專題突破練(7)概率與其他知識的交匯一、選擇題1(2018太原五中測試)在區(qū)間1，5上隨機地取一個數(shù)m，則方程4x2m2y21表示焦點在y軸上的橢圓的概率是()A B C D答案B解析由方程4x2m2y21，即1表示焦點在y軸上的橢圓，得<，即m2<4，而1m5，則1m2，則所求概率為故選B2(2018湖南六校聯(lián)考)折紙已經(jīng)成為開發(fā)少年兒童智力的一種重要工具和手段，已知在折疊“愛心”活動中，會產(chǎn)生如圖所示的幾何圖形，其中四邊形ABCD為正方形，G為線段BC的中點，四邊形AEFG與四邊形DGHI也是正方形，連接EB，CI，則向多邊形AEFGHID中投擲一點，則該點落在陰影部分的概率為()A B C D答案C解析設AB2，則BG1，AG，故多邊形AEFGHID的面積S()222212，由sinEABcosGAB，所以S陰影部分AEABsinEAB2，故所求概率P故選C3(2018石家莊一模)函數(shù)f(x)2x(x<0)，其值域為D，在區(qū)間(1，2)上隨機取一個數(shù)x，則xD的概率是()A B C D答案B解析因為函數(shù)f(x)2x(x<0)的值域為(0，1)，即D(0，1)，則在區(qū)間(1，2)上隨機取一個數(shù)x，xD的概率P故選B4(2018廣東三校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)x3ax2b2x1，若a是從1，2，3三個數(shù)中任取一個數(shù)，b是從0，1，2三個數(shù)中任取一個數(shù)，則該函數(shù)有兩個極值點的概率為()A B C D答案D解析將a記為橫坐標，b記為縱坐標，可知有(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，共9個基本事件，而函數(shù)有兩個極值點的條件為其導函數(shù)有兩個不相等的實根因為f(x)x22axb2，滿足題中條件為4a24b2>0，即a>b，所以滿足條件的有(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，共6個基本事件，所以所求的概率為P故選D5(2018湖北部分重點中學聯(lián)考二)已知實數(shù)a，b是利用計算機產(chǎn)生的01之間的均勻隨機數(shù)，設事件A為“(a1)2b2>”，則事件A發(fā)生的概率為()A B1 C D1答案B解析分別以a，b為橫軸和縱軸建立平面直角坐標系，則符合題意的實數(shù)對(a，b)表示的平面區(qū)域為邊長為1的正方形及其內(nèi)部，其中使得事件A不發(fā)生的實數(shù)對(a，b)表示的平面區(qū)域為以(1，0)為圓心，半徑為的四分之一個圓及其內(nèi)部，則事件A發(fā)生的概率為1故選B6(2018江西重點中學盟校聯(lián)考一)如圖，在圓心角為直角的扇形OAB區(qū)域中，M，N分別為OA，OB的中點，在M，N兩點處各有一個通信基站，其信號的覆蓋范圍分別為以OA，OB為直徑的圓，在扇形OAB內(nèi)隨機取一點，則能夠同時收到兩個基站信號的概率是()A1 BC2 D答案B解析設以OA，OB為直徑的兩個圓相交于點C，由題意，OA的中點是M，則CMO90，設扇形OAB的半徑為OAr，則S扇形OABr2，S半圓OACr2，SOMC，所以能夠同時收到兩個基站信號部分的面積為2S半圓OACSOMC，所以所求概率為故選B7(2018山西考前適應訓練)甲、乙二人約定7：10在某處會面，甲在7：007：20內(nèi)某一時刻隨機到達，乙在7：057：20內(nèi)某一時刻隨機到達，則甲至少需等待乙5分鐘的概率是()A B C D答案C解析設甲、乙到達約會地點的時刻分別是x，y，則取值范圍為對應區(qū)域是以20和15為邊長的長方形，其中甲至少需等待乙5分鐘滿足yx5，對應區(qū)域是以15為直角邊的等腰直角三角形(如圖中陰影部分(含邊界)所示)，則所求概率為故選C二、填空題8(2019成都模擬)甲、乙兩人在5次綜合測評中成績的莖葉圖如圖所示，其中一個數(shù)字被污損，記甲、乙的平均成績分別為甲，乙，則甲>乙的概率是_答案解析乙的綜合測評成績?yōu)?6，87，91，92，94，乙90，污損處可取數(shù)字0，1，2，9，共10種，而甲>乙發(fā)生對應的數(shù)字有6，7，8，9，共4種，故甲>乙的概率為9(2018安徽聯(lián)考)將一顆骰子投擲兩次，第一次出現(xiàn)的點數(shù)記為a，第二次出現(xiàn)的點數(shù)記為b，設任意投擲兩次使l1：xay3，l2：bx6y3平行的概率為P1，不平行的概率為P2，若點(P1，P2)在圓(xm)2y2的內(nèi)部，則實數(shù)m的取值范圍是_答案<m<解析由l1l2得ab6且a6，b1，滿足條件的(a，b)為(1，6)，(2，3)，(3，2)，而所有的(a，b)有6636種，P1，P2，22<，解得<m<10(2018福州畢業(yè)質(zhì)檢)如圖，在菱形ABCD中，AB2，ABC60，以該菱形的4個頂點為圓心的扇形的半徑都為1若在菱形內(nèi)隨機取一點，則該點取自黑色部分的概率是_答案解析由題可知四個扇形的面積之和剛好為半徑為1的圓的面積，此時黑色部分的面積即為菱形面積減去半徑為1的圓的面積，從而所求概率為P三、解答題11(2018湖北八市聯(lián)考)我們經(jīng)常聽到這種說法：“如果數(shù)學學得好，物理就沒有什么大的問題了”，為了驗證這句話的科學性，某班甲、乙兩位同學根據(jù)高中所學的統(tǒng)計知識，用兩種不同的方案對班上學生的數(shù)學、物理成績進行了統(tǒng)計和分析，請補充完成他們的工作(1)甲調(diào)查了班上6名同學某次考試的數(shù)學和物理成績，得到下面的表格：123456數(shù)學成績x130120109959080物理成績y918576686355甲通過畫出散點圖和計算相關系數(shù)發(fā)現(xiàn)，y與x有一定的線性相關關系，并設回歸直線方程為x，且根據(jù)表中數(shù)據(jù)求得0714，求出的值；若從參與調(diào)查數(shù)學成績不低于90分的同學中隨機抽取兩名，則他們的物理成績均超過70分的概率為多少？(2)乙同學統(tǒng)計全班60名學生的數(shù)學、物理成績情況，了解到班上數(shù)學成績好的同學有36人，物理成績好的有30人，數(shù)學和物理都好的有24人，填寫下列22列聯(lián)表，并判斷有沒有99%的把握認為物理成績的好與不好和數(shù)學成績有關？物理成績好物理成績不好總計數(shù)學成績好數(shù)學成績不好總計附：K2(nabcd)P(K2k0)00500025001000050001k0384150346635787910828解(1)通過計算易得104，73，回歸直線x一定經(jīng)過點(，)，又0714，代入可得1256；記參與調(diào)查的6名同學中5名數(shù)學成績不低于90分的同學從左到右依次為a，b，c，d，e，從中隨機抽取2名有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，共10種情況，而同時物理成績均超過70分的有(a，b)，(a，c)，(b，c)，共3種情況，故所求概率為(2)填寫22列聯(lián)表如下：物理成績好物理成績不好總計數(shù)學成績好241236數(shù)學成績不好61824總計303060由公式可得K210>6635，故有99%的把握認為物理成績的好與不好和數(shù)學成績有關12(2018湖南雅禮中學月考八)隨著移動互聯(lián)網(wǎng)的快速發(fā)展，基于互聯(lián)網(wǎng)的共享單車應運而生某市場研究人員為了了解共享單車運營公司M的經(jīng)營狀況，對該公司最近六個月內(nèi)的市場占有率進行了統(tǒng)計，并繪制了相應的折線圖(1)由折線圖可以看出，可用線性回歸模型擬合月度市場占有率y與月份代碼x之間的關系求y關于x的線性回歸方程，并預測M公司2018年4月份的市場占有率；(2)為進一步擴大市場，公司擬再采購一批單車現(xiàn)有采購成本分別為1000元/輛和1200元/輛的A，B兩款車型可供選擇，按規(guī)定每輛單車最多使用4年，但由于多種原因(如騎行頻率等)會導致車輛報廢年限各不相同考慮到公司運營的經(jīng)濟效益，該公司決定先對兩款車型的單車各100輛進行科學模擬測試，得到兩款單車使用壽命頻數(shù)表如下：報廢年限車型1年2年3年4年總計A20353510100B10304020100經(jīng)測算，平均每輛單車每年可以帶來收入500元不考慮除采購成本之外的其他成本，假設每輛單車的使用壽命都是整數(shù)年，且以頻率作為每輛單車使用壽命的概率如果你是M公司的負責人，以每輛單車產(chǎn)生利潤的均值為決策依據(jù)，你會選擇采購哪款車型？參考數(shù)據(jù)： (xi)(yi)35， (xi)2175參考公式：回歸直線方程為x，其中，解(1)由題意，35，16，2，162359，2x9，當x7時，27923，即預測M公司2018年4月份(即x7時)的市場占有率為23%(2)由頻率估計概率，每輛A款車可使用1年、2年、3年、4年的概率分別為02，035，035，01每輛A款車的利潤均值為(5001000)02(10001000)035(15001000)035(20001000)01175(元)；每輛B款車可使用1年、2年、3年、4年的概率分別為01，03，04，02，每輛B款車的利潤均值為(5001200)01(10001200)03(15001200)04(20001200)02150(元)，175>150，應該采購A款車函數(shù)與方程思想專練一、選擇題1橢圓y21的兩個焦點為F1，F(xiàn)2，過F1作垂直于x軸的直線與橢圓相交，其一交點為P，則|PF2|()A B C D4答案C解析如圖，令|F1P|r1，|F2P|r2，那么r2故選C2(2018湖北七校聯(lián)考)已知f(x)是奇函數(shù)并且是R上的單調(diào)函數(shù)，若函數(shù)yf(2x21)f(x)只有一個零點，則實數(shù)的值是()A B C D答案C解析依題意，方程f(2x21)f(x)0只有1個解，故f(2x21)f(x)f(x)有1解，所以2x21x，即2x2x10有唯一解，故18(1)0，解得故選C3設a>1，若對于任意的xa，2a，都有ya，a2滿足方程logaxlogay3，這時a的取值的集合為()Aa|1<a2 Ba|a2Ca|2a3 D2，3答案B解析依題意得y，當xa，2a時，ya2，a2a，a2，因此有a2a，又a>1，由此解得a2故選B4若2x5y2y5x，則有()Axy0 Bxy0 Cxy0 Dxy0答案B解析原不等式可變形為2x5x2y5y即2xx2yy故設函數(shù)f(x)2xx，f(x)為增函數(shù)，所以xy，即xy0故選B5為了豎一塊廣告牌，要制造三角形支架，如圖，要求ACB60，BC的長度大于1米，且AC比AB長05米，為了穩(wěn)固廣告牌，要求AC越短越好，則AC最短為()A1米 B2米C(1) 米 D(2) 米答案D解析由題意，設BCx(x>1)米，ACt(t>0)米，則ABAC05(t05)米，在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos60，即(t05)2t2x2tx，化簡并整理得t(x>1)，即tx12，因x>1，故tx122當且僅當x1時取等號，此時t取最小值2故選D二、填空題6設a1，d為實數(shù)，首項為a1，公差為d的等差數(shù)列an的前n項和為Sn，滿足S5S6150，則d的取值范圍是_答案(，22，)解析由S5S6150得(5a110d)(6a115d)150，即2a9a1d10d210，81d28(10d21)0，解得d2或d27若存在兩個正實數(shù)x，y，使得等式x3eay30成立，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，則實數(shù)a的最小值為_答案解析由題意知a，設t(t>0)，則令f(t)，則f(t)，當t>3時，f(t)>0，當0<t<3時，f(t)<0，所以f(t)minf(3)，則a，即amin8滿足條件AB2，ACBC的三角形ABC的面積的最大值是_答案2解析可設BCx，則ACx，根據(jù)面積公式得SABCx，由余弦定理計算得cosB，代入上式得SABCx由得22<x<22故當x2時，SABC最大值為2三、解答題9在ABC中，點D在BC邊上，AD平分BAC，AB6，AD3，AC4(1)利用正弦定理證明：；(2)求BC的長解(1)證明：由正弦定理知，在ABD中，在ADC中，由ADBADC，BADDAC，得sinADBsinADC，sinBADsinDAC，得(2)由(1)知，設BD3x，DC2x(x>0)，則BC5x，由cosBDAcosADC0知0，解得x1，所以BC510已知各項均不相等的等差數(shù)列an的前5項和S520，且a1，a3，a7成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若Tn為數(shù)列的前n項和，且存在nN*，使得Tnan10成立，求實數(shù)的取值范圍解(1)設數(shù)列an的公差為d，則即又因為d0，所以所以ann1(2)因為，所以Tn因為存在nN*，使得Tnan10成立，所以存在nN*，使得(n2)0成立，即存在nN*，使成立又，且(當且僅當n2時取等號)，所以即實數(shù)的取值范圍是，11設函數(shù)f(x)ln x(a為常數(shù))(1)若曲線yf(x)在點(2，f(2)處的切線與x軸平行，求實數(shù)a的值；(2)若函數(shù)f(x)在(e，)內(nèi)有極值，求實數(shù)a的取值范圍解(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0，1)(1，)，由f(x)ln x得f(x)，由于曲線yf(x)在點(2，f(2)處的切線與x軸平行，所以f(2)0，即0，所以a(2)因為f(x)，若函數(shù)f(x)在(e，)內(nèi)有極值，則函數(shù)yf(x)在(e，)內(nèi)有異號零點，令(x)x2(2a)x1設x2(2a)x1(x)(x)，可知1，不妨設>，則(0，1)，(1，)，若函數(shù)yf(x)在(e，)內(nèi)有異號零點，即y(x)在(e，)內(nèi)有異號零點，所以>e，又(0)1>0，所以(e)e2(2a)e1<0，解得a>e2，所以實數(shù)a的取值范圍是e2，12(2018河南聯(lián)考)在平面直角坐標系中，動點M到定點F(1，0)的距離與它到直線x2的距離之比是常數(shù)，記M的軌跡為T(1)求軌跡T的方程；(2)過點F且不與x軸重合的直線m與軌跡T交于A，B兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點P，在軌跡T上是否存在點Q，使得四邊形APBQ為菱形？若存在，請求出直線m的方程；若不存在，請說明理由解(1)設M(x，y)，根據(jù)動點M到定點F(1，0)的距離與它到直線x2的距離之比是常數(shù)，得，整理得y21，軌跡T的方程為y21(2)假設存在直線m，設直線m的方程為xky1，由消去x，得(k22)y22ky10設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y2，x1x2k(y1y2)2，線段AB的中點H的坐標為PQAB，直線PQ的方程為yk，令y0，解得x，即P設Q(x0，y0)，P，Q關于點H對稱，(y00)，解得x0，y0，即Q點Q在橢圓上，2222，解得k2于是，即，直線m的方程為yx或yx