《高中數(shù)學人教A版選修41教學案：第二講 五 與圓有關的比例線段 Word版含答案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高中數(shù)學人教A版選修41教學案：第二講 五 與圓有關的比例線段 Word版含答案（9頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 五與圓有關的比例線段 [對應學生用書P31] 1．相交弦定理 圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等．如圖，弦AB與CD相交于P點，則PA·PB＝PC·PD. 2．割線有關定理 (1)割線定理： ①文字敘述： 從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等． ②圖形表示： 如圖，⊙O的割線PAB與PCD，則有：PA·PB＝PC·PD. (2)切割線定理： ①文字敘述： 從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項； ②圖形表示： 如圖，⊙O的切線PA，切點為A，割線P

2、BC，則有PA2＝PB·PC. 3．切線長定理 (1)文字敘述： 從圓外一點引圓的兩條切線，它們的長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角． (2)圖形表示： 如圖：⊙O的切線PA，PB，則PA＝PB，∠OPA＝∠OPB. [對應學生用書P32] 相交弦定理 [例1]　如圖，已知在⊙O中，P是弦AB的中點，過點P作半徑OA的垂線分別交⊙O于C、D兩點，垂足是點E. 求證：PC·PD＝AE·AO. [思路點撥]　由相交弦定理知PC·PD＝AP·PB，又P為AB的中點，∴PC·PD＝AP2.在Rt△PAO中再使用射影定理即可． [證明]　連接OP，

3、∵P為AB的中點， ∴OP⊥AB，AP＝PB. ∵PE⊥OA， ∴AP2＝AE·AO. ∵PD·PC＝PA·PB＝AP2， ∴PD·PC＝AE·AO. (1)相交弦定理的運用往往與相似三角形聯(lián)系密切，也經(jīng)常與垂徑定理、射影定理等相結合進行某些計算與證明． (2)由相交弦定理可得推論：垂直于弦的直徑平分這條弦，且弦的一半是直徑被弦分成的兩條線段的比例中項． 1.如圖，已知⊙O的兩條弦AB，CD相交于AB的中點E，且AB＝4，DE＝CE＋3，則CD的長為(　　) A．4　　　　　　　　　 B．5 C．8 D．10 解析：設CE＝x，則DE＝3＋x.根據(jù)相交弦定

4、理，得x(x＋3)＝2×2，x＝1或x＝－4(不合題意，應舍去)． 則CD＝3＋1＋1＝5. 答案：B 2.如圖，已知AB是⊙O的直徑，OM＝ON，P是⊙O上的點，PM、PN的延長線分別交⊙O于Q、R. 求證：PM·MQ＝PN·NR. ?PM·MQ＝PN·NR. 割線定理、切割線定理 [例2]　如圖，AB是⊙O的一條切線，切點為B，ADE，CFD，CGE都是⊙O的割線，已知AC＝AB. 證明：(1)AD·AE＝AC2； (2)FG∥AC. [思路點撥]　(1)利用切割線定理； (2)證△ADC∽△ACE. [證明]　(1)∵AB是⊙O的一條切線， ADE是

5、⊙O的割線， ∴由切割線定理得AD·AE＝AB2. 又AC＝AB，∴AD·AE＝AC2. (2)由(1)得＝， 又∠EAC＝∠DAC，∴△ADC∽△ACE. ∴∠ADC＝∠ACE. 又∠ADC＝∠EGF，∴∠EGF＝∠ACE. ∴FG∥AC. (1)割線定理、切割線定理常常與弦切角定理、相交弦定理、平行線分線段成比例定理、相似三角形知識結合在一起解決數(shù)學問題，有時切割線定理利用方程進行計算、求值等． (2)切割線定理可以看成是割線定理的特殊情況，當兩條割線中的一條變成切線時，即為切割線定理． 3．如圖，AB為圓O的直徑，PA為圓O的切線，PB與圓O相交于D.若P

6、A＝3，PD∶DB＝9∶16，則PD＝________；AB＝________. 解析：∵PD∶DB＝9∶16， 不妨設PD＝9a，DB＝16a(a>0)，∴PB＝25a. 由切割線定理知PA2＝PD·PB， 即9＝9a×25a，∴a＝. ∴PD＝.在直角三角形PAB中，PA＝3， PB＝5，可知AB＝4. 答案：　4 4.如圖，AD為⊙O的直徑，AB為⊙O的切線，割線BMN交AD的延長線于C，且BM＝MN＝NC，若AB＝2.求： (1)BC的長； (2)⊙O的半徑r. 解：(1)不妨設BM＝MN＝NC＝x. 根據(jù)切割線定理，得AB2＝BM·BN，即22＝x(x＋x

7、)， 解得x＝，∴BC＝3x＝3. (2)在Rt△ABC中， AC＝＝， 由割線定理，得 CD·AC＝CN·CM，由(1)可知， CN＝，BC＝3，CM＝BC－BM＝3－＝2，AC＝， ∴CD＝＝， ∴r＝(AC－CD) ＝＝. 切線長定理 [例3]　如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，過點C的切線與過A、B兩點的切線分別交于點E、F，AF與BE交于點P. 求證：∠EPC＝∠EBF. [思路點撥]　→→→→ [證明]　∵EA，EF，F(xiàn)B是⊙O的切線， ∴EA＝EC，F(xiàn)C＝FB. ∵EA，F(xiàn)B切⊙O于A，B，AB是直徑， ∴EA⊥AB，F(xiàn)B⊥AB

8、. ∴EA∥FB.∴＝.∴＝. ∴CP∥FB.∴∠EPC＝∠EBF. 運用切線長定理時，注意分析其中的等量關系，即①切線長相等，②圓外點與圓心的連線平分兩條切線的夾角，然后結合三角形等圖形的有關性質進行計算與證明． 5．兩個等圓⊙O與⊙O′外切，過O作⊙O′的兩條切線OA、OB，A、B是切點，則∠AOB＝(　　) A．90°　　　　　　　　 B．60° C．45° D．30° 解析：如圖，連接OO′，O′A. ∵OA為⊙O′的切線， ∴∠OAO′＝90°. 又∵⊙O與⊙O′為等圓且外切， ∴OO′＝2O′A. ∴sin ∠AOO′＝＝. ∴∠AOO′＝

9、30°. 又由切線長定理知∠AOB＝2∠AOO′＝60°. 答案：B 6.已知：如圖，四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA和⊙O分別相切于L，M，N，P. 求證：AD＋BC＝AB＋CD. 證明：由圓的切線長定理得 CM＝CN，BL＝BM，AP＝AL，DP＝DN， ∵AB＝AL＋LB，BC＝BM＋MC， CD＝CN＋ND，AD＝AP＋PD， ∴AD＋BC＝(AP＋PD)＋(BM＋MC) ＝(AL＋ND)＋(BL＋CN) ＝(AL＋BL)＋(ND＋CN) ＝AB＋CD， 即AD＋BC＝AB＋CD. [對應學生用書P33] 一、選擇題 1．自圓外一點所作過圓心

10、的割線長是12 cm，圓的半徑為4 cm，則過此點所引的切線長為(　　) A．16 cm　　　　　　　　 B．4 cm C．4 cm D．以上答案都不對 解析：設切線長為x cm，由切割線定理得x2＝(12－2×4)×12，故x＝4. 答案：B 2．點C在⊙O的弦AB上，P為⊙O上一點，且OC⊥CP，則(　　) A．OC2＝CA·CB B．OC2＝PA·PB C．PC2＝PA·PB D．PC2＝CA·CB 解析：根據(jù)OC⊥CP，可知C為過PC點弦的中點，再由相交弦定理即有PC2＝CA·CB. 答案：D 3．如圖，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，以BD為直徑的

11、圓與BC交于點E，則(　　) A．CE·CB＝AD·DB B．CE·CB＝AD·AB C．AD·AB＝CD2 D．CE·EB＝CD2 解析：在直角三角形ABC中，根據(jù)直角三角形射影定理可得CD2＝AD·DB，再根據(jù)切割線定理可得CD2＝CE·CB，所以CE·CB＝AD·DB. 答案：A 4.已知PT切⊙O于點T，TC是⊙O的直徑，割線PBA交TC于點D，交⊙O于B、A(B在PD上)，DA＝3，DB＝4，DC＝2，則PB等于(　　) A．20 B．10 C．5 D．8 解析：∵DA＝3，DB＝4，DC＝2， ∴由相交弦定理得DB·DA＝DC·DT， 即DT＝＝

12、＝6； 因為TC為⊙O的直徑，所以PT⊥DT. 設PB＝x， 則在Rt△PDT中， PT2＝PD2－DT2＝(4＋x)2－36. 由切割線定理得PT2＝PB·PA＝x(x＋7)， 所以(4＋x)2－36＝x(x＋7)， 解得x＝20，即PB＝20. 答案：A 二、填空題 5．AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為M，AM＝4，BM＝9，則弦CD的長為________． 解析：根據(jù)相交弦定理，AM·BM＝()2， 所以＝6，CD＝12. 答案： 12 6.如圖所示，直線PB與圓O相切于點B，D是弦AC上的點，∠PBA＝∠DBA.若AD＝m，AC＝n，則AB＝_____

13、___. 解析：因為直線PB是圓的切線，所以∠ABP＝∠C，又因為∠ABP＝∠ABD，所以∠ABD＝∠C，又因為∠A＝∠A，所以△ABD∽△ACB，所以＝，所以AB＝＝. 答案： 7.如圖，PA，PB分別為⊙O的切線，切點分別為A，B，PA＝7，在劣弧上任取一點C，過C作⊙O的切線，分別交PA，PB于D，E，則△PDE的周長是________． 解析：由切線長定理知， PB＝PA＝7，且DA＝DC，EC＝EB， 所以△PDE的周長為PD＋PE＋DE＝PD＋DC＋CE＋PE＝PA＋PB＝14. 答案：14 三、解答題 8.如圖，AB是圓O的直徑，弦CD⊥AB，垂足是G，F(xiàn)是CG的

14、中點，延長AF交⊙O于E，CF＝2，AF＝3，求EF的長． 解：因為CD⊥AB于G，F(xiàn)為CG的中點，所以G為CD的中點，即CD＝8，F(xiàn)D＝6. 又因為AF·FE＝CF·FD，即3×EF＝2×6， 所以EF＝4. 9.已知：如圖，PA、PB、DE分別切⊙O于A、B、C三點，PO＝13 cm，⊙O半徑r＝5 cm，求△PDE的周長． 解：∵PA、PB、DE分別切⊙O于A、B、C三點， ∴DA＝DC，EB＝EC. ∴△PDE的周長為PA＋PB＝2PA. 連接OA，則OA⊥PA. ∴PA＝＝＝12 cm. ∴△PDE的周長為24 cm. 10．如圖，已知⊙O1和⊙O2相交于點A，

15、B，過點A作⊙O1的切線交⊙O2于點C，過點B作兩圓的割線，分別交⊙O1，⊙O2于點D，E，DE與AC相交于點P. (1)求證：AD∥EC； (2)若AD是⊙O2的切線，且PA＝6，PC＝2，BD＝9，求AD的長． 解：(1)證明：連接AB. ∵AC為⊙O1的切線， ∴∠BAC＝∠D. 又∵∠BAC＝∠E，∴∠D＝∠E. ∴AD∥EC. (2)設PB＝x，PE＝y(tǒng)， 由相交弦定理，得PB·PE＝PA·PC， 則x·y＝6×2，∴xy＝12.① ∵AD∥EC，∴＝， 即＝.∴9＋x＝3y.② 由①②解得或(舍去)． ∴DE＝9＋3＋4＝16. ∵AD為⊙O2的切線， ∴由切割線定理，得AD2＝DB·DE＝9×16. ∴AD＝12. 最新精品資料