新編【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】高考數(shù)學(xué)北師大版一輪訓(xùn)練:第8篇 第3講 圓與圓的方程
第3講圓與圓的方程基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時:40分鐘)一、選擇題1 (20xx·長春模擬)已知點(diǎn)A(1,1),B(1,1),則以線段AB為直徑的圓的方程是()Ax2y22Bx2y2Cx2y21Dx2y24解析AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),|AB|2,圓的方程為x2y22.答案A2若圓x2y22ax3by0的圓心位于第三象限,那么直線xayb0一定不經(jīng)過()A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限解析圓x2y22ax3by0的圓心為,則a0,b0.直線yx,k0,0,直線不經(jīng)過第四象限答案D3(20xx·鎮(zhèn)安中學(xué)模擬)圓心在y軸上且過點(diǎn)(3,1)的圓與x軸相切,則該圓的方程是()Ax2y210y0Bx2y210y0Cx2y210x0Dx2y210x0解析設(shè)圓心為(0,b),半徑為r,則r|b|,圓的方程為x2(yb)2b2,點(diǎn)(3,1)在圓上,9(1b)2b2,解得b5,圓的方程為x2y210y0.答案B4兩條直線yx2a,y2xa的交點(diǎn)P在圓(x1)2(y1)24的內(nèi)部,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.B.(1,)C.D.1,)解析聯(lián)立解得P(a,3a),(a1)2(3a1)24,a1,故應(yīng)選A.答案A5(20xx·西交大附中模擬)點(diǎn)P(4,2)與圓x2y24上任一點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是()A(x2)2(y1)21B(x2)2(y1)24C(x4)2(y2)24D(x2)2(y1)21解析設(shè)圓上任一點(diǎn)為Q(x0,y0),PQ的中點(diǎn)為M(x,y),則解得因?yàn)辄c(diǎn)Q在圓x2y24上,所以xy4,即(2x4)2(2y2)24,化簡得(x2)2 (y1)21.答案A二、填空題6已知點(diǎn)M(1,0)是圓C:x2y24x2y0內(nèi)的一點(diǎn),那么過點(diǎn)M的最短弦所在直線的方程是_解析過點(diǎn)M的最短弦與CM垂直,圓C:x2y24x2y0的圓心為C(2,1),kCM1,最短弦所在直線的方程為y01(x1),即xy10.答案xy107(20xx·南京調(diào)研)已知直線l:xy40與圓C:(x1)2(y1) 22,則圓C上各點(diǎn)到l的距離的最小值為_解析由題意得C上各點(diǎn)到直線l的距離的最小值等于圓心(1,1)到直線l的距離減去半徑,即.答案8若圓x2(y1)21上任意一點(diǎn)(x,y)都使不等式xym0恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_解析據(jù)題意圓x2(y1)21上所有的點(diǎn)都在直線xym0的右上方,所以有解得m1.故m的取值范圍是1,)答案1,)三、解答題9求適合下列條件的圓的方程:(1)圓心在直線y4x上,且與直線l:xy10相切于點(diǎn)P(3,2);(2)過三點(diǎn)A(1,12),B(7,10),C(9,2)解(1)法一設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(xa)2(yb)2r2,則有解得a1,b4,r2.圓的方程為(x1)2(y4)28.法二過切點(diǎn)且與xy10垂直的直線為y2x3,與y4x聯(lián)立可求得圓心為(1,4)半徑r2,所求圓的方程為(x1)2(y4)28.(2)法一設(shè)圓的一般方程為x2y2DxEyF0(D2E24F0),則解得D2,E4,F(xiàn)95.所求圓的方程為x2y22x4y950.法二由A(1,12),B(7,10),得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(4,11),kAB,則AB的垂直平分線方程為3xy10.同理得AC的垂直平分線方程為xy30.聯(lián)立得即圓心坐標(biāo)為(1,2),半徑r10.所求圓的方程為(x1)2(y2)2100.10設(shè)定點(diǎn)M(3,4),動點(diǎn)N在圓x2y24上運(yùn)動,以O(shè)M,ON為鄰邊作平行四邊形MONP,求點(diǎn)P的軌跡解如圖所示,設(shè)P(x,y),N(x0,y0),則線段OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為,線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為.由于平行四邊形的對角線互相平分,故,.從而N(x3,y4)在圓上,故(x3)2(y4)24.因此所求軌跡為圓:(x3)2(y4)24,但應(yīng)除去兩點(diǎn)和(點(diǎn)P在直線OM上時的情況)能力提升題組(建議用時:25分鐘)一、選擇題1(20xx·鷹潭模擬)已知圓C:x2y2mx40上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線xy30對稱,則實(shí)數(shù)m的值為()A8B4C6D無法確定解析圓上存在關(guān)于直線xy30對稱的兩點(diǎn),則xy30過圓心,即30,m6.答案C2(20xx·西安中學(xué)模擬)已知拋物線y22px(p0)上一點(diǎn)M(1,m)(m0)到其焦點(diǎn)F的距離為5,則以M為圓心且與y軸相切的圓的方程為()A(x1)2(y4)21B(x1)2(y4)21C(x1)2(y4)216D(x1)2(y4)216解析拋物線的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線方程為x,所以|MF|15,解得p8,即拋物線方程為y216x,又m216,m0,所以m4,即M(1,4),所以半徑為1,所以圓的方程為(x1)2(y4)21.答案A二、填空題3已知平面區(qū)域恰好被面積最小的圓C:(xa)2(yb)2r2及其內(nèi)部所覆蓋,則圓C的方程為_解析由題意知,此平面區(qū)域表示的是以O(shè)(0,0),P(4,0),Q(0,2)所構(gòu)成的三角形及其內(nèi)部,所以覆蓋它的且面積最小的圓是其外接圓,又OPQ為直角三角形,故其圓心為斜邊PQ的中點(diǎn)(2,1),半徑為,圓C的方程為(x2)2(y1)25.答案(x2)2(y1)25三、解答題4已知圓x2y2x6ym0和直線x2y30交于P,Q兩點(diǎn),且OPOQ(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求該圓的圓心坐標(biāo)及半徑解法一將x32y,代入方程x2y2x6ym0,得5y220y12m0.設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則y1,y2滿足條件:y1y24,y1y2.OPOQ,x1x2y1y20.而x132y1,x232y2.x1x296(y1y2)4y1y2.故0,解得m3,此時2024×5×(12m)20(8m)0,圓心坐標(biāo)為,半徑r.法二如圖所示,設(shè)弦PQ中點(diǎn)為M,且圓x2y2x6ym0的圓心為O1,設(shè)M(x0,y0),P(x1,y1),Q(x2,y2),由法一知,y1y24,x1x22,x01,y02.即M的坐標(biāo)為(1,2)則以PQ為直徑的圓可設(shè)為(x1)2(y2)2r.OPOQ,點(diǎn)O在以PQ為直徑的圓上(01)2(02)2r,即r5,|MQ|2r.在RtO1MQ中,|O1Q|2|O1M|2|MQ|2.2(32)25.m3,圓心坐標(biāo)為,半徑r.