第六十五課時(shí) 離散型隨機(jī)變量及其分布列課前預(yù)習(xí)案考綱要求1.會(huì)求與現(xiàn)實(shí)生活有密切關(guān)系的離散型隨機(jī)變量的分布列；2.掌握二點(diǎn)分布與超幾何分布的特點(diǎn)，并會(huì)應(yīng)用基礎(chǔ)知識(shí)梳理1 離散型隨機(jī)變量如果隨機(jī)變量X的所有可能的取值都能 出來，則稱X為離散型隨機(jī)變量2 離散型隨機(jī)變量的分布列及性質(zhì)(1)離散型隨機(jī)變量的分布列：若離散型隨機(jī)變量X所有可能取的值為x1，x2，xi，xn，X取每一個(gè)值xi(i1,2，n)的概率為p1，p2，pn，則表Xx1x2xixnPp1p2pipn稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布或稱為離散型隨機(jī)變量X的分布列(2)離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)：pi 0 ， (i1,2,3，n)；p1p2pn ；P(xixxj)pipi1pj.3 常見離散型隨機(jī)變量的分布列(1)二點(diǎn)分布：如果隨機(jī)變量X的分布列為X10Ppq其中0<p<1，q ，則稱離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的二點(diǎn)分布(2)超幾何分布：設(shè)有總數(shù)為N件的兩類物品，其中一類有M件，從所有物品中任取n件(nN)，這n件中所含這類物品件數(shù)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，當(dāng)Xm時(shí)的概率為P(Xm) (0ml，l為n和M中較小的一個(gè))，稱離散型隨機(jī)變量X的這種形式的概率分布為超幾何分布，也稱X服從參數(shù)為N，M，n的超幾何分布預(yù)習(xí)自測(cè)1 設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如下：則p_.X1234Pp2 設(shè)某運(yùn)動(dòng)員投籃投中的概率為0.3，則一次投籃時(shí)投中次數(shù)X的分布列是_3 在一個(gè)口袋中裝有黑、白兩個(gè)球，從中隨機(jī)取一球，記下它的顏色，然后放回，再取一球，又記下它的顏色，寫出這兩次取出白球數(shù)的分布列為_4 已知隨機(jī)變量X的分布列為P(Xk)，k1,2，則P(2<X4)等于()A. B. C. D.5 隨機(jī)變量X的分布列如下：X101Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，則P(|X|1)等于()A. B. C. D.課堂探究案典型例題考點(diǎn)1離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)【典例1】設(shè)隨機(jī)變量的分布列為Pak(k1,2,3,4,5)，則常數(shù)a的值為_，P_.【變式1】若離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01P9c2c38c則常數(shù)c_，P(X1)_.考點(diǎn)2離散型隨機(jī)變量的分布列的求法及應(yīng)用【典例2】隨機(jī)抽取某廠的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質(zhì)檢，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元，而1件次品虧損2萬元設(shè)1件產(chǎn)品的利潤(單位：萬元)為.(1)求的分布列；(2)求1件產(chǎn)品的平均利潤(即的均值)；【變式2】某商店試銷某種商品20天，獲得如下數(shù)據(jù)：日銷售量(件)0123頻數(shù)1595試銷結(jié)束后(假設(shè)該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變)，設(shè)某天開始營業(yè)時(shí)有該商品3件，當(dāng)天營業(yè)結(jié)束后檢查存貨，若發(fā)現(xiàn)存量少于2件，則當(dāng)天進(jìn)貨補(bǔ)充至3件，否則不進(jìn)貨，將頻率視為概率(1)求當(dāng)天商店不進(jìn)貨的概率；(2)記X為第二天開始營業(yè)時(shí)該商品的件數(shù)，求X的概率分布列和數(shù)學(xué)期望考點(diǎn)3 超幾何分步【典例3】一袋中裝有10個(gè)大小相同的黑球和白球已知從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)白球的概率是.(1)求白球的個(gè)數(shù)；(2)從袋中任意摸出3個(gè)球，記得到白球的個(gè)數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列【變式3】20xx年10月1日，為慶祝中華人民共和國成立64周年，來自北京大學(xué)和清華大學(xué)的6名大學(xué)生志愿者被隨機(jī)平均分配到天安門廣場(chǎng)運(yùn)送礦泉水、打掃衛(wèi)生、維持秩序這三個(gè)崗位服務(wù)，且運(yùn)送礦泉水崗位至少有1名北京大學(xué)志愿者的概率是.(1)求打掃衛(wèi)生崗位恰好有北京大學(xué)、清華大學(xué)志愿者各1名的概率；(2)設(shè)隨機(jī)變量為在維持秩序崗位服務(wù)的北京大學(xué)志愿者的人數(shù)，求的分布列當(dāng)堂檢測(cè)1設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列為X101P12qq2則q等于()A1 B1± C1 D12 某射手射擊所得環(huán)數(shù)X的分布列為X45678910P0.020.040.060.090.280.290.22則此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)大于7”的概率為()A0.28 B0.88 C0.79 D0.513 設(shè)某項(xiàng)試驗(yàn)的成功率是失敗率的2倍，用隨機(jī)變量X去描述1次試驗(yàn)的成功次數(shù)，則P(X0)等于()A0 B. C. D.4 在15個(gè)村莊中有7個(gè)村莊交通不方便，現(xiàn)從中任意選10個(gè)村莊，用X表示這10個(gè)村莊中交通不方便的村莊數(shù)，下列概率中等于的是()AP(X2) BP(X2)CP(X4) DP(X4)5 設(shè)隨機(jī)變量X等可能取值為1,2,3，n，如果P(X<4)0.3，那么n_.課后拓展案 A組全員必做題1 隨機(jī)變量X的概率分布規(guī)律為P(Xn) (n1,2,3,4)，其中a是常數(shù)，則P的值為()A. B. C. D.2 袋中裝有10個(gè)紅球、5個(gè)黑球每次隨機(jī)抽取1個(gè)球后，若取得黑球則另換1個(gè)紅球放回袋中，直到取到紅球?yàn)橹谷舫槿〉拇螖?shù)為，則表示“放回5個(gè)紅球”事件的是()A4 B5 C6 D53 設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布列如下表所示：X012PaF(x)P(Xx)，則當(dāng)x的取值范圍是1,2)時(shí)，F(xiàn)(x)等于 ()A. B. C. D.4 已知隨機(jī)變量的分布列為P(k)，k1,2,3，n，則P(2<5)_.5 設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布列為X1234Pm則P(|X3|1)_.6.已知隨機(jī)變量只能取三個(gè)值：x1，x2，x3，其概率依次成等差數(shù)列，則公差d的取值范圍是_7.從裝有3個(gè)紅球、2個(gè)白球的袋中隨機(jī)取出2個(gè)球，設(shè)其中有X個(gè)紅球，則隨機(jī)變量X的概率分布列為X012P8.從一批含有13件正品與2件次品的產(chǎn)品中，不放回地任取3件，求取得次品數(shù)的分布列B組提高選做題1 如圖所示，A、B兩點(diǎn)5條連線并聯(lián)，它們?cè)趩挝粫r(shí)間內(nèi)能通過的最大信息量依次為2,3,4,3,2.現(xiàn)記從中任取三條線且在單位時(shí)間內(nèi)都通過的最大信息總量為，則P(8)_.2.某地區(qū)對(duì)12歲兒童瞬時(shí)記憶能力進(jìn)行調(diào)查瞬時(shí)記憶能力包括聽覺記憶能力與視覺記憶能力某班學(xué)生共有40人，下表為該班學(xué)生瞬時(shí)記憶能力的調(diào)查結(jié)果例如表中聽覺記憶能力為中等，且視覺記憶能力偏高的學(xué)生為3人. 視覺聽覺視覺記憶能力偏低中等偏高超常聽覺記憶能力偏低0751中等183b偏高2a01超常0211由于部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，只知道從這40位學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，視覺記憶能力恰為中等，且聽覺記憶能力為中等或中等以上的概率為.(1)試確定a，b的值；(2)從40人中任意抽取3人，求其中至少有一位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學(xué)生的概率；(3)從40人中任意抽取3人，設(shè)具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力偏高或超常的學(xué)生人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列參考答案預(yù)習(xí)自測(cè)1【答案】【解析】由分布列的性質(zhì)知：所有概率之和為1，所以p.2 【答案】X01P0.70.33 【答案】012P【解析】的所有可能值為0,1,2.P(0)，P(1)，P(2).的分布列為012P4【答案】A【解析】P(2<X4)P(X3)P(X4).5 【答案】D【解析】a，b，c成等差數(shù)列，2bac.又abc1，b，P(|X|1)ac.典型例題【典例1】【答案】【解析】隨機(jī)變量的分布列為1Pa2a3a4a5a由a2a3a4a5a1，解得a.PPPP(1)3a4a5a12a.【變式1】【答案】【解析】由離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)可知：，解得c.P(X1)38×.【典例2】【解析】(1)由于1件產(chǎn)品的利潤為，則的所有可能取值為6,2,1，2，由題意知P(6)0.63，P(2)0.25，P(1)0.1，P(2)0.02.故的分布列為6212P0.630.250.10.02(2)1件產(chǎn)品的平均利潤為E()6×0.632×0.251×0.1(2)×0.024.34(萬元)【變式2】【解析】(1)P(當(dāng)天商店不進(jìn)貨)P(當(dāng)天商品銷售量為0件)P(當(dāng)天商品銷售量為1件).(2)由題意知，X的可能取值為2,3.P(X2)P(當(dāng)天商品銷售量為1件)；P(X3)P(當(dāng)天商品銷售量為0件)P(當(dāng)天商品銷售量為2件)P(當(dāng)天商品銷售量為3件).所以X的概率分布列為X23P故X的數(shù)學(xué)期望為E(X)2×3×.【典例3】【解析】(1)記“從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)白球”為事件A，設(shè)袋中白球的個(gè)數(shù)為x，則P(A)1，得到x5.故白球有5個(gè)(2)X服從超幾何分布，其中N10，M5，n3，其中P(Xk)，k0,1,2,3.于是可得其分布列為X0123P【變式3】【解析】(1)記“至少有1名北京大學(xué)志愿者被分到運(yùn)送礦泉水崗位”為事件A，則事件A的對(duì)立事件為“沒有北京大學(xué)志愿者被分到運(yùn)送礦泉水崗位”，設(shè)有北京大學(xué)志愿者x名，1x<6，那么P(A)1，解得x2，即來自北京大學(xué)的志愿者有2名，來自清華大學(xué)的志愿者有4名記“打掃衛(wèi)生崗位恰好有北京大學(xué)、清華大學(xué)志愿者各1名”為事件B，則P(B)，所以打掃衛(wèi)生崗位恰好有北京大學(xué)、清華大學(xué)志愿者各1名的概率是.(2)在維持秩序崗位服務(wù)的北京大學(xué)志愿者的人數(shù)服從超幾何分布，其中N6，M2，n2，于是P(k)，k0,1,2，P(0)，P(1)，P(2).所以的分布列為012P當(dāng)堂檢測(cè)1【答案】C【解析】由分布列的性質(zhì)得： ，q1.故選C.2【答案】C【解析】P(X>7)P(X8)P(X9)P(X10)0.280.290.220.79.3【答案】C4【答案】C【解析】X服從超幾何分布P(Xk)，故k4.5【答案】10【解析】由于隨機(jī)變量X等可能取值為1,2,3，n.所以取到每個(gè)數(shù)的概率均為.P(X<4)P(X1)P(X2)P(X3)0.3，n10. A組全員必做題1【答案】D【解析】P(Xn) (n1,2,3,4)，1，a，PP(X1)P(X2)××.2【答案】C【解析】“放回5個(gè)紅球”表示前5次摸到黑球，第6次摸到紅球，故6.3 【答案】D【解析】a1，a，x1,2)，F(xiàn)(x)P(Xx).4【答案】【解析】P(2<5)P(3)P(4)P(5).5【答案】【解析】由m1，解得m，P(|X3|1)P(X2)P(X4).6.【答案】【解析】設(shè)取x1，x2，x3時(shí)的概率分別為ad，a，ad，則(ad)a(ad)1，a，由得d.7.【答案】0.10.60.3【解析】P(X0)0.1，P(X1)0.6，P(X2)0.3.8.【解析】設(shè)隨機(jī)變量表示取出次品的個(gè)數(shù)，則服從超幾何分布，它的可能取值為0,1,2，其相應(yīng)的概率為P(0)，P(1)，P(2).所以的分布列為012PB組提高選做題1 【答案】【解析】方法一由已知，的取值為7,8,9,10，P(7)，P(8)，P(9)，P(10)，的分布列為78910PP(8)P(8)P(9)P(10).方法二P(8)1P(7)1.2.【解析】(1)由表格數(shù)據(jù)可知，視覺記憶能力恰為中等，且聽覺記憶能力為中等或中等以上的學(xué)生共有(10a)人記“視覺記憶能力恰為中等，且聽覺記憶能力為中等或中等以上”為事件A，則P(A)，解得a6.所以b40(32a)40382.答a的值為6，b的值為2.(2)由表格數(shù)據(jù)可知，具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學(xué)生共有8人方法一記“至少有一位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學(xué)生”為事件B，則“沒有一位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學(xué)生”為事件，所以P(B)1P()11.答從這40人中任意抽取3人，其中至少有一位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學(xué)生的概率為.方法二記“至少有一位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學(xué)生”為事件B，所以P(B).答從這40人中任意抽取3人，其中至少有一位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學(xué)生的概率為.(3)由于從40位學(xué)生中任意抽取3人的結(jié)果數(shù)為C，其中具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力偏高或超常的學(xué)生共24人，從40位學(xué)生中任意抽取3人，其中恰有k位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力偏高或超常的結(jié)果數(shù)為CC，所以從40位學(xué)生中任意抽取3人，其中恰有k人具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力偏高或超常的概率為P(k)(k0,1,2,3)，的可能取值為0,1,2,3，因?yàn)镻(0)，P(1)，P(2)，P(3)，所以的分布列為0123P