第六十六課時 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差 課前預(yù)習(xí)案考綱要求1.理解隨機(jī)變量的均值、方差的意義、作用，能解決一些簡單的實(shí)際問題2.理解二項(xiàng)分布、超幾何分步的數(shù)學(xué)期望與方差.基礎(chǔ)知識梳理1 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差設(shè)一個離散型隨機(jī)變量X所有可能取的值是x1，x2，xn，這些值對應(yīng)的概率是p1，p2，pn.(1)數(shù)學(xué)期望：稱E(X) 為離散型隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望(簡稱期望)，它刻畫了這個離散型隨機(jī)變量的 (2)方差：稱D(X) 叫做這個離散型隨機(jī)變量X的方差，即反映了離散型隨機(jī)變量取值相對于期望的 (或說離散程度)，D(X)的算術(shù)平方根叫做離散型隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差2 二點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布、超幾何分布的期望、方差期望方差變量X服從二點(diǎn)分布XB(n，p)X服從參數(shù)為N，M，n的超幾何分布 預(yù)習(xí)自測1 若隨機(jī)變量的分布列如下表，則E()的值為_.012345P2x3x7x2x3xx2某畢業(yè)生參加人才招聘會，分別向甲、乙、丙三個公司投遞了個人簡歷假定該畢業(yè)生得到甲公司面試的概率為，得到乙、丙兩公司面試的概率均為p，且三個公司是否讓其面試是相互獨(dú)立的，記X為該畢業(yè)生得到面試的公司個數(shù)若P(X0)，則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)_.3 某射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列如下：78910Px0.10.3y已知的期望E()8.9，則y的值為()A0.4 B0.6 C0.7 D0.94 已知X的分布列為X101P設(shè)Y2X3，則E(Y)的值為()A. B4 C1 D15 設(shè)隨機(jī)變量XB(n，p)，且E(X)1.6，D(X)1.28，則()An8，p0.2 Bn4，p0.4Cn5，p0.32 Dn7，p0.45課堂探究案典型例題考點(diǎn)1離散型隨機(jī)變量的均值、方差【典例1】(20xx年高考湖北卷)根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，某工程施工期間的降水量X(單位：mm)對工期的影響如下表：降水量XX<300300X<700700X<900X900工期延誤天數(shù)Y02610歷年氣象資料表明，該工程施工期間降水量X小于300,700,900的概率分別為0.3,0.7,0.9.求：(1)工期延誤天數(shù)Y的均值與方差；(2)在降水量X至少是300 mm的條件下，工期延誤不超過6天的概率【變式1】某中學(xué)在高三開設(shè)了4門選修課，每個學(xué)生必須且只需選修1門選修課對于該年級的甲、乙、丙3名學(xué)生，回答下面的問題：(1)求這3名學(xué)生選擇的選修課互不相同的概率；(2)某一選修課被這3名學(xué)生選修的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望考點(diǎn)2二項(xiàng)分布的均值、方差【典例2】某人投彈命中目標(biāo)的概率p0.8.(1)求投彈一次，命中次數(shù)X的均值和方差；(2)求重復(fù)10次投彈時命中次數(shù)Y的均值和方差【變式2】為防止風(fēng)沙危害，某地決定建設(shè)防護(hù)綠化帶，種植楊樹、沙柳等植物某人一次種植了n株沙柳，各株沙柳成活與否是相互獨(dú)立的，成活率為p，設(shè)為成活沙柳的株數(shù)，數(shù)學(xué)期望E()3，標(biāo)準(zhǔn)差為.(1)求n，p的值并寫出的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，則需要補(bǔ)種，求需要補(bǔ)種沙柳的概率考點(diǎn)3 均值與方差的應(yīng)用【典例3】現(xiàn)有甲、乙兩個項(xiàng)目，對甲項(xiàng)目每投資10萬元，一年后利潤是1.2萬元、1.18萬元、1.17萬元的概率分別為、；已知乙項(xiàng)目的利潤與產(chǎn)品價格的調(diào)整有關(guān)，在每次調(diào)整中，價格下降的概率都是p(0<p<1)，設(shè)乙項(xiàng)目產(chǎn)品價格在一年內(nèi)進(jìn)行兩次獨(dú)立的調(diào)整記乙項(xiàng)目產(chǎn)品價格在一年內(nèi)的下降次數(shù)為X，對乙項(xiàng)目每投資10萬元，X取0、1、2時，一年后相應(yīng)利潤是1.3萬元、1.25萬元、0.2萬元隨機(jī)變量X1、X2分別表示對甲、乙兩項(xiàng)目各投資10萬元一年后的利潤(1)求X1，X2的概率分布列和均值E(X1)，E(X2)；(2)當(dāng)E(X1)<E(X2)時，求p的取值范圍【變式3】A，B兩個投資項(xiàng)目的利潤率分別為隨機(jī)變量X1和X2，根據(jù)市場分析，X1和X2的分布列分別為X15%10%P0.80.2X22%8%12%P0.20.50.3(1)在A，B兩個項(xiàng)目上各投資100萬元，Y1和Y2分別表示投資項(xiàng)目A和B所獲得的利潤，求方差D(Y1)，D(Y2)；(2)將x(0x100)萬元投資A項(xiàng)目，100x萬元投資B項(xiàng)目，f(x)表示投資A項(xiàng)目所得利潤的方差與投資B項(xiàng)目所得利潤的方差的和求f(x)的最小值，并指出x為何值時，f(x)取到最小值當(dāng)堂檢測1 已知某一隨機(jī)變量X的概率分布列如下，且E(X)6.3，則a的值為()X4a9P0.50.1bA.5 B6 C7 D82已知X的分布列為X101P且YaX3，E(Y)，則a的值為()A1 B2 C3 D43 一射手對靶射擊，直到第一次命中為止，每次命中的概率都為0.6，現(xiàn)有4顆子彈，則射擊停止后剩余子彈的數(shù)目X的期望值為()A2.44 B3.376 C2.376 D2.44 體育課的排球發(fā)球項(xiàng)目考試的規(guī)則是每位學(xué)生最多可發(fā)球3次，一旦發(fā)球成功，則停止發(fā)球，否則一直發(fā)到3次為止設(shè)學(xué)生一次發(fā)球成功的概率為p(p0)，發(fā)球次數(shù)為X，若X的數(shù)學(xué)期望E(X)>1.75，則p的取值范圍是()A. B. C. D.5 在籃球比賽中，罰球命中1次得1分，不中得0分如果某運(yùn)動員罰球命中的概率為0.7，那么他罰球1次的得分X的均值是_6 有一批產(chǎn)品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X表示取到次品的件數(shù)，則D(X)_.7馬老師從課本上抄錄一個隨機(jī)變量的概率分布列如下表：x123P(x)？??？請小牛同學(xué)計算的數(shù)學(xué)期望盡管“！”處完全無法看清，且兩個“？”處字跡模糊，但能斷定這兩個“？”處的數(shù)值相同據(jù)此，小牛給出了正確答案E()_.課后拓展案 A組全員必做題1 若X是離散型隨機(jī)變量，P(Xx1)，P(Xx2)，且x1<x2，又已知E(X)，D(X)，則x1x2的值為 ()A. B. C3 D.2 已知拋物線yax2bxc (a0)的對稱軸在y軸的左側(cè)，其中a，b，c3，2，1,0,1,2,3，在這些拋物線中，記隨機(jī)變量|ab|的取值，則的數(shù)學(xué)期望E()為()A. B. C. D.3 一個籃球運(yùn)動員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為c(a、b、c(0,1)，已知他投籃一次得分的均值為2，則的最小值為()A. B. C. D.4 罐中有6個紅球，4個白球，從中任取1球，記住顏色后再放回，連續(xù)摸取4次，設(shè)為取得紅球的次數(shù)，則的期望E()_.5 簽盒中有編號為1、2、3、4、5、6的六支簽，從中任意取3支，設(shè)X為這3支簽的號碼之中最大的一個，則X的數(shù)學(xué)期望為_6為了某項(xiàng)大型活動能夠安全進(jìn)行，警方從武警訓(xùn)練基地挑選防爆警察，從體能、射擊、反應(yīng)三項(xiàng)指標(biāo)進(jìn)行檢測，如果這三項(xiàng)中至少有兩項(xiàng)通過即可入選假定某基地有4名武警戰(zhàn)士(分別記為A、B、C、D)擬參加挑選，且每人能通過體能、射擊、反應(yīng)的概率分別為，.這三項(xiàng)測試能否通過相互之間沒有影響(1)求A能夠入選的概率；(2)規(guī)定：按入選人數(shù)得訓(xùn)練經(jīng)費(fèi)(每入選1人，則相應(yīng)的訓(xùn)練基地得到3 000元的訓(xùn)練經(jīng)費(fèi))，求該基地得到訓(xùn)練經(jīng)費(fèi)的分布列與數(shù)學(xué)期望B組提高選做題1 設(shè)l為平面上過點(diǎn)(0,1)的直線，l的斜率等可能地取2，0，2，用表示坐標(biāo)原點(diǎn)到l的距離，則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望E()_.2某市公租房的房源位于A、B、C三個片區(qū)設(shè)每位申請人只申請其中一個片區(qū)的房源，且申請其中任一個片區(qū)的房源是等可能的，求該市的任4位申請人中：(1)恰有2人申請A片區(qū)房源的概率；(2)申請的房源所在片區(qū)的個數(shù)的分布列與期望3.(20xx年高考新課標(biāo)全國卷)某花店每天以每枝5元的價格從農(nóng)場購進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價格出售，如果當(dāng)天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理(1)若花店一天購進(jìn)16枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤y(單位：元)關(guān)于當(dāng)天需求量n(單位：枝，nN)的函數(shù)解析式(2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位：枝)，整理得下表：日需求量n14151617181920頻數(shù)10201616151310以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率若花店一天購進(jìn)16枝玫瑰花，X表示當(dāng)天的利潤(單位：元)，求X的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差若花店計劃一天購進(jìn)16枝或17枝玫瑰花，你認(rèn)為應(yīng)購進(jìn)16枝還是17枝？請說明理由參考答案預(yù)習(xí)自測1【答案】【解析】根據(jù)概率之和為1，求出x，則E()0×2x1×3x5x40x.2【答案】【解析】由題意知P(X0)(1p)2，p.隨機(jī)變量X的分布列為X0123PE(X)0×1×2×3×.3【答案】A【解析】由，可得y0.4.4 【答案】A【解析】E(X)(1)×0×1×.E(Y)2E(X)32×3.5 【答案】A【解析】XB(n，p)，E(X)np1.6，D(X)np(1p)1.28，典型例題【典例1】【解析】(1)由已知條件和概率的加法公式有P(X<300)0.3，P(300X<700)P(X<700)P(X<300)0.70.30.4，P(700X<900)P(X<900)P(X<700)0.90.70.2，P(X900)1P(X<900)10.90.1.所以Y的分布列為Y02610P0.30.40.20.1于是，E(Y)0×0.32×0.46×0.210×0.13；D(Y)(03)2×0.3(23)2×0.4(63)2×0.2(103)2×0.19.8.故工期延誤天數(shù)Y的均值為3，方差為9.8.(2)由概率的加法公式，得P(X300)1P(X<300)0.7，又P(300X<900)P(X<900)P(X<300)0.90.30.6.由條件概率，得P(Y6|X300)P(X<900|X300).故在降水量X至少是300 mm的條件下，工期延誤不超過6天的概率是.【變式1】【解析】(1)3名學(xué)生選擇的選修課互不相同的概率：p1；(2)設(shè)某一選修課被這3名學(xué)生選擇的人數(shù)為，則0,1,2,3.P(0)，P(1)，P(2)，P(3).所以的分布列為0123P數(shù)學(xué)期望E()0×1×2×3×.【典例2】【解析】(1)隨機(jī)變量X的分布列為X01P0.20.8因?yàn)閄服從二點(diǎn)分布，故E(X)p0.8，D(X)p(1p)0.8×0.20.16.(2)由題意知，命中次數(shù)Y服從二項(xiàng)分布，即YB(10，0.8)，E(Y)np10×0.88，D(Y)np(1p)10×0.8×0.21.6.探究提高若XB(n，p)，則E(X)np，D(X)np(1p)【變式2】【解析】(1)由E()np3，D()np(1p)，得1p，從而n6，p.的分布列為0123456P(2)記“需要補(bǔ)種沙柳”為事件A，則P(A)P(3)，得P(A)【典例3】【解析】(1)X1的概率分布列為X11.21.181.17PE(X1)1.2×1.18×1.17×1.18.由題設(shè)得XB(2，p)，即X的概率分布列為X012P(1p)22p(1p)p2故X2的概率分布列為X21.31.250.2P(1p)22p(1p)p2所以E(X2)1.3×(1p)21.25×2p(1p)0.2×p21.3×(12pp2)2.5×(pp2)0.2×p2p20.1p1.3.(2)由E(X1)<E(X2)，得p20.1p1.3>1.18，整理得(p0.4)(p0.3)<0，解得0.4<p<0.3.因?yàn)?<p<1，所以當(dāng)E(X1)<E(X2)時，p的取值范圍是0<p<0.3.【變式3】【解析】(1)由題設(shè)可知Y1和Y2的分布列為Y1510P0.80.2Y22812P0.20.50.3E(Y1)5×0.810×0.26，D(Y1)(56)2×0.8(106)2×0.24，E(Y2)2×0.28×0.512×0.38，D(Y2)(28)2×0.2(88)2×0.5(128)2×0.312.(2)f(x)DD2D(Y1)2D(Y2)x23(100x)2(4x2600x3×1002)當(dāng)且僅當(dāng)x75時，f(x)3為最小值當(dāng)堂檢測1 【答案】C【解析】由分布列性質(zhì)知：0.50.1b1，b0.4.E(X)4×0.5a×0.19×0.46.3，a7.2【答案】B【解析】先求出E(X)(1)×0×1×.再由YaX3得E(Y)aE(X)3.a×3.解得a2.3【答案】C【解析】X的所有可能取值為3,2,1,0，其分布列為X3210P0.60.240.0960.064E(X)3×0.62×0.241×0.0960×0.0642.376.4 【答案】C【解析】由已知條件可得P(X1)p，P(X2)(1p)p，P(X3)(1p)2p(1p)3(1p)2，則E(X)P(X1)2P(X2)3P(X3)p2(1p)p3(1p)2p23p3>1.75，解得p>或p<，又由p(0,1)，可得p.5 【答案】0.7【解析】E(X)1×0.70×0.30.7.6 【答案】【解析】由題意知取到次品的概率為，XB，D(X)3××.7【答案】2【解析】設(shè)“？”處的數(shù)值為x，則“！”處的數(shù)值為12x，則E()1·x2×(12x)3xx24x3x2. A組全員必做題1 【答案】C【解析】分析已知條件，利用離散型隨機(jī)變量的均值和方差的計算公式得：解得或又x1<x2，x1x23.故選C.2【答案】A【解析】拋物線的對稱軸在y軸的左側(cè)，<0，即>0，也就是a，b必須同號，的分布列為012PE()0×1×2×.3 【答案】D【解析】由已知得，3a2b0×c2，即3a2b2，其中0<a<，0<b<1.又32，當(dāng)且僅當(dāng)，即a2b時取“等號”，又3a2b2，即當(dāng)a，b時，的最小值為，故選D.4【答案】【解析】因?yàn)槭怯蟹呕氐孛?，所以每次摸?試驗(yàn))摸得紅球(成功)的概率均為，連續(xù)摸4次(做4次試驗(yàn))，為取得紅球(成功)的次數(shù)，則B，從而有E()np4×.5【答案】5.25【解析】由題意可知，X可以取3,4,5,6，P(X3)，P(X4)，P(X5)，P(X6).由數(shù)學(xué)期望的定義可求得E(X)5.25.6解(1)設(shè)A通過體能、射擊、反應(yīng)分別記為事件M、N、P，則A能夠入選包含以下幾個互斥事件：MN，MP，NP，MNP.P(A)P(MN)P(MP)P(NP)P(MNP)××××××××.答A能夠入選的概率為.(2)P(沒有入選任何人)4，P(入選了一人)C3，P(入選了兩人)C22，P(入選了三人)C3，P(入選了四人)C4，記表示該訓(xùn)練基地得到的訓(xùn)練經(jīng)費(fèi)，該基地得到訓(xùn)練經(jīng)費(fèi)的分布列為03 0006 0009 00012 000PE()3 000×6 000×9 000×12 000×8 000(元)所以，該基地得到訓(xùn)練經(jīng)費(fèi)的數(shù)學(xué)期望為8 000元B組提高選做題1【答案】【解析】當(dāng)l的斜率k為±2時，直線l的方程為±2xy10，此時坐標(biāo)原點(diǎn)到l的距離d；當(dāng)k為±時，d；當(dāng)k為±時，d；當(dāng)k為0時，d1，由古典概型的概率公式可得分布列如下：1P所以E()×××1×.2解(1)方法一所有可能的申請方式有34種，恰有2人申請A片區(qū)房源的申請方式有C·22種，從而恰有2人申請A片區(qū)房源的概率為.方法二設(shè)對每位申請人的觀察為一次試驗(yàn)，這是4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)記“申請A片區(qū)房源”為事件A，則P(A).從而，由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰發(fā)生k次的概率計算公式知，恰有2人申請A片區(qū)房源的概率為P4(2)C22.(2)的所有可能值為1,2,3.又P(1)，P(2)，P(3).綜上知，的分布列為123P從而有E()1×2×3×.3解(1)當(dāng)日需求量n16時，利潤y80.當(dāng)日需求量n<16時，利潤y10n80.所以y關(guān)于n的函數(shù)解析式為y(nN)(2)X可能的取值為60,70,80，并且P(X60)0.1，P(X70)0.2，P(X80)0.7.X的分布列為X607080P0.10.20.7X的數(shù)學(xué)期望為E(X)60×0.170×0.280×0.776.X的方差為D(X)(6076)2×0.1(7076)2×0.2(8076)2×0.744.法一花店一天應(yīng)購進(jìn)16枝玫瑰花理由如下：若花店一天購進(jìn)17枝玫瑰花，Y表示當(dāng)天的利潤(單位：元)，那么Y的分布列為Y55657585P0.10.20.160.54Y的數(shù)學(xué)期望為E(Y)55×0.165×0.275×0.1685×0.5476.4.Y的方差為D(Y)(5576.4)2×0.1(6576.4)2×0.2(7576.4)2×0.16(8576.4)2×0.54112.04.由以上的計算結(jié)果可以看出，D(X)<D(Y)，即購進(jìn)16枝玫瑰花時利潤波動相對較小另外，雖然E(X)<E(Y)，但兩者相差不大故花店一天應(yīng)購進(jìn)16枝玫瑰花法二花店一天應(yīng)購進(jìn)17枝玫瑰花理由如下：若花店一天購進(jìn)17枝玫瑰花，Y表示當(dāng)天的利潤(單位：元)，那么Y的分布列為Y55657585P0.10.20.160.54Y的數(shù)學(xué)期望為E(Y)55×0.165×0.275×0.1685×0.5476.4.由以上的計算結(jié)果可以看出，E(X)<E(Y)，即購進(jìn)17枝玫瑰花時的平均利潤大于購進(jìn)16枝時的平均利潤故花店一天應(yīng)購進(jìn)17枝玫瑰花