第8節(jié)函數(shù)與方程 課時(shí)訓(xùn)練 練題感 提知能 【選題明細(xì)表】知識(shí)點(diǎn)、方法題號(hào)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)3、4、6、7、8、12函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間1、2、5、9函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用10、11、13、14、15、16A組一、選擇題1.(20xx惠陽(yáng)一中實(shí)驗(yàn)學(xué)校模擬)函數(shù)f(x)=1x-log2x的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(C)(A)(14,12)(B)(12,1)(C)(1,2)(D)(2,3)解析:f(x)在(0,+)上是減函數(shù),且f(1)=1>0,f(2)=12-1=-12<0,則f(x)的零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi).故選C.2.(20xx山東萊州一中月考)函數(shù)f(x)=ln x+ex的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(A)(A)(0,1e)(B)(1e,1)(C)(1,e)(D)(e,+)解析:函數(shù)f(x)=ln x+ex在(0,+)上單調(diào)遞增,F(1e)=ln 1e+e1e=-1+e1e>0,結(jié)合選項(xiàng)知應(yīng)選A.3.(20xx山東臨沂市模擬)函數(shù)f(x)=x-2-x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(B)(A)0(B)1(C)2(D)3解析:由f(x)=x-2-x=0得x=(12)x,在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=x,y=(12)x的圖象,由圖象可知兩函數(shù)的交點(diǎn)有1個(gè),即函數(shù)f(x)=x-2-x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.故選B.4.函數(shù)f(x)=x2+2x-3,x0,-2+lnx,x>0的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(C)(A)0(B)1(C)2(D)3解析:當(dāng)x0時(shí),令x2+2x-3=0,解得x=-3或x=1(舍去),當(dāng)x>0時(shí),令-2+ln x=0,解得x=e2,所以函數(shù)f(x)有2個(gè)零點(diǎn),故選C.5.(高考重慶卷)若a<b<c,則函數(shù)f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間(A)(A)(a,b)和(b,c)內(nèi) (B)(-,a)和(a,b)內(nèi)(C)(b,c)和(c,+)內(nèi)(D)(-,a)和(c,+)內(nèi)解析:a<b<c,f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0,f(a)f(b)<0,f(b)f(c)<0,故選A.6.(高考湖南卷)函數(shù)f(x)=ln x的圖象與函數(shù)g(x)=x2-4x+4的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為(C)(A)0(B)1(C)2(D)3解析:g(x)=x2-4x+4=(x-2)2,在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出函數(shù)f(x)=ln x與g(x)=(x-2)2的圖象(如圖).由圖可得兩個(gè)函數(shù)的圖象有2個(gè)交點(diǎn).故選C. 7.(20xx湛江市高考測(cè)試)函數(shù)f(x)=(x-1)cos x2在區(qū)間0,4上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是(C)(A)4(B)5(C)6(D)7解析:由f(x)=0得x=1或cos x2=0,由cos x2=0,得x2=k+2(kZ);又x0,4,因此0x2=k+216,-12k16-12,因此整數(shù)k可取0,1,2,3,4,因此f(x)在0,4上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是6,故選C.二、填空題8.(20xx山東棗莊一模)函數(shù)f(x)=x+1,x0,x2+x,x<0的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為. 解析:當(dāng)x0時(shí),由f(x)=0得x+1=0,此時(shí)x=-1不成立.當(dāng)x<0時(shí),由f(x)=0得x2+x=0,此時(shí)x=-1或x=0(不成立舍去).所以函數(shù)的零點(diǎn)為x=-1.答案:19.(20xx惠州市高三第一次模擬)已知函數(shù)f(x)=3x+x-9的零點(diǎn)為x0,則x0所在區(qū)間為. 解析:f(12)=312+12-9<0,F(32)=332+32-9<0,f(52)=352+52-9>0.答案:32,5210.(20xx惠州市二調(diào))若函數(shù)f(x)=|4x-x2|-a有3個(gè)零點(diǎn),則a=. 解析:作出函數(shù)y=|4x-x2|的圖象如圖所示,若f(x)有3個(gè)零點(diǎn),則函數(shù)y=|4x-x2|與函數(shù)y=a的圖象有3個(gè)交點(diǎn),由圖知a=4.答案:411.(20xx山東即墨市期末)已知函數(shù)f(x)=log2x,x>0,2x,x0,且關(guān)于x的方程f(x)-a=0有兩個(gè)實(shí)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是. 解析:f(x)的圖象如圖,要使方程f(x)-a=0有兩個(gè)實(shí)根,即y=f(x)與y=a的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),0<a1.答案:(0,1三、解答題12.判斷函數(shù)f(x)=1+4x+x2-23x3在區(qū)間(-1,1)內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù),并說(shuō)明理由.解:f(-1)=1-4+1+23=-43<0,f(1)=1+4+1-23=163>0,f(x)在區(qū)間(-1,1)內(nèi)有零點(diǎn).又f'(x)=4+2x-2x2=-2(x+1)(x-2),當(dāng)-1<x<1時(shí),f'(x)>0,f(x)在(-1,1)內(nèi)單調(diào)遞增,因此,f(x)在(-1,1)內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).13.已知函數(shù)f(x)=4x+m·2x+1有且僅有一個(gè)零點(diǎn),求m的取值范圍,并求出該零點(diǎn).解:f(x)=4x+m·2x+1有且僅有一個(gè)零點(diǎn),即方程(2x)2+m·2x+1=0僅有一個(gè)實(shí)根,設(shè)2x=t(t>0),則t2+mt+1=0僅有一個(gè)正實(shí)根.當(dāng)=0時(shí),m2-4=0,解得m=2或m=-2,而m=-2時(shí),t=1;m=2時(shí),t=-1(不合題意,舍去),2x=1,x=0符合題意.當(dāng)>0,即m>2或m<-2時(shí),t2+mt+1=0有兩正根或兩負(fù)根,即f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)或沒(méi)有零點(diǎn).這種情況不符合題意.綜上可知,m=-2時(shí),f(x)有唯一零點(diǎn),該零點(diǎn)為0.B組14.(20xx廣東廣州一模)已知e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),函數(shù)f(x)=ex+x-2的零點(diǎn)為a,函數(shù)g(x)=ln x+x-2的零點(diǎn)為b,則下列不等式成立的是(A)(A)f(a)<f(1)<f(b)(B)f(a)<f(b)<f(1)(C)f(1)<f(a)<f(b)(D)f(b)<f(1)<f(a)解析:函數(shù)f(x),g(x)均為定義域上的單調(diào)遞增函數(shù),且f(0)=-1<0,f(1)=e-1>0,g(1)=-1<0,g(e)=e-1>0,所以a(0,1),b(1,e),即a<1<b,所以f(a)<f(1)<f(b).故選A.15.(20xx梅州市質(zhì)檢)設(shè)f(x)與g(x)是定義在同一區(qū)間a,b上的兩個(gè)函數(shù),若函數(shù)y=f(x)-g(x)在xa,b上有兩個(gè)不同的零點(diǎn),則稱f(x)和g(x)在a,b上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”,區(qū)間a,b稱為“關(guān)聯(lián)區(qū)間”.若f(x)=x2-3x+4與g(x)=2x+m在0,3上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”,則m的取值范圍為(C)(A)(-,-2(B)-1,0(C)(-94,-2(D)(-94,+)解析:由題意可得x2-3x+4=2x+m在x0,3上有兩個(gè)不同的根,即函數(shù)y=m,y=x2-5x+4,x0,3的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn),作出函數(shù)圖象如圖,由圖可知,當(dāng)-94<m-2時(shí)滿足要求,故選C.16.(1)已知f(x)=x2+2mx+3m+4,m為何值時(shí).函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn);函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)且均比-1大;(2)若函數(shù)f(x)=|4x-x2|+a有4個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解:(1)f(x)=x2+2mx+3m+4有且僅有一個(gè)零點(diǎn)方程f(x)=0有兩個(gè)相等實(shí)根=0,即4m2-4(3m+4)=0,即m2-3m-4=0,m=4或m=-1.法一設(shè)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為x1,x2,則x1+x2=-2m,x1·x2=3m+4.由題意,知=4m2-4(3m+4)>0,(x1+1)(x2+1)>0,(x1+1)+(x2+1)>0m2-3m-4>0,3m+4-2m+1>0,-2m+2>0m>4或m<-1,m>-5,m<1,-5<m<-1.故m的取值范圍為(-5,-1).法二由題意,知>0,-m>-1,f(-1)>0,即m2-3m-4>0,m<1,1-2m+3m+4>0.-5<m<-1.m的取值范圍為(-5,-1).(2)令f(x)=0,得|4x-x2|+a=0,即|4x-x2|=-a.令g(x)=|4x-x2|,h(x)=-a.作出g(x)、h(x)的圖象.由圖象可知,當(dāng)0<-a<4,即-4<a<0時(shí),g(x)與h(x)的圖象有4個(gè)交點(diǎn),即f(x)有4個(gè)零點(diǎn).故a的取值范圍為(-4,0).