曲線C上的點到直線l的距離的最小值稱為曲線C到直線l的距離.已知曲線C1:y=x2+a到直線l:y=x的距離等于曲線C2:x2+(y+4)2=2到直線l:y=x的距離,則實數(shù)a=. 解析:曲線C2是圓心為(0,-4),半徑r=2的圓,圓心到直線l:y=x的距離d1=|0+4|2=22,所以曲線C2到直線l的距離為d1-r=2.設(shè)曲線C1上的點(x0,y0)到直線l:y=x的距離最短為d,則過(x0,y0)的切線平行于直線y=x.已知函數(shù)y=x2+a,則y|x=x0=2x0=1, 即x0=12,y0=14+a,點(x0,y0)到直線l:y=x的距離d=12-14+a2=14-a2,由題意知14-a2=2,所以a=-74或a=94.當a=-74時,直線l與曲線C1相交,不合題意,故舍去.答案:94三、解答題15.已知直線l:kx-y+1+2k=0(kR).(1)證明:直線l過定點;(2)若直線l不經(jīng)過第四象限,求k的取值范圍.(1)證明:法一直線l的方程可化為y=k(x+2)+1,故無論k取何值,直線l總過定點(-2,1).法二設(shè)直線過定點(x0,y0),則kx0-y0+1+2k=0對任意kR恒成立,即(x0+2)k-y0+1=0恒成立,所以x0+2=0,-y0+1=0,解得x0=-2,y0=1,故直線l總過定點(-2,1).(2)解:直線l的方程為y=kx+2k+1,則直線l在y軸上的截距為2k+1,要使直線l不經(jīng)過第四象限,則k0,1+2k0,解得k0.故k的取值范圍為0,+).16.已知兩直線l1:ax-by+4=0和l2:(a-1)x+y+b=0,求滿足下列條件的a、b的值.(1)l1l2,且直線l1過點(-3,-1);(2)l1l2,且坐標原點到這兩條直線的距離相等.解:(1)l1l2,a(a-1)-b=0.又直線l1過點(-3,-1),-3a+b+4=0.故a=2,b=2.(2)直線l2的斜率存在,l1l2,直線l1的斜率存在,k1=k2,即ab=1-a.又坐標原點到這兩條直線的距離相等,l1、l2在y軸上的截距互為相反數(shù),即4b=b.故a=2,b=-2或a=23,b=2.