突破點(diǎn)12圓錐曲線的定義、方程、幾何性質(zhì) (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第44頁)核心知識(shí)提煉提煉1圓錐曲線的定義(1)橢圓：|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)(2)雙曲線：|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)(3)拋物線：|PF|PM|，點(diǎn)F不在直線l上，PMl于M(l為拋物線的準(zhǔn)線).提煉2 圓錐曲線的重要性質(zhì)(1)橢圓、雙曲線中a，b，c之間的關(guān)系在橢圓中：a2b2c2；離心率為e；在雙曲線中：c2a2b2；離心率為e.(2)雙曲線的漸近線方程與焦點(diǎn)坐標(biāo)雙曲線1(a0，b0)的漸近線方程為y±x；焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)；雙曲線1(a0，b0)的漸近線方程為y±x，焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(0，c)，F(xiàn)2(0，c)(3)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程拋物線y2±2px(p0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為x；拋物線x2±2py(p0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為y.提煉3弦長(zhǎng)問題(1)直線與圓錐曲線相交時(shí)的弦長(zhǎng)斜率為k的直線與圓錐曲線交于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)時(shí)，|AB|x1x2|·或|AB|y1y2|.(2)拋物線焦點(diǎn)弦的幾個(gè)常用結(jié)論設(shè)AB是過拋物線y22px(p0)焦點(diǎn)F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，y1y2p2；弦長(zhǎng)|AB|x1x2p(為弦AB的傾斜角)；以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切高考真題回訪回訪1橢圓及其性質(zhì)1(20xx·浙江高考)橢圓1的離心率是()A.B.C.D.B橢圓方程為1，a3，c.e.故選B.2(20xx·浙江高考)已知橢圓C1：y21(m>1)與雙曲線C2：y21(n>0)的焦點(diǎn)重合，e1，e2分別為C1，C2的離心率，則()Am>n且e1e2>1Bm>n且e1e2<1Cm<n且e1e2>1Dm<n且e1e2<1AC1的焦點(diǎn)為(±，0)，C2的焦點(diǎn)為(±，0)，C1與C2的焦點(diǎn)重合，m2n22，m2>n2.m>1，n>0，m>n.C1的離心率e1，C2的離心率e2，e1e2·>1.3(20xx·浙江高考)橢圓1(a>b>0)的右焦點(diǎn)F(c,0)關(guān)于直線yx的對(duì)稱點(diǎn)Q在橢圓上，則橢圓的離心率是_設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為F1(c,0)，如圖，連接QF1，QF，設(shè)QF與直線yx交于點(diǎn)M.由題意知M為線段QF的中點(diǎn)，且OMFQ.又O為線段F1F的中點(diǎn)，F(xiàn)1QOM，F(xiàn)1QQF，|F1Q|2|OM|.在RtMOF中，tanMOF，|OF|c，可解得|OM|，|MF|，故|QF|2|MF|，|QF1|2|OM|.由橢圓的定義得|QF|QF1|2a，整理得bc，ac，故e.4(20xx·浙江高考)如圖12­1，設(shè)橢圓C：1(a>b>0)，動(dòng)直線l與橢圓C只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且點(diǎn)P在第一象限圖12­1(1)已知直線l的斜率為k，用a，b，k表示點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)若過原點(diǎn)O的直線l1與l垂直，證明：點(diǎn)P到直線l1的距離的最大值為ab.解(1)設(shè)直線l的方程為ykxm(k<0)，由消去y，得(b2a2k2)x22a2kmxa2m2a2b20.2分由于l與橢圓C只有一個(gè)公共點(diǎn)，故0，即b2m2a2k20，解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為.4分又點(diǎn)P在第一象限，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為.6分(2)證明：由于直線l1過原點(diǎn)O且與l垂直，故直線l1的方程為xky0，所以點(diǎn)P到直線l1的距離d，8分整理，得d.10分因?yàn)閍2k22ab，所以ab，12分當(dāng)且僅當(dāng)k2時(shí)等號(hào)成立所以，點(diǎn)P到直線l1的距離的最大值為ab.15分回訪2雙曲線及其性質(zhì)5(20xx·浙江高考)設(shè)雙曲線x21的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2.若點(diǎn)P在雙曲線上，且F1PF2為銳角三角形，則|PF1|PF2|的取值范圍是_(2，8)雙曲線x21的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線上，|F1F2|4，|PF1|PF2|2.若F1PF2為銳角三角形，則由余弦定理知|PF1|2|PF2|216>0，可化為(|PF1|PF2|)22|PF1|·|PF2|>16.由|PF1|PF2|2，得(|PF1|PF2|)24|PF1|PF2|4.故2|PF1|PF2|，代入不等式可得(|PF1|PF2|)2>28，解得|PF1|PF2|>2.不妨設(shè)P在左支上，|PF1|216|PF2|2>0，即(|PF1|PF2|)·(|PF1|PF2|)>16，又|PF1|PF2|2，|PF1|PF2|<8.故2<|PF1|PF2|<8.6(20xx·浙江高考)雙曲線y21的焦距是_，漸近線方程是_2y±x由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，知雙曲線焦點(diǎn)在x軸上，且a22，b21，c2a2b23，即c，焦距2c2，漸近線方程為y±x，即y±x.7(20xx·浙江高考)設(shè)直線x3ym0(m0)與雙曲線1(a>0，b>0)的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A，B.若點(diǎn)P(m,0)滿足|PA|PB|，則該雙曲線的離心率是_雙曲線1的漸近線方程為y±x.由得A，由得B，所以AB的中點(diǎn)C坐標(biāo)為.設(shè)直線l：x3ym0(m0)，因?yàn)閨PA|PB|，所以PCl，所以kPC3，化簡(jiǎn)得a24b2.在雙曲線中，c2a2b25b2，所以e.回訪3拋物線及其性質(zhì)8(20xx·浙江高考)如圖12­2，設(shè)拋物線y24x的焦點(diǎn)為F，不經(jīng)過焦點(diǎn)的直線上有三個(gè)不同的點(diǎn)A，B，C，其中點(diǎn)A，B在拋物線上，點(diǎn)C在y軸上，則BCF與ACF的面積之比是()圖12­2A.B.C.D.A由圖形可知，BCF與ACF有公共的頂點(diǎn)F，且A，B，C三點(diǎn)共線，易知BCF與ACF的面積之比就等于.由拋物線方程知焦點(diǎn)F(1,0)，作準(zhǔn)線l，則l的方程為x1.點(diǎn)A，B在拋物線上，過A，B分別作AK，BH與準(zhǔn)線垂直，垂足分別為點(diǎn)K，H，且與y軸分別交于點(diǎn)N，M.由拋物線定義，得|BM|BF|1，|AN|AF|1.在CAN中，BMAN，.9(20xx·浙江高考)若拋物線y24x上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為10，則M點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離是_9設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x，則點(diǎn)M到準(zhǔn)線x1的距離為x1，由拋物線的定義知x110，x9，點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為9.10(20xx·浙江高考)如圖12­3，設(shè)拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)為F，拋物線上的點(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離等于|AF|1.(1)求p的值；(2)若直線AF交拋物線于另一點(diǎn)B，過B與x軸平行的直線和過F與AB垂直的直線交于點(diǎn)N，AN與x軸交于點(diǎn)M，求M的橫坐標(biāo)的取值范圍解(1)由題意可得，拋物線上點(diǎn)A到焦點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)A到直線x1的距離，2分由拋物線的定義得1，即p2.4分(2)由(1)得，拋物線方程為y24x，F(xiàn)(1,0)，可設(shè)A(t2,2t)，t0，t±1.因?yàn)锳F不垂直于y軸，可設(shè)直線AF：xsy1(s0)，由消去x得y24sy40，6分故y1y24，所以B.7分又直線AB的斜率為，故直線FN的斜率為，從而得直線FN：y(x1)，直線BN：y，所以N.8分設(shè)M(m,0)，由A，M，N三點(diǎn)共線得，于是m2，11分所以m<0或m>2.經(jīng)檢驗(yàn)，m<0或m>2滿足題意綜上，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的取值范圍是(，0)(2，).15分 (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第46頁)熱點(diǎn)題型1圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程題型分析：圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程是高考常考內(nèi)容，主要以選擇、填空的形式考查，解題時(shí)分兩步走：第一步，依定義定“型”，第二步，待定系數(shù)法求“值”.【例1】(1)已知方程1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4，則n的取值范圍是() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：68334125】A(1,3)B(1，)C(0,3)D(0，)(2)已知拋物線C：y28x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點(diǎn)，Q是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn)，若4，則|QF|()A.B3 C.D2(1)A(2)B(1)若雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，則又(m2n)(3m2n)4，m21，1<n<3.若雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1，即即n>3m2且n<m2，此時(shí)n不存在故選A.(2)如圖所示，因?yàn)?，所以，過點(diǎn)Q作QMl垂足為M，則MQx軸，所以，所以|MQ|3，由拋物線定義知|QF|QM|3.方法指津求解圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法是“先定型，后計(jì)算”1定型，就是指定類型，也就是確定圓錐曲線的焦點(diǎn)位置，從而設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程2計(jì)算，即利用待定系數(shù)法求出方程中的a2，b2或p.另外，當(dāng)焦點(diǎn)位置無法確定時(shí)，拋物線常設(shè)為y22ax或x22ay(a0)，橢圓常設(shè)mx2ny21(m0，n0)，雙曲線常設(shè)為mx2ny21(mn0)變式訓(xùn)練1(1)經(jīng)過點(diǎn)(2,1)，且漸近線與圓x2(y2)21相切的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.1B.y21C.1D.1(2)(20xx·金華十校第一學(xué)期調(diào)研)已知拋物線C：y22px(p>0)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，準(zhǔn)線與x軸交點(diǎn)為E，P為拋物線上任意一點(diǎn)，則()圖12­4A有最小值B有最小值1C無最小值D最小值與p有關(guān)(1)A(2)A(1)設(shè)雙曲線的漸近線方程為ykx，即kxy0，由題意知1，解得k±，則雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)雙曲線方程為1，則有解得故選A.(2)過點(diǎn)P作PF垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于F.設(shè)P，故|PF|，|EF|y，因?yàn)?，此時(shí)有最小值，故選A.熱點(diǎn)題型2圓錐曲線的幾何性質(zhì)題型分析：圓錐曲線的幾何性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，其中求圓錐曲線的離心率是最熱門的考點(diǎn)之一，建立關(guān)于a，c的方程或不等式是求解的關(guān)鍵.【例2】(1)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C：1(ab0)的左焦點(diǎn)，A，B分別為C的左、右頂點(diǎn)P為C上一點(diǎn)，且PFx軸過點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)E.若直線BM經(jīng)過OE的中點(diǎn)，則C的離心率為()A.B. C.D.(2)(20xx·杭州第二次質(zhì)檢)設(shè)拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A，B在拋物線上，且AFB120°，弦AB的中點(diǎn)M在準(zhǔn)線l上的射影為M1，則的最大值為_(1)A(2)(1)如圖所示，由題意得A(a,0)，B(a,0)，F(xiàn)(c,0)由PFx軸得P.設(shè)E(0，m)，又PFOE，得，則|MF|.又由OEMF，得，則|MF|.由得ac(ac)，即a3c，所以e.故選A.(2)如圖所示，由拋物線的定義以及梯形的中位線定理得|MM1|，在ABF中，由余弦定理得|AB|2|AF|2|BF|22|AF|·|BF|cos |AF|2|BF|2|AF|·|BF|(|AF|BF|)2|AF|·|BF|(|AF|BF|)223|MM1|2，當(dāng)且僅當(dāng)|AF|BF|時(shí)，等號(hào)成立，故取得最大值.方法指津1求橢圓、雙曲線離心率(離心率范圍)的方法求橢圓、雙曲線的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求的值2雙曲線的漸近線的求法及用法(1)求法：把雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程等號(hào)右邊的1改為零，分解因式可得(2)用法：可得或的值利用漸近線方程設(shè)所求雙曲線的方程變式訓(xùn)練2(1)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：1的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，MF1與x軸垂直，sinMF2F1，則E的離心率為()A.B. C.D2(2)(名師押題)已知橢圓1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過點(diǎn)F2的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，若F1AB是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則橢圓的離心率為() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：68334126】A.B2C.2D.(1)A(2)D(1)法一：如圖，因?yàn)镸F1與x軸垂直，所以|MF1|.又sinMF2F1，所以，即|MF2|3|MF1|.由雙曲線的定義得2a|MF2|MF1|2|MF1|，所以b2a2，所以c2b2a22a2，所以離心率e.法二：如圖，因?yàn)镸F1x軸，所以|MF1|.在RtMF1F2中，由sinMF2F1得tanMF2F1.所以，即，即，整理得c2aca20，兩邊同除以a2得e2e10.解得e(負(fù)值舍去)(2)設(shè)|F1F2|2c，|AF1|m，若F1AB是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，|AB|AF1|m，|BF1|m.由橢圓的定義可知F1AB的周長(zhǎng)為4a，4a2mm，m2(2)a.|AF2|2am(22)a.|AF1|2|AF2|2|F1F2|2，4(2)2a24(1)2a24c2，e296，e.