專題能力訓(xùn)練8平面向量及其綜合應(yīng)用(時間:60分鐘滿分:100分)一、選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分)1.設(shè)m,n為非零向量,則“存在負(fù)數(shù),使得m=n”是“m·n<0”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件2.若等邊ABC的邊長為3,平面內(nèi)一點M滿足,則的值為()A.2B.-C.D.-23.已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=2,a-b=(),則|a+2b|=()A.2B.C.D.24.已知平面向量a,b,c滿足c=xa+yb(x,yR),且a·c>0,b·c>0.()A.若a·b<0,則x>0,y>0B.若a·b<0,則x<0,y<0C.若a·b>0,則x<0,y<0D.若a·b>0,則x>0,y>05.ABC所在平面上的動點P滿足=(tan B+tan C),其中>0,則動點P一定經(jīng)過ABC的()A.重心B.內(nèi)心C.外心D.垂心6.(20xx浙江鎮(zhèn)海中學(xué)5月模擬)已知ABC的外接圓半徑為2,D為該圓上一點,且,則ABC的面積的最大值為()A.3B.4C.3D.47.如圖,三個邊長為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上,邊B3C3上有10個不同的點P1,P2,P10,記mi=(i=1,2,10),則m1+m2+m10的值為()A.15B.45C.60D.1808.如圖,扇形OAB中,OA=1,AOB=90°,M是OB的中點,P是弧AB上的動點,N是線段OA上的動點,則的最小值為()A.0B.C.D.1-二、填空題(本大題共6小題,每小題5分,共30分)9.在邊長為1的正方形ABCD中,2,BC的中點為F,=2,則=. 10.若平面向量a,b,e滿足|e|=1,a·e=1,b·e=2,|a-b|=2,則a·b的最小值為. 11.已知向量a,b及實數(shù)t滿足|a+tb|=3.若a·b=2,則t的最大值是. 12.如圖,在同一個平面內(nèi),向量的模分別為1,1,的夾角為,且tan =7,的夾角為45°.若=m+n(m,nR),則m+n=. 13.(20xx浙江杭州二模)設(shè)P為ABC所在平面上一點,且滿足3+4=m(m>0).若ABP的面積為8,則ABC的面積為. 14.如圖,平面內(nèi)有三個向量,其中的夾角為120°,的夾角為30°,且|=|=2,|=4,若=+(,R),則+的值為. 三、解答題(本大題共2小題,共30分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)15.(本小題滿分15分)如圖,在平面四邊形ABCD中,AB=13,AC=10,AD=5,cosDAC=120.(1)求cosBAD;(2)設(shè)=x+y,求x,y的值.16.(本小題滿分15分)如圖,在ABC中,D是BC的中點,(1)若=4,=-1,求的值;(2)若P為AD上任一點,且恒成立,求證:2AC=BC.參考答案專題能力訓(xùn)練8平面向量及其綜合應(yīng)用1.A解析 m,n為非零向量,若存在<0,使m=n,即兩向量反向,夾角是180°,則m·n=|m|n|cos 180°=-|m|n|<0.反過來,若m·n<0,則兩向量的夾角為(90°,180°,并不一定反向,即不一定存在負(fù)數(shù),使得m=n.故選A.2.A解析 因為,則,即=2-=2.3.B解析 向量a,b滿足|a|=1,|b|=2,a-b=(),可得|a-b|2=5,即|a|2+|b|2-2a·b=5,解得a·b=0.|a+2b|2=|a|2+4|b|2+4a·b=1+16=17,所以|a+2b|=.故選B.4.A5.D解析 =(·tan B+tan C)=|·|cos (-B)tan B+|·|cos Ctan C=|(-|sin B+|sin C),由正弦定理得|sin C=|sin B,=0.APBC,故動點P一定經(jīng)過ABC的垂心.6.B解析 由知,ABDC為平行四邊形,又A,B,C,D四點共圓,ABDC為矩形,即BC為圓的直徑,當(dāng)AB=AC時,ABC的面積取得最大值×2×4=4.7.D解析 因為AB2與B3C3垂直,設(shè)垂足為C,所以上的投影為AC,mi=|AB2|×|AC|=2×3=18,從而m1+m2+m10的值為18×10=180.8.D解析 建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系,設(shè)P(cos t,sin t),M,N(m,0),則=(m-cos t,- sin t),故=1-,因為0m1,所以=1-1-;又因為1-=1-sin(t+)=1-sin(t+)(tan =2),所以1-=1-sin(t+)1-(當(dāng)且僅當(dāng)sin(t+)=1時取等號).故選D.9.-解析 如下圖,建立平面直角坐標(biāo)系,則E,G,B(1,0),D(0,1),則=(-1,1),則=1×(-1)+×1=-.10.11.解析 a·b=2|a|b|cos =2(為a,b的夾角),|a+tb|=39=a2+t2b2+4t=a2+4t4t8t,t.12.3解析 |=|=1,|=,由tan =7,0,得0<<,sin >0,cos >0,tan =,sin =7cos ,又sin2+cos2=1,得sin =,cos =1,=cos=-,得方程組解得所以m+n=3.13.14解析 由3+4=m,可得,可設(shè),則D,A,C共線,且D在線段AC上,可得,即有D分AC的比為43,即有C到直線AB的距離等于P到直線AB的距離的倍,故SABC=SABP=×8=14.14.6解析 由已知根據(jù)向量數(shù)量積的定義可得=-2,=12,=0,在=+兩邊分別乘,得即所以+=6.15.解 (1)設(shè)CAB=,CAD=,則cos =,cos =,從而可得sin =,sin =,故cosBAD=cos(+)=cos cos -sin sin =.(2)由=x+y,得即解得16.解 (1),E,F為AD的四等分點.以BC為x軸,以D為原點建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)B(-a,0),C(a,0),A(m,n),則E,F,=(m+a,n),=(m-a,n),.=4,=-1,解得m2+n2=,a2=.-a2+(m2+n2)-a2=.(2)P為AD上任一點,設(shè)P(m,n),則=(1-)m,(1-)n), =(a-m,-n),=(1-)m(a-m)-(1-)n2=(1-)·(ma-m2-n2),.恒成立,ma+(m2+n2)0恒成立,即(m2+n2)2-(m2+n2+ma)+(m2+n2)+ma0恒成立,=(m2+n2+ma)2-4(m2+n2)·0,即(m2+n2)2-ma(m2+n2)+m2a20,0,(m2+n2)=ma,即m2-2ma=-n2,AC=a,又BC=2a,2AC=BC.