1 1第九節(jié)直線與圓錐曲線的位置關系A組基礎題組1.過拋物線y2=2x的焦點作一條直線與拋物線交于A,B兩點,它們的橫坐標之和等于2,則這樣的直線()A.有且只有一條B.有且只有兩條C.有且只有三條D.有且只有四條2.已知雙曲線x2a2-y2b2=1與直線y=2x有交點,則雙曲線離心率的取值范圍為()A.(1,5)B.(1,5C.(5,+)D.5,+)3.過點0,-12的直線l與拋物線y=-x2交于A、B兩點,O為坐標原點,則·的值為()A.-12B.-14C.-4D.無法確定4.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上的一點到雙曲線的左、右焦點的距離之差為4,若拋物線y=ax2上的兩點A(x1,y1),B(x2,y2)關于直線y=x+m對稱,且x1x2=-12,則m的值為()A.32B.52C.2D.35.直線y=kx+2與拋物線y2=8x有且只有一個公共點,則k的值為. 6.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,過點F且傾斜角為60°的直角l與拋物線C在第一、四象限分別交于A,B兩點,則|AF|BF|的值等于. 7.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1、F2,離心率e=22,P為橢圓上任一點,且PF1F2的最大面積為1.(1)求橢圓C的方程;(2)設斜率為22的直線l交橢圓C于A,B兩點,且以AB為直徑的圓恒過原點O,求OAB的面積.8.已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為22,右焦點為F(1,0).(1)求橢圓E的標準方程;(2)設點O為坐標原點,過點F作直線l與橢圓E交于M,N兩點,若OMON,求直線l的方程.B組提升題組9.(20xx四川,20,13分)已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一個焦點與短軸的兩個端點是正三角形的三個頂點,點P3,12在橢圓E上.(1)求橢圓E的方程;(2)設不過原點O且斜率為12的直線l與橢圓E交于不同的兩點A,B,線段AB的中點為M,直線OM與橢圓E交于C,D,證明:|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.10.設拋物線過定點A(-1,0),且以直線x=1為準線.(1)求拋物線頂點的軌跡C的方程;(2)若直線l與軌跡C交于不同的兩點M,N,且線段MN恰被直線x=-12平分,設弦MN的垂直平分線的方程為y=kx+m,試求m的取值范圍.答案全解全析A組基礎題組1.B設該拋物線焦點為F,A(xA,yA),B(xB,yB),則|AB|=|AF|+|FB|=xA+p2+xB+p2=xA+xB+1=3>2p=2,所以符合條件的直線有且只有兩條.2.C雙曲線的一條漸近線方程為y=bax,由題意得ba>2,e=ca=1+ba2>1+4=5.3.B由題意知直線l的斜率存在.設A(x1,y1)、B(x2,y2),直線l的方程為y=kx-12,代入拋物線方程得2x2+2kx-1=0,由此得x1+x2=-k,x1x2=-12,·=x1x2+y1y2=x1x2+kx1-12kx2-12=(k2+1)·x1x2-12k·(x1+x2)+14=-12(k2+1)-12k·(-k)+14=-14.故選B.4.A由雙曲線的定義知2a=4,得a=2,所以拋物線的方程為y=2x2.因為點A(x1,y1),B(x2,y2)在拋物線y=2x2上,所以y1=2x12,y2=2x22,兩式相減得y1-y2=2(x1-x2)(x1+x2),不妨設x1<x2,又A,B關于直線y=x+m對稱,所以y1-y2x1-x2=-1,故x1+x2=-12,而x1x2=-12,解得x1=-1,x2=12,設A(x1,y1),B(x2,y2)的中點為M(x0,y0),則x0=x1+x22=-14,y0=y1+y22=2x12+2x222=54,因為中點M在直線y=x+m上,所以54=-14+m,解得m=32.5.答案0或1解析由y=kx+2,y2=8x,得k2x2+(4k-8)x+4=0.若k=0,則y=2.若k0,則=0,即64-64k=0,解得k=1.所以直線y=kx+2與拋物線y2=8x有且只有一個公共點時,k的值為0或1.6.答案3解析設A(x1,y1),B(x2,y2),易知x1>x2.由直線l的傾斜角為60°,且過點Fp2,0,得直線l的方程為y-0=3x-p2,即y=3x-32p,聯(lián)立y=3x-32p,y2=2px,消去y并整理,得12x2-20px+3p2=0,則x1=32p,x2=16p,則|AF|BF|=32p+12p16p+12p=3.7.解析(1)e=ca=22,設P(x0,y0),PF1F2的面積S=|y0|c,又|y0|b,所以最大面積為bc=1,則b=c=1,a=2,所以橢圓C的方程為x22+y2=1.(2)設直線l的方程為y=22x+m,A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立y=22x+m,x2+2y2=2,消去y并整理得2x2+22mx+2m2-2=0,則x1+x2=-2m,x1路x2=m2-1.由題意知·=x1x2+y1y2=0,又y1y2=22x1+m22x2+m=12x1x2+22m(x1+x2)+m2,所以·=32x1x2+22m(x1+x2)+m2=32m2-32=0,解得m=±1.則|AB|=1+222·(x1+x2)2-4x1x2=3,因為原點到直線l的距離為|m|1+222=63,所以SAOB=12×3×63=22.8.解析(1)依題意可得1a=22,a2=b2+1,解得a=2,b=1,所以橢圓E的標準方程為x22+y2=1.(2)設M(x1,y1),N(x2,y2),當MN垂直于x軸時,直線l的方程為x=1,不符合題意;當MN不垂直于x軸時,設直線l的方程為y=k(x-1).聯(lián)立x22+y2=1,y=k(x-1),消去y并整理,得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0,所以x1+x2=4k21+2k2,x1·x2=2(k2-1)1+2k2.所以y1·y2=k2x1x2-(x1+x2)+1=-k21+2k2.因為OMON,所以·=0,所以x1·x2+y1·y2=k2-21+2k2=0,所以k=±2,所以直線l的方程為y=±2(x-1).B組提升題組9.解析(1)由已知,a=2b.又橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)過點P3,12,故34b2+14b2=1,解得b2=1.所以橢圓E的方程是x24+y2=1.(2)設直線l的方程為y=12x+m(m0),A(x1,y1),B(x2,y2),由方程組x24+y2=1,y=12x+m,得x2+2mx+2m2-2=0,方程的判別式為=4(2-m2),由>0,即2-m2>0,解得-2<m<2.由得x1+x2=-2m,x1x2=2m2-2.所以M點的坐標為-m,m2,直線OM的方程為y=-12x,由方程組x24+y2=1,y=-12x,得C-2,22,D2,-22.所以|MC|·|MD|=52(-m+2)·52(2+m)=54(2-m2).又|MA|·|MB|=14|AB|2=14(x1-x2)2+(y1-y2)2=516(x1+x2)2-4x1x2=5164m2-4(2m2-2)=54(2-m2),所以|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.10.解析(1)設拋物線的頂點為Q(x,y),則焦點為F(2x-1,y).根據(jù)拋物線的定義得|AF|=2,即(2x)2+y2=4,所以軌跡C的方程為x2+y24=1.(2)設弦MN的中點為P-12,y0,M(xM,yM),N(xN,yN),則由點M,N為橢圓C上的點,可知4xM2+yM2=4,4xN2+yN2=4,兩式相減,得4(xM-xN)(xM+xN)+(yM-yN)(yM+yN)=0,(*)將xM+xN=2×-12=-1,yM+yN=2y0,yM-yNxM-xN=-1k代入(*)式得k=-y02.又點P-12,y0在弦MN的垂直平分線上,所以y0=-12k+m,所以m=y0+12k=34y0.又點P-12,y0在線段BB'上,B',B為直線x=-12與橢圓的交點,如圖所示所以yB'<y0<yB,所以-3<y0<3.所以-334<m<334,且m0.