第五節(jié)橢圓 考點(diǎn)一橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程 例1(1)(20xx·廣東高考)已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F(1,0)，離心率等于，則C的方程是()A.1 B.1C.1 D.1(2)(20xx·岳陽模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率為.過F1的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，且ABF2的周長為16，那么橢圓C的方程為_自主解答(1)由右焦點(diǎn)為F(1,0)，可知c1，因為離心率為，即，故a2，由a2b2c2，知b2a2c23，因此橢圓C的方程為1.(2)由ABF2的周長為4a16，得a4，又知離心率為，即，ca2，所以a216，b2a2c21688，所以橢圓C的方程為1.答案(1)D(2)1【互動探究】在本例(2)中若將條件“焦點(diǎn)在x軸上”去掉，結(jié)果如何？解：由例1(2)知：當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時，橢圓的方程為1；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時，橢圓的方程為1.綜上可知C的方程為1或1.【方法規(guī)律】用待定系數(shù)法求橢圓方程的一般步驟(1)作判斷：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)是在x軸上，還是在y軸上，還是兩個坐標(biāo)軸都有可能；(2)設(shè)方程：根據(jù)上述判斷設(shè)方程1(a>b>0)，1(a>b>0)或mx2ny21(m>0，n>0)；(3)找關(guān)系：根據(jù)已知條件，建立關(guān)于a，b，c或m，n的方程組；(4)得方程：解方程組，將解代入所設(shè)方程，即為所求注意：用待定系數(shù)法求橢圓的方程時，要“先定型，再定量”，不能確定焦點(diǎn)的位置時，可進(jìn)行分類討論或把橢圓的方程設(shè)為mx2ny21(m>0，n>0).1已知ABC的頂點(diǎn)B，C在橢圓y21上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個焦點(diǎn)在BC邊上，則ABC的周長是()A2 B 6 C4 D12解析：選C根據(jù)橢圓定義，ABC的周長等于橢圓長軸長的2倍，即4.2(20xx·山東高考)已知橢圓C：1(a>b>0)的離心率為.雙曲線x2y21的漸近線與橢圓C有四個交點(diǎn)，以這四個交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16，則橢圓C的方程為()A.1 B.1C.1 D.1解析：選D橢圓的離心率為，a2b.橢圓的方程為x24y24b2.雙曲線x2y21的漸近線方程為x±y0，漸近線x±y0與橢圓x24y24b2在第一象限的交點(diǎn)為，由圓錐曲線的對稱性得四邊形在第一象限部分的面積為b×b4，b25，a24b220.橢圓C的方程為1.考點(diǎn)二橢圓的幾何性質(zhì)及應(yīng)用 例2(1)已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是橢圓x22y22的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是該橢圓上的一個動點(diǎn)，那么|的最小值是()A0 B1 C2 D2 (2)(20xx·遼寧高考)已知橢圓C：1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，C與過原點(diǎn)的直線相交于A，B兩點(diǎn)，連接AF，BF.若|AB|10，|AF|6，cosABF，則C的離心率e_.自主解答(1)設(shè)P(x0，y0)，則(1x0，y0)，(1x0，y0)，(2x0，2y0)，|22.點(diǎn)P在橢圓上，0y1，當(dāng)y1時，|取最小值為2. (2)如圖，設(shè)右焦點(diǎn)為F1，|BF|x，則cosABF.解得x8，故AFB90°.由橢圓及直線關(guān)于原點(diǎn)對稱可知|AF1|8，且FAF190°，F(xiàn)AF1是直角三角形，|F1F2|10，故2a8614，2c10，e.答案：(1)C(2)【方法規(guī)律】1利用橢圓幾何性質(zhì)的注意點(diǎn)及技巧(1)注意橢圓幾何性質(zhì)中的不等關(guān)系在求與橢圓有關(guān)的一些量的范圍，或者最大值、最小值時，經(jīng)常用到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中x，y的范圍，離心率的范圍等不等關(guān)系(2)利用橢圓幾何性質(zhì)的技巧求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問題時，要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長軸、短軸等橢圓的基本量時，要理清它們之間的內(nèi)在聯(lián)系2求橢圓的離心率問題的一般思路求橢圓的離心率或其范圍時，一般是依據(jù)題設(shè)得出一個關(guān)于a，b，c的等式或不等式，利用a2b2c2消去b，即可求得離心率或離心率的范圍如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，A是橢圓C的頂點(diǎn)，B是直線AF2與橢圓C的另一個交點(diǎn)，F(xiàn)1AF260°.(1)求橢圓C的離心率；(2)已知AF1B的面積為40，求a，b的值解：(1)由題意可知，AF1F2為等邊三角形，a2c，所以e.(2)法一：a24c2，b23c2，直線AB的方程為y(xc)將其代入橢圓方程3x24y212c2，得B.又A(0，c)，所以|AB| c.由SAF1B|AF1|·|AB|sin F1ABa·c·a240，解得a10，c5，則b275，即b5.法二：設(shè)|AB|t.因為|AF2|a，所以|BF2|ta.由橢圓定義|BF1|BF2|2a，可知|BF1|3at.再由余弦定理(3at)2a2t22atcos 60°，可得ta.由SAF1B|AF1|·|AB|·sinF1ABa·a·a240，解得a10，則c5，b5.高頻考點(diǎn)考點(diǎn)三 直線與橢圓的綜合問題1直線與橢圓的綜合問題，是近年來高考命題的熱點(diǎn)，多以解答題的形式出現(xiàn)，試題難度較高，多為中檔題2高考對直線與橢圓的綜合問題的考查主要有以下幾個命題角度：(1)已知某條件，求直線的方程；(2)求三角形(或其他幾何圖形)的面積；(3)判斷幾何圖形的形狀；(4)弦長問題；(5)中點(diǎn)弦或弦的中點(diǎn)問題例3(20xx·浙江高考)如圖，點(diǎn)P(0，1)是橢圓C1：1(a>b>0)的一個頂點(diǎn)，C1的長軸是圓C2：x2y24的直徑l1，l2是過點(diǎn)P且互相垂直的兩條直線，其中l(wèi)1交圓C2于A，B兩點(diǎn)，l2交橢圓C1于另一點(diǎn)D.(1)求橢圓C1的方程；(2)求ABD面積取最大值時直線l1的方程自主解答(1)由題意得所以橢圓C1的方程為y21.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)由題意知直線l1的斜率存在，不妨設(shè)其為k，則直線l1的方程為ykx1.又圓C2：x2y24，故點(diǎn)O到直線l1的距離d，所以|AB|22 .又l2l1，故直線l2的方程為xkyk0.設(shè)ABD的面積為S，當(dāng)k0時，則D(0,1)，A(，1)，B(，1)，此時，|AB|2，|PD|2，所以S|AB|·|PD|×2×22.當(dāng)k0時，由消去y，整理得(4k2)x28kx0，故x0.所以|PD|.則S|AB|·|PD|，所以S，當(dāng)且僅當(dāng)k±時取等號而當(dāng)k0時，S2<，故當(dāng)k±時ABD面積取得最大值所以所求直線l1的方程為y±x1.直線與橢圓綜合問題的常見題型及解題策略(1)求直線方程可依題條件，尋找確定該直線的兩個條件，進(jìn)而得到直線方程(2)求面積先確定圖形的形狀，再利用條件尋找確定面積的條件，進(jìn)而得出面積的值(3)判斷圖形的形狀可依據(jù)平行、垂直的條件判斷邊角關(guān)系，再依據(jù)距離公式得出邊之間的關(guān)系(4)弦長問題利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式求解(5)中點(diǎn)弦或弦的中點(diǎn)一般利用點(diǎn)差法求解，注意判斷直線與方程是否相交(20xx·重慶高考)如圖，橢圓的中心為原點(diǎn)O，長軸在x軸上，離心率e，過左焦點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓于A，A兩點(diǎn)，|AA|4.(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)取平行于y軸的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)P，P，過P，P作圓心為Q的圓，使橢圓上的其余點(diǎn)均在圓Q外求PPQ的面積S的最大值，并寫出對應(yīng)的圓Q 的標(biāo)準(zhǔn)方程解：(1)設(shè)橢圓方程為1(a>b>0)，由題意知點(diǎn)A(c,2)在橢圓上，則1.從而e21.由e，得b28，從而a216.故該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)由橢圓的對稱性，可設(shè)Q(x0,0)又設(shè)M(x，y)是橢圓上任意一點(diǎn)，則|QM|2(xx0)2y2x22x0xx8×(x2x0)2x8(x4,4)設(shè)P(x1，y1)，由題意知，點(diǎn)P是橢圓上到點(diǎn)Q的距離最小的點(diǎn)，因此，上式當(dāng)xx1時取最小值，又因x1(4,4)，所以上式當(dāng)x2x0時取最小值，從而x12x0，且|QP|28x.由對稱性知P(x1，y1)，故|PP|2y1|，所以S|2y1|x1x0|×2 |x0|× × 當(dāng)x0±時，PPQ的面積S取到最大值2.此時對應(yīng)的圓Q的圓心坐標(biāo)為Q(±，0)，半徑|QP|，因此，這樣的圓有兩個，其標(biāo)準(zhǔn)方程分別為(x)2y26，(x)2y26.課堂歸納通法領(lǐng)悟1個規(guī)律橢圓焦點(diǎn)位置與x2，y2系數(shù)之間的關(guān)系給出橢圓方程1時，橢圓的焦點(diǎn)在x軸上a>b>0；橢圓的焦點(diǎn)在y軸上0<a<b.1種思想數(shù)形結(jié)合思想在橢圓幾何性質(zhì)中的運(yùn)用求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問題時要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，即使不畫出圖形，思考時也要聯(lián)想到圖形當(dāng)涉及到頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長軸、短軸等橢圓的基本量時，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系2種方法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1)定義法：根據(jù)橢圓定義，確定a2，b2的值，再結(jié)合焦點(diǎn)位置，直接寫出橢圓方程(2)待定系數(shù)法：根據(jù)橢圓焦點(diǎn)是在x軸還是y軸上，設(shè)出相應(yīng)形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)條件確定關(guān)于a，b，c的方程組，解出a2，b2，從而寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程3種技巧與橢圓性質(zhì)、方程相關(guān)的三種技巧(1)橢圓上任意一點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的所有距離中，長軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離分別為最大距離和最小距離，且最大距離為ac，最小距離為ac.(2)求橢圓離心率e時，只要求出a，b，c的一個齊次方程，再結(jié)合b2a2c2就可求得e(0<e<1)(3)求橢圓方程時，常用待定系數(shù)法，但首先要判斷是否為標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷的依據(jù)是：中心是否在原點(diǎn)；對稱軸是否為坐標(biāo)軸.