新編高考數(shù)學復習資料第十四節(jié)導數(shù)在研究函數(shù)中的應用(二)來源:基礎自測1.(2012·合肥質檢)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則不等式(x3)·f(x)<0的解集為()A(1，)B(，3)C(，1)(1，)來源:數(shù)理化網D(，3)(1,1)解析：由不等式(x3)f(x)<0得或觀察圖象可知，x<3或1<x<1.所以不等式的解集為(，3)(1,1)故選D. 答案：D2. 函數(shù)f(x)x33x21在x0處取得極小值，則x0()A0 B2 C2 D3解析：f(x)3x26x3x(x2)，當x0時，f(x)0，當0x2時，f(x)0，當x2時，f(x)0，故當x2時取得極小值故選B.答案：B3(2012·大連雙基測試)函數(shù)f(x)(x22x)ex的最小值為f(x0)，則x0_.解析：f(x)(2x2)ex(x22x)ex(x22)ex，令f(x)0，得x±.當x(，)時，f(x)<0；當x(，)時，f(x)>0.x時，f(x)取得極小值，又f()0，且x時，f(x)0.在x時取得最小值所以當x時，函數(shù)有最小值答案：4(2013·南寧聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)x33axa在(0,1)內有最小值，則a的取值范圍是_解析：f(x)3x23a3(x2a)，顯然a0，f(x)3(x)(x)，由已知條件01，解得0a1.答案：(0,1)來源:1(2012·浙江卷)設a>0，b>0，()A若2a2a2b3b，則a>bB若2a2a2b3b，則a<bC若2a2a2b3b，則a>bD若2a2a2b3b，則a<b解析：對于選項A，若2a2a2b3b，必有2a2a>2b2b.構造函數(shù)：f(x)2x2x，則f(x)2x·ln 22>0恒成立，故有函數(shù)f(x)2x2x在(0，)上單調遞增，即a>b成立其余選項用同樣方法排除故選A.答案：A2(2013·廣東卷)設函數(shù)f(x)(x1)exkx2(其中kR)(1) 當k1時，求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間；(2) 當k時，求函數(shù)f(x)在0，k上的最大值M.解析：(1) 當k1時，f(x)(x1)exx2，f(x)ex(x1)ex2xxex2xx(ex2)，令f(x)0，得x10，x2ln 2，當x變化時，f(x)，f(x)的變化如下表：x(，0)0來源:(0，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)來源:00f(x)極大值極小值上表可知，函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間為(0，ln 2)，遞增區(qū)間為(，0)，(ln 2，)(2)f(x)ex(x1)ex2kxxex2kxx(ex2k)，令f(x)0，得x10，x2ln (2k)，令g(k)ln (2k)k，則g(k)10，所以g(k)在上遞增，所以g(k)ln 21ln 2ln e0，從而ln (2k)k，所以ln (2k)0，k所以當x(0，ln (2k)時，f(x)0；當x(ln (2k)，)時，f(x)0；所以Mmaxf(0)，f(k)max1，(k1)ekk3；令h(k)(k1)ekk31，則h(k)k(ek3k)令(k)ek3k，則(k)ek3e30，所以(k)在上遞減，而 ·(1)·(e3)0，所以存在x0使得(x0)0，且當k時，(k)0，當k(x0,1)時，(k)0，所以(k)在上單調遞增，在(x0,1)上單調遞減因為h0，h(1)0，所以h(k)0在上恒成立，當且僅當k1時取得“”綜上，函數(shù)f(x)在0，k上的最大值M(k1)ekk3.1(2012·廣東金山一中等三?？记皽y試)函數(shù)y在區(qū)間(0,1)上()A是減函數(shù)B是增函數(shù)C有極小值D有極大值解析：f(x)，x(0,1)和x(1，e)時，f(x)<0；xe時，f(x)0；x(e，)時，f(x)>0.在區(qū)間x(0,1)，f(x)是減函數(shù)，xe時有極小值f(e)e.故選A.答案：A2(2013·東莞二模)已知函數(shù)f(x)ax22xln x.(1)若f(x)無極值點，但其導函數(shù)f(x)有零點，求a的值；(2)若f(x)有兩個極值點，求a的取值范圍，并證明f(x)的極小值小于.解析：(1)首先，x0時，f(x)2ax2，f(x)有零點而f(x)無極值點，表明該零點左右f(x)同號，故a0，且2ax22x10的0.由此可得a.(2)由題意，2ax22x10有兩個不同的正根，故0，a0.解得：0a；設2ax22x10的兩根為x1，x2，不妨設x1x2，因為在區(qū)間(0，x1)，(x2，)上，f(x)0，而在區(qū)間(x1，x2)上，f(x)0，故x2是f(x)的極小值點因在區(qū)間(x1，x2)上f(x)是減函數(shù)，如能證明f，則更有f(x2)，由韋達定理，fa22ln ln ·，令t，其中設g(t)ln tt，利用導數(shù)容易證明g(t)當t1時單調遞減，而g(1)0，所以g(t)ln t t0，因此f，從而有f(x)的極小值f(x2).