0專題八：立體幾何例 題在如圖所示的四棱錐PABCD中，四邊形ABCD為正方形，PACD，BC平面PAB，且E，M，N分別為PD，CD，AD的中點，3（1）證明：PB平面FMN；（2）若PAAB，求二面角EACB的余弦值【解析】（1）證明：連接BD，分別交AC，MN于點O，G，連接EO，F(xiàn)GO為BD中點，E為PD中點，EOPB又3，F(xiàn)為ED中點又CMMD，ANDN，G為OD的中點，F(xiàn)GEO，PBFGFG平面FMN，PB平面FMN，PB平面FMN（2）解：BC平面PAB，BCPA，又PACD，BCCDC，PA平面ABCD如圖，以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系設(shè)PAAB2，可知A(0，0，0)，C(2，2，0)，B(2，0，0)，E(0，1，1)，則(2，2，0)，(0，1，1)PA平面ABCD，平面ABC的一個法向量n0(0，0，1)設(shè)平面AEC的法向量為n(x，y，z)，則即令x1，則y1，z1，n(1，1，1)cosn0，n由圖可知，二面角EACB為鈍角，二面角EACB的余弦值為【答案】（1）見解析；（2） 基礎(chǔ)回歸立體幾何是高考中必考的題型之一，并且分值占卷面的12%左右，多數(shù)是22分，?？純蓚€客觀題和一個主觀題，對學生的空間想象能力和運算推理能力要求較高，考點主要集中在空間幾何體的三視圖，空間幾何體的表面積與體積，證明直線、平面的平行與垂直關(guān)系，求角立體幾何主要位于必修2中立體幾何初步和選修2-1中空間向量 規(guī)范訓練綜合題（48分/60min）1（12分/15min）如圖，在四棱錐PABCD中，ABD是邊長為2的正三角形，PC底面ABCD，ABBP，BC（1）求證：PABD；（2）若PCBC，求二面角ABPD的正弦值【解析】（1）證明：連接AC交BD于OPC底面ABCD，PCABABBP，BPCPP，AB平面PBC，則ABBCBC，tan BAC，即BAC30°ABD60°，AOB90°，即ACBDPCBD，BD平面ACP，PABD（2）解：由(1)知O是BD的中點，過O作OFPC交AP于F，以O(shè)為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，:則A(，0，0)，B(0，1，0)，D(0，1，0)，C，P，則(0，2，0)，設(shè)平面PBD的一個法向量為n(x，y，z)，則即令z1，則x2，n(2，0，1)取PB的中點E，連接CEPCBC，CEPB，則CE平面ABP，向量是平面ABP的一個法向量，cosn，二面角ABPD的正弦值為【答案】（1）見解析，（2）滿分規(guī)范 1.時間：你是否在限定時間內(nèi)完成？ 是 否 2.步驟：答題步驟是否與標答一致？ 是 否3.語言：答題學科用語是否精準規(guī)范？是 否 4.書寫：字跡是否工整？卷面是否整潔？是 否5.得分點：答題得分點是否全面無誤？是 否 6.教材：教材知識是否全面掌握？ 是 否2（12分/15min）如圖，四棱錐PABCD，側(cè)面PAD是邊長為2的正三角形，且與底面垂直，底面ABCD是ABC60°的菱形，M是棱PC上的動點，且(0，1)（1）求證：BCPC；（2）試確定的值，使得二面角PADM的平面角的余弦值為【解析】（1）證明：取AD中點O，連接OP，OC，側(cè)面PAD是邊長為2的正三角形，且與底面垂直，底面ABCD是ABC60°的菱形，ADC是等邊三角形，PO，AD，CO兩兩垂直，以O(shè)為原點，OC所在直線為x軸，OD所在直線為y軸，OP所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，由題意得P(0，0，)，C(，0，0)，B(，2，0)，(0，2，0)，(，0，)，·0，BCPC（2）解：由可得點M的坐標為(，0，)，(，1，)，(，1，)，設(shè)平面AMD的法向量n(x，y，z)，則令z，得n(1，0，)由題意得，平面PAD的法向量m(1，0，0)二面角PADM的平面角的余弦值為，|cosm，n|，由0，1，解得【答案】（1）見解析；（2）滿分規(guī)范 1.時間：你是否在限定時間內(nèi)完成？ 是 否 2.步驟：答題步驟是否與標答一致？ 是 否3.語言：答題學科用語是否精準規(guī)范？是 否 4.書寫：字跡是否工整？卷面是否整潔？是 否5.得分點：答題得分點是否全面無誤？是 否 6.教材：教材知識是否全面掌握？ 是 否3（12分/15min）如圖，在梯形ABCD中，ABCD，ADDCCB1，BCD120°，四邊形BFED為矩形，平面BFED平面ABCD，BF1（1）求證：AD平面BFED；（2）點P在線段EF上運動，設(shè)平面PAB與平面ADE所成銳二面角為，試求的最小值【解析】（1）證明：在梯形ABCD中，ABCD，ADDCCB1，BCD120°，AB2，BD2AB2AD22AB·AD·cos 60°3AB2AD2BD2，ADBD平面BFED平面ABCD，平面BFED平面ABCDBD，DE平面BFED，DEDB，DE平面ABCD，DEAD，又DEBDD，AD平面BFED（2）解：由（1）可建立分別以直線DA，DB，DE為x軸、y軸、z軸的空間直角坐標系，如圖所示令EP(0)，則D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，0)，P(0，1)，(1，0)，(0，1)設(shè)n1(x，y，z)為平面PAB的法向量，由得取y1，則n1(，1，)n2(0，1，0)是平面ADE的一個法向量，cos 0，當時，cos 有最大值，的最小值為【答案】（1）見解析；（2）滿分規(guī)范 1.時間：你是否在限定時間內(nèi)完成？ 是 否 2.步驟：答題步驟是否與標答一致？ 是 否3.語言：答題學科用語是否精準規(guī)范？是 否 4.書寫：字跡是否工整？卷面是否整潔？是 否5.得分點：答題得分點是否全面無誤？是 否 6.教材：教材知識是否全面掌握？ 是 否4（12分/15min）如圖，在直角梯形ABCD中，ADBC，BAD，ABBC，AD2，E是AD的中點，O是AC與BE的交點將ABE沿BE折起到A1BE的位置，如圖（1）證明：CD平面A1OC；（2）若平面A1BE平面BCDE，求平面A1BC與平面A1CD夾角的余弦值【解析】（1）證明：在題圖中，因為ABBC，AD2，E是AD的中點，BAD，所以BEAC即在題圖中，BEOA1，BEOC，從而BE平面A1OC又CDBE，所以CD平面A1OC（2）解：由已知，平面A1BE平面BCDE，又由(1)知，BEOA1，BEOC，所以A1OC為二面角A1BEC的平面角，所以A1OC如圖，以O(shè)為原點，建立空間直角坐標系因為A1BA1EBCED1，BCED，所以B(1，0，0)，E(1，0，0)，A1(0，0，1)，C(0，1，0)，D(2，1，0)，得(1，1，0)，(0，1，1)，(2，0，0)設(shè)平面A1BC的法向量n1(x1，y1，z1)，平面A1CD的法向量n2(x2，y2，z2)，平面A1BC與平面A1CD的夾角為，則得取n1(1，1，1)得取n2(0，1，1)從而cos |cosn1，n2|，即平面A1BC與平面A1CD夾角的余弦值為【答案】（1）見解析，（2）滿分規(guī)范 1.時間：你是否在限定時間內(nèi)完成？ 是 否 2.步驟：答題步驟是否與標答一致？ 是 否3.語言：答題學科用語是否精準規(guī)范？是 否 4.書寫：字跡是否工整？卷面是否整潔？是 否5.得分點：答題得分點是否全面無誤？是 否 6.教材：教材知識是否全面掌握？ 是 否歡迎訪問“高中試卷網(wǎng)”http:/sj.fjjy.org