第55練 空間角與距離訓練目標(1)會求線面角、二面角；(2)會解決簡單的距離問題訓練題型(1)求直線與平面所成的角；(2)求二面角；(3)求距離解題策略利用定義、性質去“找”所求角，通過解三角形求角的三角函數(shù)值，盡量利用特殊三角形求解.一、選擇題1.如圖所示，已知三棱柱ABCA1B1C1的側棱與底面邊長都相等，A1在底面ABC上的投影D為BC的中點，則異面直線AB與CC1所成的角的余弦值為()A.B.C.D.2已知正三棱柱ABCA1B1C1的體積為，底面是邊長為的正三角形若P為A1B1C1的中心，則PA與平面ABC所成角的大小為()A.B.C.D.3.如圖所示，在三棱錐SABC中，ABC是等腰三角形，ABBC2a，ABC120°，SA3a，且SA平面ABC，則點A到平面SBC的距離為()A.B.C.D.二、填空題4.如圖，在等腰直角三角形ABD中，BAD90°，且等腰直角三角形ABD與等邊三角形BCD所在平面垂直，E為BC的中點，則AE與平面BCD所成角的大小為_5.如圖所示，在三棱錐SABC中，SBC，ABC都是等邊三角形，且BC1，SA，則二面角SBCA的大小為_6如圖，在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，點P在線段AD1上運動，給出以下命題：異面直線C1P與B1C所成的角為定值；二面角PBC1D的大小為定值；三棱錐DBPC1的體積為定值；異面直線A1P與BC1間的距離為定值其中真命題的個數(shù)為_三、解答題7.(20xx·濰坊模擬)如圖所示，底面ABC為正三角形，EA平面ABC，DC平面ABC，EAAB2DC2a，設F為EB的中點(1)求證：DF平面ABC；(2)求直線AD與平面AEB所成角的正弦值8.(20xx·遼寧沈陽二中月考)如圖，在ABC中，ABC45°，點O在AB上，且OBOCAB，PO平面ABC，DAPO，DAAOPO.(1)求證：PB平面COD；(2)求二面角OCDA的余弦值9.如圖，正四棱錐SABCD中，SAAB2，E，F(xiàn)，G分別為BC，SC，CD的中點設P為線段FG上任意一點(1)求證：EPAC；(2)當P為線段FG的中點時，求直線BP與平面EFG所成角的余弦值答案精析1 D連接A1B，易知A1AB為異面直線AB與CC1所成的角，2 設ABa，易求得ADa，A1D，則A1Ba，故cosA1AB.2B因為AA1底面A1B1C1，所以APA1為PA與平面A1B1C1所成的角因為平面ABC平面A1B1C1，所以APA1為PA與平面ABC所成角因為正三棱柱ABCA1B1C1的體積為，底面三角形的邊長為，所以SABC·AA1，可得AA1.又易知A1P1，所以tanAPA1，又直線與平面所成的角屬于0，所以APA1.3A作ADCB交CB的延長線于點D，連接SD，如圖所示SA平面ABC，BC平面ABC，SABC.又BCAD，SAADA，SA平面SAD，AD平面SAD，BC平面SAD，又BC平面SBC，平面SBC平面SAD，且平面SBC平面SADSD.在平面SAD內，過點A作AHSD于點H，則AH平面SBC，AH的長即為點A到平面SBC的距離在RtSAD中，SA3a，ADAB·sin 60°a.由，得AH，即點A到平面SBC的距離為.445°解析取BD的中點F，連接EF，AF(圖略)，易得AFBD，AF平面BCD，則AEF就是AE與平面BCD所成的角，由題意知EFCDBDAF，所以AEF45°，即AE與平面BCD所成的角為45°.560°64解析對于，因為在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，點P在線段AD1上運動，在正方體中有B1C平面ABC1D1，而C1P平面ABC1D1，所以B1CC1P，所以這兩個異面直線所成的角為定值90°，故正確；對于，因為二面角PBC1D為平面ABC1D1與平面BDC1所成的二面角，而這兩個平面為固定不變的平面，所以夾角也為定值，故正確；對于，三棱錐DBPC1的體積還等于三棱錐PDBC1的體積，而DBC1面積一定，又因為PAD1，而AD1平面BDC1，所以點A到平面BDC1的距離即為點P到該平面的距離，所以三棱錐的體積為定值，故正確；對于，因為直線A1P和BC1分別位于平面ADD1A1，平面BCC1B1中，且這兩個平面平行，由異面直線間的距離定義及求法，知這兩個平面間的距離即為所求的異面直線間的距離，所以這兩個異面直線間的距離為定值，故正確綜上知，真命題的個數(shù)為4.7(1)證明如圖，過點F作FHEA交AB于點H，連接HC.EA平面ABC，DC平面ABC，EADC.又FHEA，F(xiàn)HDC.F是EB的中點，F(xiàn)HAEDC.四邊形CDFH是平行四邊形，DFCH.又CH平面ABC，DF平面ABC，DF平面ABC.(2)解ABC為正三角形，H為AB的中點，CHAB.EA平面ABC，CH平面ABC，CHEA.又EAABA，EA平面AEB，AB平面AEB，CH平面AEB.DFCH，DF平面AEB，AF為DA在平面AEB上的投影，DAF為直線AD與平面AEB所成的角在RtAFD中，ADa，DFa，sinDAF，直線AD與平面AEB所成角的正弦值為.8(1)證明因為PO平面ABC，DAPO，AB平面ABC，所以POAB，DAAB.又DAAOPO，所以AOD45°.因為OBAB，所以OAAB，所以OAOB，又AOPO，所以OBOP，所以OBP45°，即ODPB.又PB平面COD，OD平面COD，所以PB平面COD.(2)解如圖，過A作AMDO，垂足為M，過M作MNCD于N，連接AN，則ANM為二面角OCDA的平面角設ADa，在等腰直角三角形AOD中，得AMa，在直角三角形COD中，得MNa，在直角三角形AMN中，得ANa，所以cosANM.9(1)證明設AC交BD于O點，SABCD為正四棱錐，SO底面ABCD，BDAC，又AC平面ABCD，SOAC，BDSOO，BD平面SBD，SO平面SBD，AC平面SBD，E，F(xiàn)，G分別為BC，SC，CD的中點，F(xiàn)GSD，BDEG.又FGEGG，SDBDD，F(xiàn)G平面EFG，EG平面EFG，SDBSD，BD平面BSD，平面EFG平面BSD，AC平面GEF.又PE平面GEF，PEAC.(2)解過B作BHGE于H，連接PH，BDAC，BDGH，BHAC，由(1)知AC平面GEF，則BH平面GEF.BPH就是直線BP與平面EFG所成的角在RtBHP中，BH，PH，PB，故cosBPH.