第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論強(qiáng)度理論低碳鋼低碳鋼 塑性材料拉伸時(shí)為什么會(huì)出現(xiàn)滑移線？塑性材料拉伸時(shí)為什么會(huì)出現(xiàn)滑移線？鑄鑄 鐵鐵1 1、問(wèn)題的提出、問(wèn)題的提出7-1 應(yīng)力狀態(tài)的概念應(yīng)力狀態(tài)的概念脆性材料扭轉(zhuǎn)時(shí)為什么沿脆性材料扭轉(zhuǎn)時(shí)為什么沿4545螺旋面斷開(kāi)？螺旋面斷開(kāi)？低碳鋼低碳鋼鑄鑄 鐵鐵7-1 應(yīng)力狀態(tài)的概念應(yīng)力狀態(tài)的概念 PPmmnnPnnkANmmPpkcoscos/ANANp2coscos p2sin2cossinsin p1.一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)7-1 應(yīng)力狀態(tài)的概念應(yīng)力狀態(tài)的概念 zx2 2、原始單元體（已知單元體）、原始單元體（已知單元體）例例1 1 畫(huà)出下列圖中的A、B、C點(diǎn)的已知單元體。 PPAA x xMPxyzBC x xB xzC xy yx3.3.主單元體、主面、主應(yīng)力主單元體、主面、主應(yīng)力主單元體(Principal bidy)： 各側(cè)面上剪應(yīng)力均為零的單元體。主面(Principal Plane)： 剪應(yīng)力為零的截面。主應(yīng)力(Principal Stress ）： 主面上的正應(yīng)力。主應(yīng)力排列規(guī)定：按代數(shù)值大小，321 1 1 2 2 3 3xzxyz x z y xy單向應(yīng)力狀態(tài)（Unidirectional State of Stress）： 一個(gè)主應(yīng)力不為零的應(yīng)力狀態(tài)。 二向應(yīng)力狀態(tài)（Plane State of Stress）： 一個(gè)主應(yīng)力為零的應(yīng)力狀態(tài)。三向應(yīng)力狀態(tài)（ ThreeDimensional State of Stress）： 三個(gè)主應(yīng)力都不為零的應(yīng)力狀態(tài)。BxxxAPl 滾珠軸承滾珠軸承7-2 應(yīng)力狀態(tài)實(shí)例應(yīng)力狀態(tài)實(shí)例F laS1p pW WT Tz zz zW WM M3p pW WT Tz zz zW WM MzMzT4321yxM FlT Fa7-2 應(yīng)力狀態(tài)實(shí)例應(yīng)力狀態(tài)實(shí)例l 承受內(nèi)壓薄壁容器的應(yīng)力狀態(tài)承受內(nèi)壓薄壁容器的應(yīng)力狀態(tài)7-2 應(yīng)力狀態(tài)實(shí)例應(yīng)力狀態(tài)實(shí)例42mDpD4mpD0 xFlpDl2t2tpD0yFptt t (2 l )ppDl4xpDlt x 2tpD 為測(cè)量容器所承受的內(nèi)壓力值，在容器表面用電阻應(yīng)變片測(cè)得環(huán)向應(yīng)變。若已知容器平均直徑D500 mm，壁厚10 mm，容器材料的E210 GPa，0.25。容器所受的內(nèi)壓力。容器表面各點(diǎn)均承受二向拉伸應(yīng)力狀態(tài)。所測(cè)得的環(huán)向應(yīng)變不僅與環(huán)向應(yīng)力有關(guān)，而且與縱向應(yīng)力有關(guān)。根據(jù)廣義胡克定律，EEmtt4mpD2tpD936t322 210 1010 10350 10Pa3 36MPa1 0 5500 101 0 5 0 25.EpD等價(jià)等價(jià) x xy yxyzxy x xy yO73 73 平面應(yīng)力狀態(tài)分析平面應(yīng)力狀態(tài)分析- -解析解析法法一、斜截面上的應(yīng)力一、斜截面上的應(yīng)力xxxyyntxxyyyyxxyA; 0nF; 0cossinsinsinsincoscoscosAAAAAyyxx2sinsincos22xyx73 73 平面應(yīng)力狀態(tài)分析平面應(yīng)力狀態(tài)分析- -解析解析法法2sin22cos122cos1xyx2sin2cos22xyxyx同理，由同理，由 得：得：0tF2cos2sin2xyx任意斜截面的正應(yīng)力和剪應(yīng)力為任意斜截面的正應(yīng)力和剪應(yīng)力為2cos2sin22sin2cos22xyxxyxyx二、主平面的方位二、主平面的方位 設(shè)主平面的方位角為設(shè)主平面的方位角為 0，有有02cos2sin2000 xyxyxxtg220三、主應(yīng)力三、主應(yīng)力 將主平面的方位角為將主平面的方位角為 0代入斜截面正應(yīng)力公式，得代入斜截面正應(yīng)力公式，得2222xyxyx四、最大剪應(yīng)力四、最大剪應(yīng)力231max解題注意事項(xiàng)：解題注意事項(xiàng)： 上述公式中各項(xiàng)均為代數(shù)量，應(yīng)用公式解題時(shí)，首先上述公式中各項(xiàng)均為代數(shù)量，應(yīng)用公式解題時(shí)，首先應(yīng)寫(xiě)清已知條件。應(yīng)寫(xiě)清已知條件。 x、 y 以拉為正，以壓為負(fù)；以拉為正，以壓為負(fù)； x 沿單元體順時(shí)針轉(zhuǎn)為正，逆時(shí)針轉(zhuǎn)為負(fù)；沿單元體順時(shí)針轉(zhuǎn)為正，逆時(shí)針轉(zhuǎn)為負(fù)； 為斜截面的外法線與為斜截面的外法線與x 軸正向間夾角，逆時(shí)針轉(zhuǎn)為軸正向間夾角，逆時(shí)針轉(zhuǎn)為正，順時(shí)針轉(zhuǎn)為負(fù)。正，順時(shí)針轉(zhuǎn)為負(fù)。 求得主應(yīng)力求得主應(yīng)力 、 與與0排序，確定排序，確定 1、 2、 3的值。的值。 0為為主應(yīng)力主應(yīng)力 所在截面的外法線與所在截面的外法線與x 軸正向間夾角，軸正向間夾角，逆時(shí)針轉(zhuǎn)為正，順時(shí)針轉(zhuǎn)為負(fù)。逆時(shí)針轉(zhuǎn)為正，順時(shí)針轉(zhuǎn)為負(fù)。yxxtg220 在主值區(qū)間，在主值區(qū)間，2 0有兩個(gè)解，與此對(duì)應(yīng)的有兩個(gè)解，與此對(duì)應(yīng)的 0也有兩個(gè)解，也有兩個(gè)解，其中落在剪應(yīng)力箭頭所指象限內(nèi)的解為真解，另一解舍掉。其中落在剪應(yīng)力箭頭所指象限內(nèi)的解為真解，另一解舍掉。例例3求圖示單元體求圖示單元體ab 斜截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力。斜截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力。60abMPa50MPa40MPa20解：解：已知已知,MPa50 x,MPa20 xxn30,MPa40yMPa2 .10)60sin()20()60cos(2)40(502)40(5030MPa49)60cos()20()60sin(2)40(5030練習(xí)練習(xí)1求圖示單元體求圖示單元體ab 斜截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力。斜截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力。nMPa80MPa4030解：解：已知已知,MPa80 x,MPa40 x 60, 0yMPa64.54120sin40120cos2080208060MPa64.54120cos40120sin208060例例4求圖示單元體的主應(yīng)力、最大剪應(yīng)力、并在單元體上標(biāo)求圖示單元體的主應(yīng)力、最大剪應(yīng)力、并在單元體上標(biāo)出主應(yīng)力的方位。出主應(yīng)力的方位。MPa50MPa40MPa20解：解：已知已知,MPa50 x,MPa20 x,MPa40y2 .495)20()24050(2405022MPa2 .44, 0,MPa2 .54321MPa2 .49)2 .44(2 .54(21maxMPa50MPa40MPa2094)40(50)20(220tg96.20396.232098.10198.110此解在第一象限，為本題解；此解在第一象限，為本題解；此解在第二象限，不是本題解，舍掉。此解在第二象限，不是本題解，舍掉。11330=11.98練習(xí)練習(xí)2求圖示單元體的主應(yīng)力、最大剪應(yīng)力、并在單元體上求圖示單元體的主應(yīng)力、最大剪應(yīng)力、并在單元體上標(biāo)出主應(yīng)力的方位。標(biāo)出主應(yīng)力的方位。57.564040)2080(208022MPa57.96, 0,MPa57.16321MPa57.56)57.96(57.16(21maxMPa80MPa40解：解：已知已知,MPa80 x,MPa40 x, 0yMPa80MPa40108040220tg22545205 .675 .1125 .220此解在第二、四象限，為本題解。此解在第二、四象限，為本題解。此解在第一象限，不是本題解，舍掉；此解在第一象限，不是本題解，舍掉；33110=67.5練習(xí)練習(xí)3求圖示單元體的主應(yīng)力、最大剪應(yīng)力、并在單元體上求圖示單元體的主應(yīng)力、最大剪應(yīng)力、并在單元體上標(biāo)出主應(yīng)力的方位。標(biāo)出主應(yīng)力的方位。MPa50MPa30MPa30解：解：已知已知,MPa50 x,MPa30 x,MPa30y5010)30()23050(2305022MPa40, 0,MPa60321MPa50)40(60(21maxMPa50MPa30MPa3043)30(50)30(220tg87.21687.362043.10843.180此解在第一象限，為本題解；此解在第一象限，為本題解；此解在第二象限，不是本題解，舍掉。此解在第二象限，不是本題解，舍掉。11330=18.4374 平面應(yīng)力狀態(tài)分析-圖解法2cos2sin22sin2cos22xyxxyxyx 由解析法知，任意斜截面的應(yīng)力為由解析法知，任意斜截面的應(yīng)力為 將第一式移項(xiàng)后兩邊平方與第二式兩邊平方相加將第一式移項(xiàng)后兩邊平方與第二式兩邊平方相加22)2sin2cos2()2(xyxyx22)2cos2sin2(xyx得：得：2222)2()2(xyxyx 取橫軸為斜截面的正應(yīng)力，縱軸為斜截面的剪應(yīng)力，則取橫軸為斜截面的正應(yīng)力，縱軸為斜截面的剪應(yīng)力，則上式為一圓方程。上式為一圓方程。xxxyyntyo2/ )(yxCr圓心坐標(biāo)為圓心坐標(biāo)為);0 ,2(yx半徑為半徑為22)2(xyxrxxxyyntyoC 圓上各點(diǎn)與單元體各斜截面一一對(duì)應(yīng)，各點(diǎn)的橫坐標(biāo)與圓上各點(diǎn)與單元體各斜截面一一對(duì)應(yīng)，各點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)與各斜截面的正應(yīng)力與剪應(yīng)力一一對(duì)應(yīng)。因此，該圓縱坐標(biāo)與各斜截面的正應(yīng)力與剪應(yīng)力一一對(duì)應(yīng)。因此，該圓稱(chēng)為稱(chēng)為。 圓上圓上D1點(diǎn)代表點(diǎn)代表x 截面；截面； D1xxy-xD2D2點(diǎn)代表點(diǎn)代表y 截面；截面； EE點(diǎn)代表方位為點(diǎn)代表方位為 角的斜截面；角的斜截面； A1、 A2 點(diǎn)代表兩個(gè)主平面。點(diǎn)代表兩個(gè)主平面。 212A1A2xxxyyyoCD1xxy-xD2B1B2應(yīng)力圓的畫(huà)法步驟應(yīng)力圓的畫(huà)法步驟: 作橫軸為作橫軸為 軸，縱軸，縱軸為軸為 軸；軸； 在橫軸上取在橫軸上取OB1= x ， 過(guò)過(guò)B1引垂線引垂線B1D1= x ； 在橫軸上取在橫軸上取OB2= y， 過(guò)過(guò)B2引垂線引垂線B2D2=- x ； 連接連接D1D2交橫軸于交橫軸于C ， 以以C為圓心為圓心，CD1為半徑作圓，此圓即為為半徑作圓，此圓即為應(yīng)力圓。應(yīng)力圓?！咀C明【證明】2sin2cos22 2sin2sin2cos2cos 2sin2sin2cos2cos )2cos(2 )22(180cos01010000 xyxyxCDCDOCCECEOCCEOCCEOCCFOCOFxxxyyntyoCD1xxy-xD2E212A1A2F20同理同理2cos2sin2xyxEFxxxyyyoCD1xxy-xD2B1B222minmax22xyxyxyxxCBDB2)2tan(1110例例5試用圖解法求圖示單元體的主應(yīng)力、最大剪應(yīng)力、并在試用圖解法求圖示單元體的主應(yīng)力、最大剪應(yīng)力、并在單元體上標(biāo)出主應(yīng)力的方位。單元體上標(biāo)出主應(yīng)力的方位。MPa50MPa30MPa30解：解：已知已知,MPa50 x,MPa30 x,MPa30yo1B2B1D2DC50303030,501OB;3011DB,302OB;3022DB取取: 連接連接D1D2交橫軸于交橫軸于C ，以，以C為圓心，為圓心，CD1為半徑作圓。為半徑作圓。o1B2B1D2DC503030301A2A13,10OC503040)()(2221121DBCBr,MPa6050101rOC,MPa4050103rOC, 0202,75. 0403021110CBDBtg,87.3620,43.180MPa50MPa30MPa3011330=18.43MPa50)4060(21)(2131maxMPa20例例6試用圖解法求圖示單元體的主應(yīng)力、最大剪應(yīng)力、并在試用圖解法求圖示單元體的主應(yīng)力、最大剪應(yīng)力、并在單元體上標(biāo)出主應(yīng)力的方位。單元體上標(biāo)出主應(yīng)力的方位。解：解：已知已知, 0 x,MPa20 x, 0y, 01OB;2011DB, 02OB;2022DB取取: 連接連接D1D2交橫軸于交橫軸于C ，以，以C為圓心，為圓心，CD1為半徑作圓。為半徑作圓。o1B2BC1D2D2020MPa20o1B2BC1D2D1A2A132020, 0OC20r,MPa201 r,MPa203r, 02MPa20)2020(21)(2131max,9020 4500=45201133練習(xí)練習(xí)4試用圖解法求圖示單元體的主應(yīng)力、最大剪應(yīng)力、并試用圖解法求圖示單元體的主應(yīng)力、最大剪應(yīng)力、并在單元體上標(biāo)出主應(yīng)力的方位。在單元體上標(biāo)出主應(yīng)力的方位。MPa100MPa50解：解：已知已知,MPa100 x,MPa50 x, 0y,1001OB;5011DB, 02OB;5022DB取取: 連接連接D1D2交橫軸于交橫軸于C ，以，以C為圓心，為圓心，CD1為半徑作圓。為半徑作圓。COB1D1D2B21005050COB1D1D2B2100505013A1A2,50OC7 .70505022r,MPa7 .1207 .70501rOC,MPa7 .207 .70503rOC, 02MPa7 .70)7 .207 .120(21)(2131max, 1505021110CBDBtg,4520,5 .22020MPa100MPa5011330=22.5例例7已知一點(diǎn)處兩個(gè)斜截面上的應(yīng)力如圖所示，試用圖解法已知一點(diǎn)處兩個(gè)斜截面上的應(yīng)力如圖所示，試用圖解法求求 角、該點(diǎn)角、該點(diǎn)的主應(yīng)力、主平面，并在圖上畫(huà)出主應(yīng)力和主的主應(yīng)力、主平面，并在圖上畫(huà)出主應(yīng)力和主平面的方位。平面的方位。95MPa45MPaMPa325MPa3252oaabbC954532570245abOC5025)325(22 Car95MPa45MPaMPa325MPa3252oaabbC954532570245abOC5025)325(22 Car, 5 . 0sin,30,15018012A1A2MPa12050701rOCMPa2050702rOC 1 22a2bab 30a 30b梁的主應(yīng)力及主應(yīng)力跡線梁的主應(yīng)力及主應(yīng)力跡線124512345mm1531111333322322142124212234 梁的各點(diǎn)皆處于平面應(yīng)力狀態(tài)，各點(diǎn)的主應(yīng)力為拉主應(yīng)梁的各點(diǎn)皆處于平面應(yīng)力狀態(tài)，各點(diǎn)的主應(yīng)力為拉主應(yīng)力力 1和壓和壓主應(yīng)力主應(yīng)力 3。各點(diǎn)的拉主應(yīng)力各點(diǎn)的拉主應(yīng)力和壓和壓主應(yīng)力的走向形成主應(yīng)力的走向形成兩組互相正交的曲線族，此兩組互相正交的曲線稱(chēng)為兩組互相正交的曲線族，此兩組互相正交的曲線稱(chēng)為。過(guò)一點(diǎn)沿兩組主應(yīng)力跡線的切線則表示該點(diǎn)兩個(gè)。過(guò)一點(diǎn)沿兩組主應(yīng)力跡線的切線則表示該點(diǎn)兩個(gè)主應(yīng)力的方向。主應(yīng)力的方向。x11截面截面22截面截面33截面截面44截面截面ii截面截面nn截面截面bacd主應(yīng)力跡線的畫(huà)法：主應(yīng)力跡線的畫(huà)法：拉力壓力 1 3 1 3 圖示為懸臂梁的主應(yīng)圖示為懸臂梁的主應(yīng)力跡線力跡線實(shí)線表示拉主應(yīng)力跡線；實(shí)線表示拉主應(yīng)力跡線；虛線表示壓主應(yīng)力跡線。虛線表示壓主應(yīng)力跡線。q 1 3 3 1 圖示混凝土梁圖示混凝土梁自重下的主應(yīng)力跡自重下的主應(yīng)力跡線。線。 混凝土屬脆性混凝土屬脆性材料，抗壓不抗拉。材料，抗壓不抗拉。沿拉主應(yīng)力跡線方沿拉主應(yīng)力跡線方向鋪設(shè)鋼筋，可增向鋪設(shè)鋼筋，可增強(qiáng)混凝土梁的抗拉強(qiáng)混凝土梁的抗拉強(qiáng)度。強(qiáng)度。75 75 三向應(yīng)力狀態(tài)簡(jiǎn)介三向應(yīng)力狀態(tài)簡(jiǎn)介 1 2xyz 31231、空間應(yīng)力狀態(tài)、空間應(yīng)力狀態(tài)1232、三向應(yīng)力圓、三向應(yīng)力圓 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3123 max min231max3、最大剪應(yīng)力、最大剪應(yīng)力 1 2 3 最大剪應(yīng)力所在的截面與最大剪應(yīng)力所在的截面與 2平行，與第一、第三主平面平行，與第一、第三主平面成成45角。角。例例 求圖示單元體的主應(yīng)力和最大剪應(yīng)力。（MPa）解：由單元體圖知：y z面為主面501建立應(yīng)力坐標(biāo)系如圖，畫(huà)應(yīng)力圓和點(diǎn)1,得:27505832144max5040 xyz3010 (M Pa) （M Pa ） ABCAB 1 2 3 maxPP EE11221122=+1221E11112E221EE22)(121111E)(112222E一、平面應(yīng)力狀態(tài)的廣義虎克定律一、平面應(yīng)力狀態(tài)的廣義虎克定律)(1)(1112211EExxyyx 正應(yīng)變只跟正應(yīng)力有關(guān)，與剪正應(yīng)變只跟正應(yīng)力有關(guān)，與剪應(yīng)力無(wú)關(guān)；剪應(yīng)變只跟剪應(yīng)力有關(guān)，應(yīng)力無(wú)關(guān)；剪應(yīng)變只跟剪應(yīng)力有關(guān)，與正應(yīng)力無(wú)關(guān)；與正應(yīng)力無(wú)關(guān)；xxyyyxxGEE1)(1)(1二、三向應(yīng)力狀態(tài)的廣義虎克定律二、三向應(yīng)力狀態(tài)的廣義虎克定律123xyzxyxzxyzyxyzzxzy)(1)(1)(1213313223211EEE)(1)(1)(1yxzzxzyyzyxxEEE例例8邊長(zhǎng)為邊長(zhǎng)為a 的一立方鋼塊正好置于剛性槽中，鋼塊的彈性的一立方鋼塊正好置于剛性槽中，鋼塊的彈性模量為模量為E 、泊桑比為、泊桑比為 ，頂面受鉛直壓力，頂面受鉛直壓力F 作用，求鋼塊的作用，求鋼塊的應(yīng)力應(yīng)力 x 、 y 、 z 和應(yīng)變和應(yīng)變 x 、 y 、 z 。Fxyz x y z解：解： 由已知可直接求得：由已知可直接求得：, 0z, 0 x,2aFAFNyFxyz x y z,2aFyx)0(10yxE)0(1xyyE)(01yxzE,)1 (1222EaFEyyy2)1 ()(EaFEyyz例例9已知已知E=10GPa、 =0.2，求圖示梁求圖示梁nn 截面上截面上 k 點(diǎn)沿點(diǎn)沿30方向的線應(yīng)變方向的線應(yīng)變 30。nnk1m 1m2mAB2001507575kkN12F30kN.m6nMkN6nSFMPa130206000341223hbhMyIMnkznbhFbbhhbhFbISFSnSnzzSn89)8/3()4/(123*nnk1m 1m2mAB2001507575kkN12F30kN.m6nMMPa130206000341223hbhMyIMnkznMPa1125. 030020086000989bhFSnkN6nSFnnk1m 1m2mAB2001507575kkN12F30MPa1125. 0, 0,MPa1xyx 30 -6030-60MPa847. 0234260sin60cos2230 xxxMPa153. 02342)120sin()120cos(2260 xxxnnk1m 1m2mAB2001507575kkN12F30 30 -6030-60,MPa847. 030MPa153. 060536030301016. 81010)153. 0(2 . 0847. 0)(1E例例10受扭圓軸如圖所示，受扭圓軸如圖所示，已知已知m 、 d 、 E、 ，求，求圓軸外表圓軸外表面面沿沿ab 方向的應(yīng)變方向的應(yīng)變 ab 。ABm m dab45 316dmWTn解：解：xyx, 0ABm m dab45 ,163dmWTnxyx, 0 45 -4590sin45x)90sin(45x34545)1 (161)(1)(1EdmEEEab7979復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度度一、體積應(yīng)變一、體積應(yīng)變dxdydzdx+dxdy+dydz+dzdxdydzV 0)()(1dzdzdydydxdxV)1)(1)(1 (dzdzdydydxdxdxdydz)1)(1)(1 (321 dxdydzdxdydzV 0)1)(1)(1 (3211 dxdydzV略去高階微量，得略去高階微量，得)1 (32101VV單元體的單元體的321001VVVV)(1)(1)(1213313223211EEE代入式代入式得：得：)(21321EV 純剪應(yīng)力狀態(tài)：純剪應(yīng)力狀態(tài)：321, 0, 可見(jiàn)剪應(yīng)力并不引起體積應(yīng)變，對(duì)于非主應(yīng)力單元體，可見(jiàn)剪應(yīng)力并不引起體積應(yīng)變，對(duì)于非主應(yīng)力單元體，其體積應(yīng)變可改寫(xiě)為其體積應(yīng)變可改寫(xiě)為0V)(21zyxVE 體積應(yīng)變只與三個(gè)主應(yīng)力（正應(yīng)力）之和有關(guān)，而與其體積應(yīng)變只與三個(gè)主應(yīng)力（正應(yīng)力）之和有關(guān)，而與其比例無(wú)關(guān)。比例無(wú)關(guān)。令令)(31321m)21 ( 3EKKmV m稱(chēng)為稱(chēng)為，K 稱(chēng)為稱(chēng)為。二、比能二、比能 單位體積的變形能稱(chēng)為單位體積的變形能稱(chēng)為，簡(jiǎn)稱(chēng)，簡(jiǎn)稱(chēng)。 單向拉壓比能單向拉壓比能dxdzdy dxdydzlddNdU21)(21d(l)dxdzdy 2121dxdydzdxdydzdVdUu 純剪切比能純剪切比能dxdydz )(21)(21dydzdxdxdydzdU21dxdydzdUdVdUu 復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的比能復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的比能)(21332211u)(221133221232221E 體積改變比能與形狀改變比能體積改變比能與形狀改變比能 1 2 3 m m 1- m m 2- m 3- m=+u=uV+uf 狀態(tài)狀態(tài)1受平均正應(yīng)力受平均正應(yīng)力 m作用，因各向均勻受力，故只有作用，因各向均勻受力，故只有體積改變，而無(wú)形狀改變，相應(yīng)的比能稱(chēng)為體積改變，而無(wú)形狀改變，相應(yīng)的比能稱(chēng)為。 狀態(tài)狀態(tài)2的的體積應(yīng)變：體積應(yīng)變：0)()()(21)(3212mmmVE 狀態(tài)狀態(tài)2無(wú)無(wú)體積改變，只有形狀改變，相應(yīng)的比能稱(chēng)為體積改變，只有形狀改變，相應(yīng)的比能稱(chēng)為。 1 2 3 m m 1- m m 2- m 3- m=+u=uV+uf2321222)(6213221)323(21EEEummmV2321133221232221)(621)(221EEuuuVf)()()(61213232221Euf例例11邊長(zhǎng)為邊長(zhǎng)為a 的一立方鋼塊正好置于剛性槽中，鋼塊的彈性的一立方鋼塊正好置于剛性槽中，鋼塊的彈性模量為模量為E 、泊桑比為、泊桑比為 ，頂面受鉛直壓力，頂面受鉛直壓力P 作用，求鋼塊的體作用，求鋼塊的體積積應(yīng)變應(yīng)變 V 和形狀改變比能和形狀改變比能uf 。Pxyz x y z解：解： 由已知可直接求得：由已知可直接求得：,2aPAFNy, 0z, 0 x x y z,2aPyx)0(10yxE23221, 0aPaP222321)1)(21 ()0(21)(21EaPaPaPEEV42222222223)1)(1 ()()()(61EaPaPaPaPaPEuf例例12 用能量法證明三個(gè)彈性常數(shù)間的關(guān)系。Gu2212純剪單元體的比能為：純剪單元體比能的主應(yīng)力表示為：312321232221221Eu)(002)(02122E21E12EG xyA13max,maxAFN（拉壓）（拉壓）maxmax WM（彎曲）（彎曲）（正應(yīng)力強(qiáng)度條件）（正應(yīng)力強(qiáng)度條件）*maxzzsbISF（彎曲）（彎曲）（扭轉(zhuǎn)）（扭轉(zhuǎn)）maxpWT（切應(yīng)力強(qiáng)度條件）（切應(yīng)力強(qiáng)度條件）max max 1. 1. 桿件基本變形下的強(qiáng)度條件桿件基本變形下的強(qiáng)度條件7-107-10、強(qiáng)度理論概述、強(qiáng)度理論概述max max 滿足滿足max max 是否強(qiáng)度就沒(méi)有問(wèn)題了？是否強(qiáng)度就沒(méi)有問(wèn)題了？7-107-10、強(qiáng)度理論概述、強(qiáng)度理論概述強(qiáng)度理論：強(qiáng)度理論：人們根據(jù)大量的破壞現(xiàn)象，通過(guò)判斷推人們根據(jù)大量的破壞現(xiàn)象，通過(guò)判斷推理、概括，提出了種種關(guān)于破壞原因的假說(shuō)，找出理、概括，提出了種種關(guān)于破壞原因的假說(shuō)，找出引起破壞的主要因素，經(jīng)過(guò)實(shí)踐檢驗(yàn)，不斷完善，引起破壞的主要因素，經(jīng)過(guò)實(shí)踐檢驗(yàn)，不斷完善，在一定范圍與實(shí)際相符合，上升為理論。在一定范圍與實(shí)際相符合，上升為理論。 為了建立復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度條件，而提出為了建立復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度條件，而提出的關(guān)于材料破壞原因的假設(shè)及計(jì)算方法。的關(guān)于材料破壞原因的假設(shè)及計(jì)算方法。7-11、四種常用強(qiáng)度理論、四種常用強(qiáng)度理論構(gòu)件由于強(qiáng)度不足將引發(fā)兩種失效形式構(gòu)件由于強(qiáng)度不足將引發(fā)兩種失效形式 (1) (1) 脆性斷裂：材料無(wú)明顯的塑性變形即發(fā)生斷裂，脆性斷裂：材料無(wú)明顯的塑性變形即發(fā)生斷裂，斷面較粗糙，且多發(fā)生在垂直于最大正應(yīng)力的截面上，斷面較粗糙，且多發(fā)生在垂直于最大正應(yīng)力的截面上，如鑄鐵受拉、扭，低溫脆斷等。如鑄鐵受拉、扭，低溫脆斷等。關(guān)于關(guān)于屈服的強(qiáng)度理論：屈服的強(qiáng)度理論：最大切應(yīng)力理論和形狀改變比能理論最大切應(yīng)力理論和形狀改變比能理論 (2) (2) 塑性屈服（流動(dòng)）：材料破壞前發(fā)生顯著的塑性塑性屈服（流動(dòng)）：材料破壞前發(fā)生顯著的塑性變形，破壞斷面粒子較光滑，且多發(fā)生在最大剪應(yīng)力面變形，破壞斷面粒子較光滑，且多發(fā)生在最大剪應(yīng)力面上，例如低碳鋼拉、扭，鑄鐵壓。上，例如低碳鋼拉、扭，鑄鐵壓。關(guān)于關(guān)于斷裂的強(qiáng)度理論：斷裂的強(qiáng)度理論：最大拉應(yīng)力理論和最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變理論最大拉應(yīng)力理論和最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變理論7-11、四種常用強(qiáng)度理論、四種常用強(qiáng)度理論1. 1. 最大拉應(yīng)力理論最大拉應(yīng)力理論（第一強(qiáng)度理論）（第一強(qiáng)度理論） 材料發(fā)生斷裂的主要因素是最大拉應(yīng)力達(dá)到極限值材料發(fā)生斷裂的主要因素是最大拉應(yīng)力達(dá)到極限值01 構(gòu)件危險(xiǎn)點(diǎn)的最大拉應(yīng)力構(gòu)件危險(xiǎn)點(diǎn)的最大拉應(yīng)力1 極限拉應(yīng)力，由單拉實(shí)驗(yàn)測(cè)得極限拉應(yīng)力，由單拉實(shí)驗(yàn)測(cè)得b 00 7-11、四種常用強(qiáng)度理論、四種常用強(qiáng)度理論b1 斷裂條件斷裂條件 nb1強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件1. 1. 最大拉應(yīng)力理論（第一強(qiáng)度理論）最大拉應(yīng)力理論（第一強(qiáng)度理論）鑄鐵拉伸鑄鐵拉伸鑄鐵扭轉(zhuǎn)鑄鐵扭轉(zhuǎn)7-11、四種常用強(qiáng)度理論、四種常用強(qiáng)度理論2. 2. 最大伸長(zhǎng)拉應(yīng)變理論最大伸長(zhǎng)拉應(yīng)變理論（第二強(qiáng)度理論）（第二強(qiáng)度理論） 無(wú)論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài)無(wú)論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài), ,只要發(fā)生脆性斷裂只要發(fā)生脆性斷裂, ,都是由于微元內(nèi)的最大拉應(yīng)變（線變形）達(dá)到簡(jiǎn)單都是由于微元內(nèi)的最大拉應(yīng)變（線變形）達(dá)到簡(jiǎn)單拉伸時(shí)的破壞伸長(zhǎng)應(yīng)變數(shù)值。拉伸時(shí)的破壞伸長(zhǎng)應(yīng)變數(shù)值。 01 構(gòu)件危險(xiǎn)點(diǎn)的最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變構(gòu)件危險(xiǎn)點(diǎn)的最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變1 極限伸長(zhǎng)線應(yīng)變，由單向拉伸實(shí)驗(yàn)測(cè)得極限伸長(zhǎng)線應(yīng)變，由單向拉伸實(shí)驗(yàn)測(cè)得0 E/)(3211 Eb/0 7-11、四種常用強(qiáng)度理論、四種常用強(qiáng)度理論實(shí)驗(yàn)表明：實(shí)驗(yàn)表明：此理論對(duì)于一拉一壓的二向應(yīng)力狀態(tài)的脆此理論對(duì)于一拉一壓的二向應(yīng)力狀態(tài)的脆性材料的斷裂較符合，如鑄鐵受拉壓比第一強(qiáng)度理論性材料的斷裂較符合，如鑄鐵受拉壓比第一強(qiáng)度理論更接近實(shí)際情況。更接近實(shí)際情況。強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件)(321nb2. 2. 最大伸長(zhǎng)拉應(yīng)變理論最大伸長(zhǎng)拉應(yīng)變理論（第二強(qiáng)度理論）（第二強(qiáng)度理論）斷裂條件斷裂條件EEb)(1321b)(321即即7-11、四種常用強(qiáng)度理論、四種常用強(qiáng)度理論 無(wú)論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài)無(wú)論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài), ,只要發(fā)生屈服只要發(fā)生屈服, ,都都是由于微元內(nèi)的最大切應(yīng)力達(dá)到了某一極限值。是由于微元內(nèi)的最大切應(yīng)力達(dá)到了某一極限值。0max 3. 3. 最大切應(yīng)力理論最大切應(yīng)力理論（第三強(qiáng)度理論）（第三強(qiáng)度理論） 構(gòu)件危險(xiǎn)點(diǎn)的最大切應(yīng)力構(gòu)件危險(xiǎn)點(diǎn)的最大切應(yīng)力max 極限切應(yīng)力，由單向拉伸實(shí)驗(yàn)測(cè)得極限切應(yīng)力，由單向拉伸實(shí)驗(yàn)測(cè)得0 2/0s 2/ )(31max7-11、四種常用強(qiáng)度理論、四種常用強(qiáng)度理論s31 屈服條件屈服條件 ss31n強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件3. 3. 最大切應(yīng)力理論最大切應(yīng)力理論（第三強(qiáng)度理論）（第三強(qiáng)度理論）低碳鋼拉伸低碳鋼拉伸低碳鋼扭轉(zhuǎn)低碳鋼扭轉(zhuǎn)7-11、四種常用強(qiáng)度理論、四種常用強(qiáng)度理論實(shí)驗(yàn)表明：實(shí)驗(yàn)表明：此理論對(duì)于塑性材料的屈服破壞能夠得到此理論對(duì)于塑性材料的屈服破壞能夠得到較為滿意的解釋。并能解釋材料在三向均壓下不發(fā)生較為滿意的解釋。并能解釋材料在三向均壓下不發(fā)生塑性變形或斷裂的事實(shí)。塑性變形或斷裂的事實(shí)。)0(max局限性：局限性： 2 2、不能解釋三向均拉下可能發(fā)生斷裂的現(xiàn)象，、不能解釋三向均拉下可能發(fā)生斷裂的現(xiàn)象，1 1、未考慮、未考慮 的影響，試驗(yàn)證實(shí)最大影響達(dá)的影響，試驗(yàn)證實(shí)最大影響達(dá)15%15%。23. 3. 最大切應(yīng)力理論最大切應(yīng)力理論（第三強(qiáng)度理論）（第三強(qiáng)度理論）7-11、四種常用強(qiáng)度理論、四種常用強(qiáng)度理論 無(wú)論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài)無(wú)論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài), ,只要發(fā)生屈服只要發(fā)生屈服, ,都是都是由于微元的最大形狀改變比能達(dá)到一個(gè)極限值。由于微元的最大形狀改變比能達(dá)到一個(gè)極限值。0sfsfvv 4. 4. 形狀改變比形狀改變比能理論能理論（第四強(qiáng)度理論）（第四強(qiáng)度理論） 213232221sf)()()(61 Ev 構(gòu)件危險(xiǎn)點(diǎn)的形狀改變比能構(gòu)件危險(xiǎn)點(diǎn)的形狀改變比能sf 20f261ssEv 形狀改變比能的極限值，由單拉實(shí)驗(yàn)測(cè)得形狀改變比能的極限值，由單拉實(shí)驗(yàn)測(cè)得0f s 7-11、四種常用強(qiáng)度理論、四種常用強(qiáng)度理論屈服條件屈服條件22132322212)()()(s 強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件 ss213232221)()()(21n4. 4. 形狀改變比形狀改變比能理論能理論（第四強(qiáng)度理論）（第四強(qiáng)度理論）實(shí)驗(yàn)表明：實(shí)驗(yàn)表明：對(duì)塑性材料，此理論比第三強(qiáng)度理對(duì)塑性材料，此理論比第三強(qiáng)度理論更符合試驗(yàn)結(jié)果，在工程中得到了廣泛應(yīng)用。論更符合試驗(yàn)結(jié)果，在工程中得到了廣泛應(yīng)用。7-11、四種常用強(qiáng)度理論、四種常用強(qiáng)度理論11 , r)(3212 , r )()()(212132322214 , r強(qiáng)度理論的統(tǒng)一表達(dá)式：強(qiáng)度理論的統(tǒng)一表達(dá)式： r相當(dāng)應(yīng)力相當(dāng)應(yīng)力313 ,r7-11、四種常用強(qiáng)度理論、四種常用強(qiáng)度理論