備戰(zhàn)新課標(biāo)高考理科數(shù)學(xué)2020訓(xùn)練題:“3+1”保分大題強(qiáng)化練八 Word版含解析
保住基本分·才能得高分 “31”保分大題強(qiáng)化練(八) 前3個(gè)大題和1個(gè)選考題不容有失1ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知2bsin Cacos Cccos A,B,c.(1)求角C;(2)若點(diǎn)E滿足2,求BE的長(zhǎng)解:(1)由題設(shè)及余弦定理可得2bsin Ca×c×,化簡(jiǎn)得2bsin Cb.因?yàn)閎>0,所以sin C.又0<C<,所以C.(2)由正弦定理易知2,解得b3.又2,所以AEACb,即AE2.在ABC中,因?yàn)锳BC,C,所以A,所以在ABE中,A,AB,AE2,由余弦定理得BE1,所以BE1.2.如圖,在四棱錐PABCD中,底面ABCD為正方形,PA底面ABCD,PAAB2,點(diǎn)M為棱PC的中點(diǎn),點(diǎn)E,F(xiàn)分別為棱AB,BC上的動(dòng)點(diǎn)(E,F(xiàn)與所在棱的端點(diǎn)不重合),且滿足BEBF.(1)證明:平面PEF平面MBD;(2)當(dāng)三棱錐FPEC的體積最大時(shí),求二面角CMFE的余弦值解:(1)證明:連接AC交BD于N,連接MN.因?yàn)榈酌鍭BCD為正方形,所以ACBD,ANCN,又PMMC,所以MNPA.因?yàn)镻A底面ABCD,所以MN底面ABCD,因?yàn)锳C底面ABCD,所以ACMN.因?yàn)锽DMNN,BD平面MBD,MN平面MBD,所以AC平面MBD.因?yàn)锽EBF,BABC,所以,即EFAC.所以EF平面MBD.因?yàn)镋F平面PEF,所以平面PEF平面MBD.(2)設(shè)BEBFx,則SCEFx(2x)又PA2,所以VFPECVPEFC×x(2x)×2(x1)2.當(dāng)三棱錐FPEC的體積最大時(shí),x1,即E,F(xiàn)分別為AB,BC的中點(diǎn)分別以A為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)閤軸,y軸,z軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.則C(2,2,0),F(xiàn)(2,1,0),E(1,0,0),M(1,1,1),(1,0,1),(1,1,0),(0,1,0)設(shè)n(x1,y1,z1)是平面MEF的法向量,則即可取n(1,1,1)設(shè)m(x2,y2,z2)是平面MCF的法向量,則即可取m(1,0,1)則cosn,m.由圖知所求二面角為鈍角,所以二面角CMFE的余弦值為.3某客戶準(zhǔn)備在家中安裝一套凈水系統(tǒng),該系統(tǒng)為三級(jí)過濾,使用壽命為十年如圖所示,兩個(gè)一級(jí)過濾器采用并聯(lián)安裝,二級(jí)過濾器與三級(jí)過濾器為串聯(lián)安裝其中每一級(jí)過濾都由核心部件濾芯來實(shí)現(xiàn)在使用過程中,一級(jí)濾芯和二級(jí)濾芯都需要不定期更換(每個(gè)濾芯是否需要更換相互獨(dú)立),三級(jí)濾芯無需更換若客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時(shí)購(gòu)買濾芯,則一級(jí)濾芯每個(gè)80元,二級(jí)濾芯每個(gè)160元若客戶在使用過程中單獨(dú)購(gòu)買濾芯,則一級(jí)濾芯每個(gè)200元,二級(jí)濾芯每個(gè)400元現(xiàn)需決策安裝凈水系統(tǒng)的同時(shí)購(gòu)買濾芯的數(shù)量,為此參考了根據(jù)100套該款凈水系統(tǒng)在十年使用期內(nèi)更換濾芯的相關(guān)數(shù)據(jù)制成的圖表,其中圖1是根據(jù)200個(gè)一級(jí)過濾器更換的濾芯個(gè)數(shù)制成的柱狀圖,表1是根據(jù)100個(gè)二級(jí)過濾器更換的濾芯個(gè)數(shù)制成的頻數(shù)分布表二級(jí)濾芯更換的個(gè)數(shù)56頻數(shù)6040表1以200個(gè)一級(jí)過濾器更換濾芯的頻率代替1個(gè)一級(jí)過濾器更換濾芯發(fā)生的概率,以100個(gè)二級(jí)過濾器更換濾芯的頻率代替1個(gè)二級(jí)過濾器更換濾芯發(fā)生的概率(1)求一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級(jí)濾芯總個(gè)數(shù)恰好為30的概率;(2)記X表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的一級(jí)濾芯總數(shù),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望;(3)記m,n分別表示該客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時(shí)購(gòu)買的一級(jí)濾芯和二級(jí)濾芯的個(gè)數(shù),若mn28,且n5,6,以該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購(gòu)買各級(jí)濾芯所需總費(fèi)用的期望值為決策依據(jù),試確定m,n的值解:(1)由題意可知,若一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級(jí)濾芯總個(gè)數(shù)恰好為30,則該套凈水系統(tǒng)中的兩個(gè)一級(jí)過濾器均需更換12個(gè)濾芯,二級(jí)過濾器需要更換6個(gè)濾芯設(shè)“一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級(jí)濾芯總個(gè)數(shù)恰好為30”為事件A.因?yàn)橐粋€(gè)一級(jí)過濾器需要更換12個(gè)濾芯的概率為0.4,二級(jí)過濾器需要更換6個(gè)濾芯的概率為0.4,所以P(A)0.4×0.4×0.40.064.(2)由柱狀圖可知,一個(gè)一級(jí)過濾器需要更換的濾芯個(gè)數(shù)為10,11,12,對(duì)應(yīng)的概率分別為0.2,0.4,0.4,由題意,X可能的取值為20,21,22,23,24,并且P(X20)0.2×0.20.04,P(X21)0.2×0.4×20.16,P(X22)0.4×0.40.2×0.4×20.32,P(X23)0.4×0.4×20.32,P(X24)0.4×0.40.16.所以X的分布列為X2021222324P0.040.160.320.320.16E(X)20×0.0421×0.1622×0.3223×0.3224×0.1622.4.(3)因?yàn)閙n28,n5,6,所以若m22,n6,則該客戶在十年使用期內(nèi)購(gòu)買各級(jí)濾芯所需總費(fèi)用的期望值為22×80200×0.32400×0.166×1602 848.若m23,n5,則該客戶在十年使用期內(nèi)購(gòu)買各級(jí)濾芯所需總費(fèi)用的期望值為23×80200×0.165×160400×0.42 832.故m,n的值分別為23,5.選考系列(請(qǐng)?jiān)谙旅娴膬深}中任選一題作答)4選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為2,點(diǎn)P的極坐標(biāo)為.(1)求C的直角坐標(biāo)方程和P的直角坐標(biāo);(2)設(shè)l與C交于A,B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為M,求|PM|.解:(1)由2,得22sin22,將2x2y2,ysin 代入并整理得,曲線C的直角坐標(biāo)方程為y21.設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(x,y),因?yàn)辄c(diǎn)P的極坐標(biāo)為,所以xcos cos1,ysin sin1.所以點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(1,1)(2)法一:將代入y21,并整理得41t2110t250,11024×41×258 000>0,故可設(shè)方程的兩根分別為t1,t2,則t1,t2為A,B對(duì)應(yīng)的參數(shù),且t1t2.依題意,點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的參數(shù)為,所以|PM|.法二:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),則x0,y0.由消去t,得yx.將yx代入y21,并整理得41x216x160,因?yàn)?16)24×41×(16)2 880>0,所以x1x2,x1x2.所以x0,y0x0×,即M.所以|PM|.5選修45:不等式選講已知函數(shù)f(x)|x1|ax3|(a>0)(1)當(dāng)a2時(shí),求不等式f(x)>1的解集;(2)若yf(x)的圖象與x軸圍成直角三角形,求a的值解:(1)當(dāng)a2時(shí),不等式f(x)>1即|x1|2x3|>1.當(dāng)x1時(shí),原不等式可化為x12x3>1,解得x>5,因?yàn)閤1,所以此時(shí)原不等式無解;當(dāng)1<x時(shí),原不等式可化為x12x3>1,解得x>1,所以1<x;當(dāng)x>時(shí),原不等式可化為x12x3>1,解得x<3,所以<x<3.綜上,原不等式的解集為x|1<x<3(2)法一:因?yàn)閍>0,所以>0,所以f(x)因?yàn)閍>0,所以f(1)a3<0,f1>0.當(dāng)0<a<1時(shí),f(x)的圖象如圖1所示,要使得yf(x)的圖象與x軸圍成直角三角形,則(a1)(a1)1,解得a0,舍去;當(dāng)a1時(shí),f(x)的圖象如圖2所示,所以yf(x)的圖象與x軸不能圍成三角形,不符合題意,舍去;當(dāng)a>1時(shí),f(x)的圖象如圖3所示,要使得yf(x)的圖象與x軸圍成直角三角形,則(1a)(a1)1,解得a±,因?yàn)閍>1,所以a.綜上,所求a的值為.法二:因?yàn)閍>0,所以>0,所以f(x)若yf(x)的圖象與x軸圍成直角三角形,則(a1)(a1)1或(a1)(1a)1,解得a0(舍去)或a或a(舍去)經(jīng)檢驗(yàn),a符合題意,所以所求a的值為.