保住基本分·才能得高分 “31”保分大題強(qiáng)化練(八) 前3個(gè)大題和1個(gè)選考題不容有失1ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知2bsin Cacos Cccos A，B，c.(1)求角C；(2)若點(diǎn)E滿足2，求BE的長(zhǎng)解：(1)由題設(shè)及余弦定理可得2bsin Ca×c×，化簡(jiǎn)得2bsin Cb.因?yàn)閎>0，所以sin C.又0<C<，所以C.(2)由正弦定理易知2，解得b3.又2，所以AEACb，即AE2.在ABC中，因?yàn)锳BC，C，所以A，所以在ABE中，A，AB，AE2，由余弦定理得BE1，所以BE1.2.如圖，在四棱錐P­ABCD中，底面ABCD為正方形，PA底面ABCD，PAAB2，點(diǎn)M為棱PC的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)(E，F(xiàn)與所在棱的端點(diǎn)不重合)，且滿足BEBF.(1)證明：平面PEF平面MBD；(2)當(dāng)三棱錐F­PEC的體積最大時(shí)，求二面角C­MF­E的余弦值解：(1)證明：連接AC交BD于N，連接MN.因?yàn)榈酌鍭BCD為正方形，所以ACBD，ANCN，又PMMC，所以MNPA.因?yàn)镻A底面ABCD，所以MN底面ABCD，因?yàn)锳C底面ABCD，所以ACMN.因?yàn)锽DMNN，BD平面MBD，MN平面MBD，所以AC平面MBD.因?yàn)锽EBF，BABC，所以，即EFAC.所以EF平面MBD.因?yàn)镋F平面PEF，所以平面PEF平面MBD.(2)設(shè)BEBFx，則SCEFx(2x)又PA2，所以VF­PECVP­EFC×x(2x)×2(x1)2.當(dāng)三棱錐F­PEC的體積最大時(shí)，x1，即E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)分別以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)­xyz.則C(2,2,0)，F(xiàn)(2,1,0)，E(1,0,0)，M(1,1,1)，(1,0，1)，(1，1,0)，(0,1,0)設(shè)n(x1，y1，z1)是平面MEF的法向量，則即可取n(1，1,1)設(shè)m(x2，y2，z2)是平面MCF的法向量，則即可取m(1,0,1)則cosn，m.由圖知所求二面角為鈍角，所以二面角C­MF­E的余弦值為.3某客戶準(zhǔn)備在家中安裝一套凈水系統(tǒng)，該系統(tǒng)為三級(jí)過濾，使用壽命為十年如圖所示，兩個(gè)一級(jí)過濾器采用并聯(lián)安裝，二級(jí)過濾器與三級(jí)過濾器為串聯(lián)安裝其中每一級(jí)過濾都由核心部件濾芯來實(shí)現(xiàn)在使用過程中，一級(jí)濾芯和二級(jí)濾芯都需要不定期更換(每個(gè)濾芯是否需要更換相互獨(dú)立)，三級(jí)濾芯無需更換若客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時(shí)購(gòu)買濾芯，則一級(jí)濾芯每個(gè)80元，二級(jí)濾芯每個(gè)160元若客戶在使用過程中單獨(dú)購(gòu)買濾芯，則一級(jí)濾芯每個(gè)200元，二級(jí)濾芯每個(gè)400元現(xiàn)需決策安裝凈水系統(tǒng)的同時(shí)購(gòu)買濾芯的數(shù)量，為此參考了根據(jù)100套該款凈水系統(tǒng)在十年使用期內(nèi)更換濾芯的相關(guān)數(shù)據(jù)制成的圖表，其中圖1是根據(jù)200個(gè)一級(jí)過濾器更換的濾芯個(gè)數(shù)制成的柱狀圖，表1是根據(jù)100個(gè)二級(jí)過濾器更換的濾芯個(gè)數(shù)制成的頻數(shù)分布表二級(jí)濾芯更換的個(gè)數(shù)56頻數(shù)6040表1以200個(gè)一級(jí)過濾器更換濾芯的頻率代替1個(gè)一級(jí)過濾器更換濾芯發(fā)生的概率，以100個(gè)二級(jí)過濾器更換濾芯的頻率代替1個(gè)二級(jí)過濾器更換濾芯發(fā)生的概率(1)求一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級(jí)濾芯總個(gè)數(shù)恰好為30的概率；(2)記X表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的一級(jí)濾芯總數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；(3)記m，n分別表示該客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時(shí)購(gòu)買的一級(jí)濾芯和二級(jí)濾芯的個(gè)數(shù)，若mn28，且n5,6，以該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購(gòu)買各級(jí)濾芯所需總費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，試確定m，n的值解：(1)由題意可知，若一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級(jí)濾芯總個(gè)數(shù)恰好為30，則該套凈水系統(tǒng)中的兩個(gè)一級(jí)過濾器均需更換12個(gè)濾芯，二級(jí)過濾器需要更換6個(gè)濾芯設(shè)“一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級(jí)濾芯總個(gè)數(shù)恰好為30”為事件A.因?yàn)橐粋€(gè)一級(jí)過濾器需要更換12個(gè)濾芯的概率為0.4，二級(jí)過濾器需要更換6個(gè)濾芯的概率為0.4，所以P(A)0.4×0.4×0.40.064.(2)由柱狀圖可知，一個(gè)一級(jí)過濾器需要更換的濾芯個(gè)數(shù)為10,11,12，對(duì)應(yīng)的概率分別為0.2,0.4,0.4，由題意，X可能的取值為20,21,22,23,24，并且P(X20)0.2×0.20.04，P(X21)0.2×0.4×20.16，P(X22)0.4×0.40.2×0.4×20.32，P(X23)0.4×0.4×20.32，P(X24)0.4×0.40.16.所以X的分布列為X2021222324P0.040.160.320.320.16E(X)20×0.0421×0.1622×0.3223×0.3224×0.1622.4.(3)因?yàn)閙n28，n5,6，所以若m22，n6，則該客戶在十年使用期內(nèi)購(gòu)買各級(jí)濾芯所需總費(fèi)用的期望值為22×80200×0.32400×0.166×1602 848.若m23，n5，則該客戶在十年使用期內(nèi)購(gòu)買各級(jí)濾芯所需總費(fèi)用的期望值為23×80200×0.165×160400×0.42 832.故m，n的值分別為23,5.選考系列(請(qǐng)?jiān)谙旅娴膬深}中任選一題作答)4選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為2，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為.(1)求C的直角坐標(biāo)方程和P的直角坐標(biāo)；(2)設(shè)l與C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，求|PM|.解：(1)由2，得22sin22，將2x2y2，ysin 代入并整理得，曲線C的直角坐標(biāo)方程為y21.設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(x，y)，因?yàn)辄c(diǎn)P的極坐標(biāo)為，所以xcos cos1，ysin sin1.所以點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(1,1)(2)法一：將代入y21，并整理得41t2110t250，11024×41×258 000>0，故可設(shè)方程的兩根分別為t1，t2，則t1，t2為A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)，且t1t2.依題意，點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，所以|PM|.法二：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，則x0，y0.由消去t，得yx.將yx代入y21，并整理得41x216x160，因?yàn)?16)24×41×(16)2 880>0，所以x1x2，x1x2.所以x0，y0x0×，即M.所以|PM|.5選修45：不等式選講已知函數(shù)f(x)|x1|ax3|(a>0)(1)當(dāng)a2時(shí)，求不等式f(x)>1的解集；(2)若yf(x)的圖象與x軸圍成直角三角形，求a的值解：(1)當(dāng)a2時(shí)，不等式f(x)>1即|x1|2x3|>1.當(dāng)x1時(shí)，原不等式可化為x12x3>1，解得x>5，因?yàn)閤1，所以此時(shí)原不等式無解；當(dāng)1<x時(shí)，原不等式可化為x12x3>1，解得x>1，所以1<x；當(dāng)x>時(shí)，原不等式可化為x12x3>1，解得x<3，所以<x<3.綜上，原不等式的解集為x|1<x<3(2)法一：因?yàn)閍>0，所以>0，所以f(x)因?yàn)閍>0，所以f(1)a3<0，f1>0.當(dāng)0<a<1時(shí)，f(x)的圖象如圖1所示，要使得yf(x)的圖象與x軸圍成直角三角形，則(a1)(a1)1，解得a0，舍去；當(dāng)a1時(shí)，f(x)的圖象如圖2所示，所以yf(x)的圖象與x軸不能圍成三角形，不符合題意，舍去；當(dāng)a>1時(shí)，f(x)的圖象如圖3所示，要使得yf(x)的圖象與x軸圍成直角三角形，則(1a)(a1)1，解得a±，因?yàn)閍>1，所以a.綜上，所求a的值為.法二：因?yàn)閍>0，所以>0，所以f(x)若yf(x)的圖象與x軸圍成直角三角形，則(a1)(a1)1或(a1)(1a)1，解得a0(舍去)或a或a(舍去)經(jīng)檢驗(yàn)，a符合題意，所以所求a的值為.