1 1第3節(jié)函數(shù)性質(zhì)的綜合應用 課時訓練 練題感 提知能【選題明細表】知識點、方法題號函數(shù)單調(diào)性的應用1、2函數(shù)奇偶性的應用7、8函數(shù)奇偶性與單調(diào)性綜合應用3、4、6、11函數(shù)奇偶性與周期性綜合應用4、5、9、12、16函數(shù)性質(zhì)的綜合應用14、15與函數(shù)性質(zhì)有關新定義問題10、13A組一、選擇題1.(20xx浙江嘉興模擬)f(x)=x+ax在區(qū)間1,+)上遞增,則a的取值范圍為(D)(A)(0,+)(B)(-,0)(C)(0,1 (D)(-,1解析:當a0時,f(x)在區(qū)間1,+)上遞增;當a>0時,f(x)的增區(qū)間為a,+),只要a1,得a1.綜上a的取值范圍為(-,1,故選D.2.給定函數(shù)y=x12,y=log12(x+1),y=|x-1|,y=2x+1,其中在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減的函數(shù)的序號是(B)(A)(B)(C)(D)解析:顯然冪函數(shù)y=x12及指數(shù)型函數(shù)y=2x+1在(0,1)上單調(diào)遞增,對于y=log12(x+1)可看作是y=log12u,u=x+1的復合函數(shù),由復合函數(shù)的單調(diào)性知y=log12(x+1)在(0,1)上遞減,對函數(shù)y=|x-1|,其圖象是偶函數(shù)y=|x|的圖象向右平移一個單位得到,y=|x|在(-1,0)上遞減,則y=|x-1|在(0,1)上遞減.故選B.3.已知函數(shù)f(x)=1-2-x(x0),2x-1(x<0),則該函數(shù)是(C)(A)偶函數(shù),且單調(diào)遞增(B)偶函數(shù),且單調(diào)遞減(C)奇函數(shù),且單調(diào)遞增(D)奇函數(shù),且單調(diào)遞減解析:當x>0時,f(x)=1-2-x,這時-x<0,所以f(-x)=2-x-1,于是f(-x)=-f(x);當x<0時,f(x)=2x-1,這時-x>0,所以f(-x)=1-2x,于是也有f(-x)=-f(x).又f(0)=0,故函數(shù)f(x)是一個奇函數(shù);又因為當x>0時,f(x)=1-2-x單調(diào)遞增,當x<0時,f(x)=2x-1也單調(diào)遞增,所以f(x)單調(diào)遞增.故選C.4.已知周期為2的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間0,1上是增函數(shù),則f(-6.5),f(-1),f(0)的大小關系是(B)(A)f(-6.5)<f(0)<f(-1)(B)f(0)<f(-6.5)<f(-1)(C)f(-1)<f(-6.5)<f(0)(D)f(-1)<f(0)<f(-6.5)解析:由條件得f(-6.5)=f(6.5)=f(6+0.5)=f(0.5),f(-1)=f(1),又f(x)在區(qū)間0,1上是增函數(shù),所以f(0)<f(0.5)<f(1),故f(0)<f(-6.5)<f(-1).故選B.5.設偶函數(shù)f(x)對任意xR,都有f(x+3)=-1f(x),且當x-3,-2時,f(x)=4x,則f(107.5)等于(B)(A)10(B)110(C)-10(D)-110解析:由于f(x+3)=-1f(x),所以f(x+6)=f(x),即函數(shù)f(x)的周期等于6,又因為函數(shù)f(x)是偶函數(shù),于是f(107.5)=f(6×17+5.5)=f(5.5)=f(3+2.5)=-1f(2.5)=-1f(-2.5)=-14×(-2.5)=110,故選B.6.(20xx珠海市5月高三綜合)已知函數(shù)f(x-1)是定義在R上的奇函數(shù),若對于任意給定的不等實數(shù)x1、x2,不等式(x1-x2)f(x1)-f(x2)>0恒成立,則不等式f(x+2)<0的解集為(B)(A)(1,+)(B)(-,-3)(C)(0,+)(D)(-,1)解析:由(x1-x2)f(x1)-f(x2)>0可知f(x)在R上為單調(diào)遞增函數(shù),f(x-1)是由f(x)向右平移一個單位得到的,平移不改變f(x)在R上的單調(diào)遞增的性質(zhì),又因為f(x-1)為奇函數(shù),所以f(x-1)<0的解集為(-,0),又因為f(x+2)可以由f(x-1)向左平移3個單位得到,所以f(x+2)<0的解集為(-,-3).故選B.二、填空題7.(20xx吉林二模)已知f(x)是R上的奇函數(shù),且當x(-,0時,f(x)=-xlg(3-x),則f(1)=. 解析:f(1)=-f(-1)=-(-1)lg(3+1)=-lg 4.答案:-lg 48.已知f(x)=asin x+bx+c(a,b,cR),若f(0)=-2,f(2)=1,則f(-2)=. 解析:由題設f(0)=c=-2,f(2)=a+2b-2=1,所以f(-2)=-a-2b-2=-5.答案:-59.已知f(x)是R上的奇函數(shù),且滿足f(x+4)=f(x),當x(0,2)時,f(x)=2x2,則f(7)=. 解析:由f(x+4)=f(x),知f(x)是周期為4的周期函數(shù),又f(x)為R上的奇函數(shù),則f(7)=f(8-1)=f(-1)=-f(1)=-2.答案:-210.(20xx揭陽市一模)函數(shù)f(x)的定義域為D,若對任意的x1,x2D,當x1<x2時,都有f(x1)f(x2),則稱函數(shù)f(x)在D上為“非減函數(shù)”.設函數(shù)g(x)在0,1上為“非減函數(shù)”,且滿足以下三個條件:(1)g(0)=0;(2)g(x3)=12g(x);(3)g(1-x)=1-g(x),則g(1)=,g(512)=. 解析:在(3)中令x=0得g(1)=1-g(0)=1.在(2)中令x=1得g(13)=12g(1)=12,在(3)中令x=12,得g(12)=1-g(12),故g(12)=12,因為13<512<12,所以g(13)g(512)g(12).故g(512)=12.答案:112三、解答題11.已知函數(shù)f(x)=-x2+2x,x>0,0,x=0,是奇函數(shù).x2+mx,x<0(1)求實數(shù)m的值;(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間-1,a-2上單調(diào)遞增,求實數(shù)a的取值范圍.解:(1)當x<0時,-x>0,f(-x)=-(-x)2+2·(-x)=-x2-2x,又f(x)為奇函數(shù),f(x)=-f(-x)=x2+2x,x<0,m=2.(2)畫出f(x)的大致圖象如圖所示. 要使函數(shù)f(x)在區(qū)間-1,a-2上單調(diào)遞增,由圖象可以看出,-1<a-21,解得1<a3,故實數(shù)a的取值范圍是(1,3.B組12.(20xx山東濟南市質(zhì)檢)已知定義在R上的函數(shù)f(x),對任意xR,都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,若函數(shù)y=f(x+1)的圖象關于直線x=-1對稱,則f(20xx)等于(A)(A)0(B)20xx(C)3(D)-20xx解析:函數(shù)y=f(x+1)的圖象關于直線x=-1對稱,可知函數(shù)y=f(x)的圖象關于y軸對稱,故函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù).在等式f(x+6)=f(x)+f(3)中,令x=-3得f(3)=f(-3)+f(3),得f(-3)=f(3)=0,故f(x+6)=f(x),6是函數(shù)y=f(x)的一個周期,f(20xx)=f(3)=0.故選A.13.(20xx韶關調(diào)研)已知f1(x)=x,f2(x)=x2,f3(x)=ex,f4(x)=log12 x四個函數(shù)中,當0<x1<x2時,滿足不等式f(x1)+f(x2)2<f(x1+x22)的是(A)(A)f1(x)=x(B)f2(x)=x2(C)f3(x)=ex(D)f4(x)=log12 x解析:逐一判斷,當0<x1<x2時,對函數(shù)f1(x)=x,因為(x1+x22)2-(x1+x22)2=-(x1-x22)2<0,所以x1+x22<x1+x22,即選項A滿足不等式;對函數(shù)f2(x)=x2,存在x1=1,x2=2,有f(1)+f(2)2=52>f(32)=94,所以選項B不滿足;對函數(shù)f3(x)=ex,存在x1=1,x2=2,有f(1)+f(2)2=e+e22>f(32)=e32,所以選項C不滿足;對函數(shù)f4(x)=log12 x,存在x1=2,x2=8,有f(2)+f(8)2=-2=log12 4>f(5)=log12 5,所以選項D不滿足,故選A.14.已知定義在R上的函數(shù)y=f(x)滿足條件f(x+32)=-f(x),且函數(shù)y=f(x-34)為奇函數(shù),給出以下四個命題:(1)函數(shù)f(x)是周期函數(shù);(2)函數(shù)f(x)的圖象關于點(-34,0)對稱;(3)函數(shù)f(x)為R上的偶函數(shù);(4)函數(shù)f(x)為R上的單調(diào)函數(shù).其中真命題的序號為.(寫出所有真命題的序號) 解析:由f(x+32)=-f(x)可得f(x)=f(x+3)f(x)為周期函數(shù),且T=3,(1)為真命題;又y=f(x-34)關于(0,0)對稱,y=f(x-34)向左平移34個單位得y=f(x)的圖象,則y=f(x)的圖象關于點(-34,0)對稱,(2)為真命題;又y=f(x-34)為奇函數(shù),所以f(x-34)=-f(-x-34),f(x-34-34)=-f(34-x-34)=-f(-x),f(x-32)=-f(-x),f(x)=f(x-3)=-f(x-32)=f(-x);f(x)為偶函數(shù),不可能為R上的單調(diào)函數(shù),(3)為真命題;(4)為假命題,故真命題為(1)(2)(3).答案:(1)(2)(3)15.已知函數(shù)f(x)的定義域為(-,0)(0,+),且滿足條件:f(x·y)=f(x)+f(y),f(2)=1;當x>1時,f(x)>0.(1)求證:函數(shù)f(x)為偶函數(shù);(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(3)求不等式f(x)+f(x-3)2的解集.(1)證明:由f(2)=f(1×2)=f(1)+f(2)得f(1)=0.由f(1)=f(-1×(-1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1)=0,得f(-1)=0,f(-x)=f(-1·x)=f(-1)+f(x)=f(x),f(x)為偶函數(shù).(2)解:任取x1、x2(0,+)且x1<x2,則x2x1>1,由x>1時,f(x)>0,得f(x2x1)>0,f(x2)=f(x1·x2x1)=f(x1)+f(x2x1),f(x2)>f(x1)f(x)在(0,+)上是增函數(shù).f(x)是偶函數(shù),f(x)在(-,0)上是減函數(shù),在(0,+)上是增函數(shù).(3)解:由f(x·y)=f(x)+f(y)得f(x)+f(x-3)=f(x(x-3),又f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2)=2,原不等式轉化為f(x(x-3)f(4),f(x)是偶函數(shù),|x(x-3)|4.解得-1x4且x0,不等式f(x)+f(x-3)2的解集為-1,0)(0,4.16.設f(x)是(-,+)上的奇函數(shù),f(x+2)=-f(x),當0x1時,f(x)=x.(1)求f()的值;(2)當-4x4時,求f(x)的圖象與x軸所圍圖形的面積.解:(1)由f(x+2)=-f(x),得f(x+4)=f(x+2)+2=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù),從而得f()=f(-1×4+)=f(-4)=-f(4-)=-(4-)=-4.(2)由f(x)是奇函數(shù)與f(x+2)=-f(x), 得f(x-1)+2=-f(x-1)=f-(x-1),即f(1+x)=f(1-x).故知函數(shù)y=f(x)的圖象關于直線x=1對稱.又0x1時,f(x)=x,且f(x)的圖象關于原點成中心對稱,則f(x)的圖象如圖所示.當-4x4時,設f(x)的圖象與x軸圍成的圖形面積為S,則S=4SOAB=4×12×2×1=4.