一、填空題1已知向量m、n分別是直線l和平面的方向向量和法向量，若cosm，n，則l與所成的角為_解析：由于cosm，n，所以m，n120°，所以直線l與所成的角為30°.答案：30°2若a(1，2)，b(2，1,1)，a與b的夾角為60°，則_.解析：由cos 60°，解得17或1.答案：17或13點(diǎn)A(n，n1,2n)，B(1，n，n)，則|的最小值是_解析：|2 (1n)2(2n1)2(n)26(n)2，當(dāng)n時(shí)，|的最小值為.答案：4.如圖所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB2，E為PB的中點(diǎn)，cos，若以DA，DC，DP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為_解析：設(shè)PDa(a>0)，則A(2,0,0)，B(2,2,0)，P(0,0，a)，E(1,1，)，(0,0，a)，(1,1，)，由cos，a ·，a2.E的坐標(biāo)為(1,1,1)答案：(1,1,1)5直三棱柱ABC­A1B1C1中，ACB90°，BAC30°，BC1，AA1，M是CC1的中點(diǎn)，則異面直線AB1與A1M所成的角為_解析：建立坐標(biāo)系如圖所示，易得M(0,0，)，A1(0，0)，A(0，)，B1(1,0,0)，(1，)，(0，)·1×030，.即AB1A1M，即AB1與1M所成的角為90°.答案：90°6長(zhǎng)方體ABCD­A1B1C1D1中，ABAA12，AD1，E為CC1的中點(diǎn)，則異面直線BC1與AE所成角的余弦值為_解析：建立坐標(biāo)系如圖，則A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)，(1,0,2)，(1,2,1)，cos ，.答案：7正三棱錐的一個(gè)側(cè)面的面積與底面積之比為23，則這個(gè)三棱錐的側(cè)面和底面所成二面角的度數(shù)為_解析：設(shè)一個(gè)側(cè)面面積為S1，底面面積為S，則這個(gè)側(cè)面在底面上射影的面積為，由題設(shè)得，設(shè)側(cè)面與底面所成二面角為，則cos ，60°.答案：60°8P是二面角­AB­棱上的一點(diǎn)，分別在、平面上引射線PM、PN，如果BPMBPN45°，MPN60°，那么二面角­AB­的大小為_解析：不妨設(shè)PMa，PNb，如圖，作MEAB于E，NFAB于F，EPMFPN45°，PEa，PFb，·()·()····abcos 60°a×bcos 45°abcos 45°a×b0，二面角­AB­的大小為90°.答案：90°9正四棱錐S­ABCD中，O為頂點(diǎn)在底面上的射影，P為側(cè)棱SD的中點(diǎn)，且SOOD，則直線BC與平面PAC所成的角是_解析：如圖所示，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O­xyz.設(shè)ODSOOAOBOCa，則A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(a,0,0)，P(0，)則(2a,0,0)，(a，)，(a，a,0)設(shè)平面PAC的法向量為n，可求得n(0,1,1)，則cos ，n.，n60°，直線BC與平面PAC所成的角為90°60°30°.答案：30°二、解答題10如圖，已知正三棱柱ABC­A1B1C1各棱長(zhǎng)都是4，E是BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)F在側(cè)棱CC1上，且不與點(diǎn)C重合(1)當(dāng)CF1時(shí)，求證：EFA1C；(2)設(shè)二面角C­AF­E的大小為，求tan 的最小值解析：(1)證明：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則由已知可得A(0，0,0)，B(2，2,0)，C(0,4,0)，A1(0,0,4)，E(，3,0)，F(xiàn)(0，4,1)于是1(0，4,4)，(，1,1)則1·(0，4,4)·(，1,1)0440，故EFA1C.(2)設(shè)CF(0<4)，平面AEF的一個(gè)法向量為m(x，y，z)，則由(1)得F(0,4，)(，3,0)，(0,4，)，于是由m，m可得即取m(，4)又由直三棱柱的性質(zhì)可取側(cè)面AC1的一個(gè)法向量為n(1,0,0)，于是由為銳角可得cos ，sin ，所以tan .由0<4，得，即tan .故當(dāng)4，即點(diǎn)F與點(diǎn)C1重合時(shí)，tan 取得最小值.11如圖，矩形ABCD和直角梯形BEFC所在平面互相垂直，BCF90°，BECF，CEEF，AD，EF2.(1)求異面直線AD與EF所成的角；(2)當(dāng)AB的長(zhǎng)為何值時(shí)，二面角A­EF­C的大小為45°？解析：如圖，以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以CB，CF和CD作為x軸，y軸和z軸建立空間直角坐標(biāo)系C­xyz.設(shè)ABa，BEb，CFc(b<c)，則C(0,0,0)，A(，0，a)，B(，0,0)，E(，b,0)，F(xiàn)(0，c,0)，D(0,0，a)，(1)(，0,0)，(，0,0)，(，bc,0)，由|2，得3(bc)24，bc1.所以(，1,0)所以cos，所以異面直線AD與EF所成的角為30°.(2)設(shè)n(1，y，z)為平面AEF的法向量，則n·0，n·0，結(jié)合|2|2|2|2，解得n(1，)又因?yàn)锽A平面BEFC，(0,0，a)，所以|cosn，|，得到a.所以當(dāng)AB為時(shí)，二面角A­EF­C的大小為45°.12如圖，棱柱ABCD­A1B1C1D1的所有棱長(zhǎng)都等于2，ABC60°，平面AA1C1C平面ABCD，A1AC60°.(1)證明：BDAA1；(2)求二面角D­A1A­C的平面角的余弦值；(3)在直線CC1上是否存在點(diǎn)P，使BP平面DA1C1？若存在，求出點(diǎn)P的位置；若不存在，說(shuō)明理由解析：連結(jié)BD交AC于O，則BDAC，連結(jié)A1O.在AA1O中，AA12，AO1，A1AO60°，A1O2AAAO22AA1·AOcos 60°3，AO2A1O2A1A2，A1OAO，由于平面AA1C1C平面ABCD，A1O底面ABCD，以O(shè)B、OC、OA1所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則A(0，1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，D(，0,0)，A1(0,0，)(1)證明：由于(2，0,0)，(0,1，)，則·0×(2)1×0×00，BDAA1.(2)由于OB平面AA1C1C，平面AA1C1C的法向量n1(1,0,0)，設(shè)n2平面AA1D，則設(shè)n2(x，y，z)，得到取n2(1，1)，cos n1，n2，二面角D­A1A­C的平面角的余弦值是.(3)假設(shè)在直線CC1上存在點(diǎn)P，使BP平面DA1C1，設(shè)，P(x，y，z)，則(x，y1，z)(0,1，)，得P(0,1，)，(，1，)設(shè)n3平面DA1C1，則設(shè)n3(x3，y3，z3)，得到不妨取n3(1,0，1)又平面DA1C1，則n3·0，即0，得1，即點(diǎn)P在C1C的延長(zhǎng)線上且使C1CCP.