保住基本分·才能得高分 “31”保分大題強化練(三) 前3個大題和1個選考題不容有失1設(shè)數(shù)列an滿足a11，an1(nN*)(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)設(shè)bn，求數(shù)列bn的前n項和Tn.解：(1)證明：an1，.又a11，1，數(shù)列是以1為首項，為公差的等差數(shù)列(2)由(1)知1(n1)，an2，bn11，Tnb1b2b3bnnnn，數(shù)列bn的前n項和Tnn.2.如圖所示多面體ABCDEF，其底面ABCD為矩形，且AB2，BC2，四邊形BDEF為平行四邊形，點F在底面ABCD內(nèi)的投影恰好是BC的中點(1)已知G為線段FC的中點，證明：BG平面AEF；(2)若二面角F­BD­C的大小為，求直線AE與平面BDEF所成角的正弦值解：(1)證明：如圖，連接AC交BD于H，連接GH，則GH為ACF的中位線，GHAF.GH平面AEF，AF平面AEF，GH平面AEF.又BDEF，BD平面AEF，EF平面AEF，BD平面AEF.連接DG，BDGHH，BD平面BDG，GH平面BDG，平面BDG平面AEF，BG平面BDG，BG平面AEF.(2)取BC的中點O，AD的中點M，連接OF，OM，則OF平面ABCD，OMBC，以O(shè)為坐標原點，OC，OM，OF所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則O(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,0,0)，D(1,2，0)，(2,2，0)設(shè)OFa(a0)，則F(0,0，a)，(1,0，a)設(shè)平面BDEF的法向量為n1(x，y，z)，由得令xa，得n1(a，a，)易得平面ABCD的一個法向量為n2(0,0,1)二面角F­BD­C的大小為，|cosn1，n2|，解得a.設(shè)直線AE與平面BDEF所成的角為，(2,0,0)，且n1，sin |cos，n1|.故直線AE與平面BDEF所成角的正弦值為.32019年2月25日，第11屆羅馬尼亞數(shù)學(xué)大師賽(簡稱RMM)于羅馬尼亞首都布加勒斯特閉幕，最終成績揭曉，以色列選手排名第一，而中國隊無一人獲得金牌，最好成績是獲得銀牌的第15名，總成績排名第6.在分量極重的國際數(shù)學(xué)奧林匹克(IMO)比賽中，過去拿冠軍拿到手軟的中國隊，已經(jīng)連續(xù)4年沒有拿到冠軍了人們不禁要問“中國奧數(shù)究竟怎么了？”，一時間關(guān)于各級教育主管部門是否應(yīng)該下達“禁奧令”成為社會討論的熱點某重點高中培優(yōu)班共50人，現(xiàn)就這50人對“禁奧令”的態(tài)度進行問卷調(diào)查，得到如下的列聯(lián)表：不應(yīng)下“禁奧令”應(yīng)下“禁奧令”總計男生5女生10總計50若按對“禁奧令”的態(tài)度采用分層抽樣的方法從50人中抽出10人進行重點調(diào)查，其中認為不應(yīng)下“禁奧令”的同學(xué)共有6人(1)請將上面的列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有99%的把握認為對下“禁奧令”的態(tài)度與性別有關(guān)？說明你的理由(2)現(xiàn)從這10人中抽出2名男生、2名女生，記此4人中認為不應(yīng)下“禁奧令”的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望參考公式與數(shù)據(jù)：K2.P(K2k0)0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.828解：(1)設(shè)認為不應(yīng)該下“禁奧令”的同學(xué)共有x人，則，解得x30，所以列聯(lián)表補充如下：不應(yīng)下“禁奧令”應(yīng)下“禁奧令”總計男生20525女生101525總計302050所以K28.333>6.635，所以有99%的把握認為對下“禁奧令”的態(tài)度與性別有關(guān)(2)由題意，可知在這10人中，男、女生各5人，其中男生有4人、女生有2人認為不應(yīng)下“禁奧令”，的所有可能取值有1,2,3,4.P(1)，P(2)，P(3)，P(4).所以的分布列為1234P 所以E()1×2×3×4×2.4.選考系列(請在下面的兩題中任選一題作答)4選修44：坐標系與參數(shù)方程在平面直角坐標系xOy中，直線l1的傾斜角為30°，且經(jīng)過點A(2,1)以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線l2：cos 3.從坐標原點O作射線交l2于點M，點N為射線OM上的點，滿足|OM|·|ON|12，記點N的軌跡為曲線C.(1)寫出直線l1的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標方程；(2)設(shè)直線l1與曲線C交于P，Q兩點，求|AP|·|AQ|的值解：(1)直線l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，即(t為參數(shù))設(shè)N(，)，M(1，1)(>0，1>0)，則又1cos 13，所以12，即4cos ，所以曲線C的直角坐標方程為x2y24x0(x0)(2)設(shè)P，Q對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，將直線l1的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標方程中，得2240，即t2t30，13>0，t1，t2為方程的兩個根，所以t1t23，所以|AP|·|AQ|t1t2|3|3.5選修45：不等式選講已知函數(shù)f(x)|x1|.(1)求不等式f(x)|2x1|1的解集M；(2)設(shè)a，bM，證明：f(ab)f(a)f(b)解：(1)由題意，|x1|<|2x1|1，當x1時，不等式可化為x12x2，解得x1；當1x時，不等式可化為x12x2，此時不等式無解；當x時，不等式可化為x12x，解得x1.綜上，Mx|x1或x1(2)證明：因為f(a)f(b)|a1|b1|a1(b1)|ab|，所以要證f(ab)f(a)f(b)，只需證|ab1|ab|，即證|ab1|2|ab|2，即證a2b22ab1a22abb2，即證a2b2a2b210，即證(a21)(b21)0.因為a，bM，所以a21，b21，所以(a21)(b21)0成立，所以原不等式成立