2019-2020年蘇教版高中數(shù)學(xué)（選修2-1）3.2空間向量的應(yīng)用word教案2篇對(duì)于空間兩個(gè)非零向量a，b來(lái)說，如果它們的夾角，那么我們定義它們的數(shù)量積為特別地，當(dāng)兩向量垂直時(shí)，利用該結(jié)論，可以很好地解決立體幾何中線線垂直或線面垂直的問題1證明直線與直線垂直，可以轉(zhuǎn)化為證明這兩條直線上的非零向量的數(shù)量積為零反之亦成立例1如圖1，已知空間四邊形ABCD中，ABCD，且ADBC，求證：ACBD證明：設(shè)以空間一點(diǎn)O為起點(diǎn)，A、B、C、D為終點(diǎn)的向量分別記為a、b、c、d，由已知，ABCD，且ADBC，所以，即因此，ACBD評(píng)述：本題的結(jié)論是說，三棱錐中若兩對(duì)對(duì)棱互相垂直，則第三對(duì)對(duì)棱也互相垂直它的傳統(tǒng)證法是過A點(diǎn)作平面BCD的垂線，通過三垂線定理及其逆定理來(lái)證明以上用空間向量數(shù)量積作為工具，將幾何問題代數(shù)化、程序化地解決2證明直線與平面垂直，可以轉(zhuǎn)化為證明這條直線上的非零向量與平面內(nèi)兩相交直線上的非零向量的數(shù)量積都為零例2直線l與平面相交于點(diǎn)O，求證：若直線l與平面內(nèi)的過O點(diǎn)的三條射線所成的角相等，則直線l平面證明：如圖2，在直線l上任取一點(diǎn)P（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），在平面內(nèi)過O點(diǎn)的三條射線上分別取點(diǎn)A、B、C，使OA=OB=OC，設(shè)POA=POB=POC=，則易得，所以，所以，由于BA、BC是平面內(nèi)的兩條相交直線，因此，直線l平面3證明兩個(gè)平面垂直，可以轉(zhuǎn)化為證明這兩個(gè)平面的法向量的數(shù)量積為零例3如圖3，在正方體中，E、F分別是、CD的中點(diǎn)，求證：平面AED平面證明：設(shè)，且則設(shè)是平面AED的一個(gè)法向量，則，即，即因此，可以取于是，同理，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，即，所以，不防取，從而，所以平面AED平面應(yīng)用求線段長(zhǎng)度由空間向量的數(shù)量積公式容易得到公式：，應(yīng)用這個(gè)公式可以解決空間問題中兩點(diǎn)之間的距離，即空間的距離問題可以轉(zhuǎn)化為求向量的數(shù)量積加以解決事實(shí)上公式在計(jì)算空間線段長(zhǎng)度方面的應(yīng)用非常廣泛，下面舉例加以說明例1如圖1，三棱錐中，PA=PB，CB面PAB，M、N分別在PC、AB上，且PM=MC，AN=3NB，（1）求證：MNAB；（2）當(dāng)APB=90，BC=2，AB=4時(shí)，求MN的長(zhǎng)簡(jiǎn)解：（1）設(shè)，則，且，ABMN；（2）APB=90，BC=2，AB=4，則且，即MN的長(zhǎng)為例2如圖2，有一長(zhǎng)方形的紙片ABCD，長(zhǎng)AB4cm，寬AD3cm，現(xiàn)沿它的一條對(duì)角線AC把它折疊成120的二面角，求折疊后BD的長(zhǎng)簡(jiǎn)解：作DEAC，BFAC，點(diǎn)E、F為垂足，則5cm， cm，cm， cm折疊后，DE、EF、FB的長(zhǎng)度保持不變，且cm運(yùn)用向量法求解立體幾何探索性問題立體幾何探索性問題是近年高考或各地模擬考試中的熱點(diǎn)題型向量作為一種工具，在解決立體幾何探索性問題中有著無(wú)比的優(yōu)越性運(yùn)用向量法解題，可使幾何問題代數(shù)化，大大簡(jiǎn)化思維程序，使解題思路直觀明了下面舉例說明向量法在求解兩類立體幾何探索性問題中的運(yùn)用一、條件探索型所謂“條件探索型”是指給出了問題的明確結(jié)論，但條件不足或未知，需要解題者探求、尋找使結(jié)論成立的條件的一類問題，這類問題的常用解法是逆推法，利用結(jié)論探求條件例1如圖1，棱長(zhǎng)為的正方體，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱CD上的動(dòng)點(diǎn)（非C、D兩點(diǎn)），設(shè)二面角的大小為試確定F點(diǎn)的位置，使得解析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖1所示的直角坐標(biāo)系，則設(shè)，易知設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則令，則又是平面的一個(gè)法向量，結(jié)合條件知可取，故，解得或（舍）故當(dāng)是CD的中點(diǎn)時(shí)，二、存在型所謂“存在型”是指結(jié)論不確定的問題，即在數(shù)學(xué)命題中，結(jié)論常以“是否存在”的形式出現(xiàn)，其結(jié)果可能存在，需要找出來(lái)；可能不存在，則需要說明理由解答這一類問題時(shí)，先假設(shè)結(jié)論存在，若推證無(wú)矛盾，則結(jié)論存在；若推證出矛盾，則結(jié)論不存在例2已知正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為2，底面邊長(zhǎng)為1，M是BC的中點(diǎn)在直線上是否存在一點(diǎn)，使得？若存在，請(qǐng)你求出它的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由解：假設(shè)在直線上存在一點(diǎn)，使得如圖2，建立空間直角坐標(biāo)系，有，解得，即時(shí)，用法向量求距離一、求異面直線間的距離如圖1，若是異面直線的公垂線段，分別為上的任決兩點(diǎn)令向量，則分析：，兩異面直線間的距離為（其中與垂直，分別為兩異面直線上的任意兩點(diǎn)）例1 如圖2，在正方體中，為的中點(diǎn)且正方體棱長(zhǎng)為2求異面直線和間的距離解析：以為原點(diǎn)，建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)和公垂線段上的向量為，則即又，所以異面直線和間的距離為二、求點(diǎn)到平面的距離如圖3，已知為平面的一條斜線段，為平面的法向量求證：點(diǎn)到平面的距離分析：，例2 如圖4，已知是各條棱長(zhǎng)均等于的正三棱柱，是側(cè)棱的中點(diǎn)求點(diǎn)到平面的距離解析：為正方形，易得平面平面，面，是平面的一個(gè)法向量設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則三、求直線到平面的距離例3 如圖5，已知邊長(zhǎng)為的正三角形中，分別為和的中點(diǎn)，面，且，設(shè)平面過且與平行求與平面間的距離解析：設(shè)的單位向量分別為，選取作為空間向量的一個(gè)基底易知，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，即解得直線與平面間的距離四、求兩平行平面間的距離例4 如圖6，在棱長(zhǎng)為1的正方體中求平面與平面間的距離解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易知平面與平面平行設(shè)平面的一個(gè)法向量，則即平面與平面間的距離