專題突破練(五)平面解析幾何中的高考熱點問題(對應(yīng)學生用書第309頁)1設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點，M是C上一點且MF2與x軸垂直，直線MF1與C的另一個交點為N.(1)若直線MN的斜率為，求C的離心率；(2)若直線MN在y軸上的截距為2，且|MN|5|F1N|，求a，b. 解(1)根據(jù)c及題設(shè)知M，2b23ac.將b2a2c2代入2b23ac，解得，2(舍去)故C的離心率為.(2)由題意，原點O為F1F2的中點，MF2y軸，所以直線MF1與y軸的交點D(0,2)是線段MF1的中點，故4，即b24a.由|MN|5|F1N|得|DF1|2|F1N|.設(shè)N(x1，y1)，由題意知y1<0，則即代入C的方程，得1.將及c代入得1.解得a7，b24a28，故a7，b2.2(20xx·海口調(diào)研)已知橢圓E：1(ab0)經(jīng)過點，離心率為，點O為坐標原點圖2(1)求橢圓E的標準方程；(2)如圖2，過橢圓E的左焦點F任作一條不垂直于坐標軸的直線l，交橢圓E于P，Q兩點，記弦PQ的中點為M, 過F作PQ的垂線FN交直線OM于點N，證明：點N在一條定直線上解(1)由題易得解得所以c2，所以橢圓E的方程為y21.(2)證明：設(shè)直線l的方程為yk(x2)(k0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，聯(lián)立yk(x2)與y21，可得(15k2)x220k2x20k250，所以x1x2，x1x2.設(shè)直線FN的方程為y(x2)，M(x0，y0)，則x0，y0k(x02)，所以kOM，所以直線OM的方程為yx，聯(lián)立解得所以點N在定直線x上3(20xx·合肥二檢)如圖3，已知拋物線E：y22px(p0)與圓O：x2y28相交于A，B兩點，且點A的橫坐標為2.過劣弧AB上一動點P(x0，y0)作圓O的切線交拋物線E于C，D兩點，分別以C，D為切點作拋物線E的切線l1，l2，l1與l2相交于點M.圖3(1)求拋物線E的方程；(2)求點M到直線CD距離的最大值解(1)由xA2得y4，故4p4，解得p1.于是拋物線E的方程為y22x.(2)設(shè)C，D，切線l1：yy1k，代入y22x得ky22y2y1ky0，由44k(2y1ky)0解得k，l1的方程為yx，同理，l2的方程為yx.聯(lián)立解得易得CD的方程為x0xy0y8，其中x0，y0滿足xy8，x02,2聯(lián)立得x0y22y0y160，則代入M(x，y)滿足即點M的坐標為.點M到直線CD：x0xy0y8的距離d為關(guān)于x0的單調(diào)遞減函數(shù)，故當且僅當x02時，dmax.4(20xx·陜西質(zhì)檢(一)已知F1，F(xiàn)2為橢圓E：1(ab0)的左、右焦點，點P在橢圓上，且|PF1|PF2|4.(1)求橢圓E的方程；(2)過F1的直線l1，l2分別交橢圓E于A，C和B，D，且l1l2，問是否存在常數(shù)，使得，成等差數(shù)列？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由. 解(1)|PF1|PF2|4，2a4，a2.橢圓E的方程為1.將P代入可得b23，橢圓E的方程為1.(2)存在當AC的斜率為零或斜率不存在時，；當AC的斜率k存在且k0時，設(shè)AC的方程為yk(x1)，代入橢圓方程1，并化簡得(34k2)x28k2x4k2120.設(shè)A(x1，y1)，C(x2，y2)，則x1x2，x1·x2，|AC|x1x2| .同理，直線BD的斜率為，|BD|.綜上，2，.存在常數(shù)，使得，成等差數(shù)列