新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料第五章數(shù)列第一節(jié)數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法考情展望1.以數(shù)列的前n項(xiàng)為背景寫數(shù)列的通項(xiàng).2.考查由數(shù)列的通項(xiàng)公式或遞推關(guān)系求數(shù)列的某一項(xiàng).3.考查已知數(shù)列的遞推關(guān)系或前n項(xiàng)和Sn求通項(xiàng)an.一、數(shù)列的有關(guān)概念概念含義數(shù)列按照一定順序排列的一列數(shù)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)數(shù)列的通項(xiàng)數(shù)列an的第n項(xiàng)an叫做數(shù)列的通項(xiàng)通項(xiàng)公式數(shù)列an的第n項(xiàng)an與n之間的關(guān)系能用公式anf(n)表達(dá)，這個(gè)公式叫做數(shù)列的通項(xiàng)公式前n項(xiàng)和數(shù)列an中，Sna1a2an叫做數(shù)列的前n項(xiàng)和二、數(shù)列的分類分類標(biāo)準(zhǔn)類型滿足條件項(xiàng)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無限項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系遞增數(shù)列an1>an其中nN*遞減數(shù)列an1<an常數(shù)列an1an判斷數(shù)列遞增(減)的方法(1)作差比較法：若an1an0，則數(shù)列an為遞增數(shù)列若an1an0，則數(shù)列an為常數(shù)列若an1an0，則數(shù)列an為遞減數(shù)列(2)作商比較法：不妨設(shè)an0.若1，則數(shù)列an為遞增數(shù)列若1，則數(shù)列an為常數(shù)列若1，則數(shù)列an為遞減數(shù)列三、數(shù)列的表示方法數(shù)列有三種表示方法，它們分別是列表法、圖象法和解析法四、an與Sn的關(guān)系若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，通項(xiàng)公式為an，則an已知Sn求an的注意點(diǎn)利用anSnSn1求通項(xiàng)時(shí)，注意n2這一前提條件，易忽略驗(yàn)證n1致誤，當(dāng)n1時(shí)，a1若適合通項(xiàng)，則n1的情況應(yīng)并入n2時(shí)的通項(xiàng)；否則an應(yīng)利用分段函數(shù)的形式表示1已知數(shù)列an的前4項(xiàng)分別為2,0,2,0，則下列各式不可以作為數(shù)列an的通項(xiàng)公式的一項(xiàng)是()Aan1(1)n1 Ban2sin Can1cos n Dan【解析】根據(jù)數(shù)列的前3項(xiàng)驗(yàn)證【答案】B2在數(shù)列an中，a11，an2an11，則a5的值為()A30 B31 C32 D33【解析】a52a412(2a31)122a32123a2222124a123222131.【答案】B3已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an，則這個(gè)數(shù)列是()A遞增數(shù)列 B遞減數(shù)列C常數(shù)列 D擺動(dòng)數(shù)列【解析】an0，1.an為遞增數(shù)列【答案】A4數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn21，則an_.【解析】當(dāng)n1時(shí)，a1S12；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1(n21)(n1)21n2(n1)22n1.an【答案】5(2011·浙江高考)若數(shù)列中的最大項(xiàng)是第k項(xiàng)，則k_.【解析】由題意可知即化簡(jiǎn)得解得k1.又kN*，所以k4.【答案】46(2013·課標(biāo)全國(guó)卷)若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snan，則an的通項(xiàng)公式是an_.【解析】當(dāng)n1時(shí)，S1a1，a11.當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1an(anan1)，an2an1，即2，an是以1為首項(xiàng)的等比數(shù)列，其公比為2，an1×(2)n1，即an(2)n1.【答案】(2)n1考向一 083由數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出下列各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式(1)1,7，13,19，；(2)0.8,0.88,0.888，；(3)，.【思路點(diǎn)撥】歸納通項(xiàng)公式應(yīng)從以下四個(gè)方面著手：(1)觀察項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系；(2)符號(hào)與絕對(duì)值分別考慮；(3)規(guī)律不明顯，適當(dāng)變形【嘗試解答】(1)符號(hào)可通過(1)n表示，后面的數(shù)的絕對(duì)值總比前面的數(shù)的絕對(duì)值大6，故通項(xiàng)公式為an(1)n(6n5)(2)數(shù)列變?yōu)?10.1)，(10.01)，(10.001)，an .(3)各項(xiàng)的分母分別為21,22,23,24，易看出第2,3,4項(xiàng)的分子分別比分母少3.因此把第1項(xiàng)變?yōu)?，原?shù)列化為，an(1)n·.規(guī)律方法11.求數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，要抓住以下幾個(gè)特征.,(1)分式中分子、分母的特征；(2)相鄰項(xiàng)的變化特征；(3)拆項(xiàng)后的特征；(4)各項(xiàng)符號(hào)特征等，并對(duì)此進(jìn)行歸納、化歸、聯(lián)想.2.根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是不完全歸納法，它蘊(yùn)含著“從特殊到一般”的思想，由不完全歸納得出的結(jié)果是不可靠的，要注意代值檢驗(yàn)，對(duì)于正負(fù)符號(hào)變化，可用(1)n或(1)n1來調(diào)整.考向二 084由遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式根據(jù)下列條件，求數(shù)列的通項(xiàng)公式an.(1)在數(shù)列an中，a11，an1an2n；(2)在數(shù)列an中，an1an，a14；(3)在數(shù)列an中，a13，an12an1.【思路點(diǎn)撥】(1)求an1an，利用累加法求解(2)求，利用累乘法求解(3)利用(an11)2(an1)構(gòu)造等比數(shù)列求解【嘗試解答】(1)由an1an2n，把n1,2,3，n1(n2)代入，得(n1)個(gè)式子，累加即可得(a2a1)(a3a2)(anan1)222232n1，所以ana1，即ana12n2，所以an2n2a12n1.當(dāng)n1時(shí)，a11也符合，所以an2n1(nN*)(2)由遞推關(guān)系an1an，a14，有，于是有3，將這(n1)個(gè)式子累乘，得.所以當(dāng)n2時(shí)，ana12n(n1)當(dāng)n1時(shí)，a14符合上式，所以an2n(n1)(nN*)(3)由an12an1得an112(an1)，令bnan1，所以bn是以2為公比的等比數(shù)列所以bnb1·2n1(a11)·2n12n1，所以anbn12n11(nN*)規(guī)律方法2遞推式的類型遞推式方法示例an1anf(n)疊加法a11，an1an2nf(n)疊乘法a11，2nan1panq (p0,1，q0)化為等比數(shù)列a11，an12an1an1panq·pn1 (p0,1，q0)化為等差數(shù)列a11，an13an3n1考向三 085由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)an已知下面數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn，求an的通項(xiàng)公式：(1)Sn2n23n；(2)Sn3nb.(b為常數(shù))【思路點(diǎn)撥】先分n1和n2兩類分別求an，再驗(yàn)證a1是否滿足an(n2)【嘗試解答】(1)a1S1231，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n5，由于a1也適合此等式，an4n5.(2)a1S13b，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1(3nb)(3n1b)2·3n1.當(dāng)b1時(shí)，a1適合此等式當(dāng)b1時(shí)，a1不適合此等式當(dāng)b1時(shí)，an2·3n1；當(dāng)b1時(shí)，an規(guī)律方法3已知Sn求an時(shí)的三個(gè)注意點(diǎn),(1)重視分類討論思想的應(yīng)用，分n1和n2兩種情況討論；特別注意anSnSn1中需n2.(2)由SnSn1an推得an，當(dāng)n1時(shí)，a1也適合“an式”，則需統(tǒng)一“合寫” .(3)由SnSn1an推得an，當(dāng)n1時(shí)，a1不適合“an式”，則數(shù)列的通項(xiàng)公式應(yīng)分段表示(“分寫”)，即an對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練若Sn滿足的條件變?yōu)槿缦滦问剑瑒t又如何求an?(1)Snn2n1；(2)log2(2Sn)n1.【解】(1)當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1(n2n1)(n1)2(n1)12n；當(dāng)n1時(shí)，a1S132×1，故a13不滿足an2n.an(2)log2(2Sn)n1，2Sn2n1，即Sn2n12，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1(2n12)(2n2)2n，當(dāng)n1時(shí)，a1S1222221，故a12滿足an2n.an2n.易錯(cuò)易誤之十明確數(shù)列中項(xiàng)的特征，慎用函數(shù)思想解題1個(gè)示范例1個(gè)防錯(cuò)練(2014·安陽模擬)已知數(shù)列an中，ann2kn(nN*)，且an單調(diào)遞增，則k的取值范圍是()A(，2B(，3)C(，2) D(，3【解析】ann2kn(nN*)，且an單調(diào)遞增，an1an0對(duì)nN*都成立，此處在求解時(shí)，常犯“an是關(guān)于n的二次函數(shù)，若an單調(diào)遞增，則必有1，k2”的錯(cuò)誤.,出錯(cuò)的原因是忽視了數(shù)列作為函數(shù)的特殊性即自變量是正整數(shù).又an1an(n1)2k(n1)n2kn2n1k，所以由2n1k0，即k2n1恒成立可知k(2n1)min3.【防范措施】1.明確函數(shù)單調(diào)性與數(shù)列單調(diào)性的關(guān)系,(1)若數(shù)列所對(duì)應(yīng)的函數(shù)是單調(diào)的，則該數(shù)列一定單調(diào).(2)若數(shù)列是單調(diào)的，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)未必單調(diào)，原因是數(shù)列是定義在nN*上的特殊函數(shù).2.數(shù)列單調(diào)性的判斷,一般通過比較an1與an的大小來判斷：,若an1an，則該數(shù)列為遞增數(shù)列；若an1an，則該數(shù)列為遞減數(shù)列.(2014·濟(jì)南模擬)已知an是遞增數(shù)列，且對(duì)于任意的nN*，ann2n恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_【解析】法一(定義法)因?yàn)閍n是遞增數(shù)列，故對(duì)任意的nN*，都有an1an，即(n1)2(n1)n2n，整理，得2n10，即(2n1)(*)因?yàn)閚1，故(2n1)3，要使不等式(*)恒成立，只需3.法二(函數(shù)法)設(shè)f(n)ann2n，其對(duì)稱軸為n，要使數(shù)列an為遞增數(shù)列，只需滿足n即可，即3.【答案】(3，)第二節(jié)等差數(shù)列考情展望1.運(yùn)用基本量法求解等差數(shù)列的基本量問題.2.在解答題中對(duì)所求結(jié)論的運(yùn)算進(jìn)行等差數(shù)列的判斷與證明.3.在具體情景中能識(shí)別具有等差關(guān)系的數(shù)列，并會(huì)用等差數(shù)的性質(zhì)解決相應(yīng)問題一、等差數(shù)列1定義：an1and(常數(shù))(nN*)2通項(xiàng)公式：ana1(n1)d，anam(nm)d.3前n項(xiàng)和公式：Snna1.4a、b的等差中項(xiàng)A.證明an為等差數(shù)列的方法：(1)用定義證明：anan1d(d為常數(shù)，n2)an為等差數(shù)列；(2)用等差中項(xiàng)證明：2an1anan2an為等差數(shù)列；(3)通項(xiàng)法：an為n的一次函數(shù)an為等差數(shù)列；(4)前n項(xiàng)和法：SnAn2Bn或Sn.二、等差數(shù)列的性質(zhì)已知數(shù)列an是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和(1)若m、n、p、q、k是正整數(shù)，且mnpq2k，則amanapaq2ak.(2)am，amk，am2k，am3k，仍是等差數(shù)列，公差為kd.(3)數(shù)列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差數(shù)列等差數(shù)列的性質(zhì)(1)項(xiàng)的性質(zhì)：在等差數(shù)列an中，aman(mn)dd(mn)，其幾何意義是點(diǎn)(n，an)，(m，am)所在直線的斜率等于等差數(shù)列的公差(2)和的性質(zhì)：在等差數(shù)列an中，Sn為其前n項(xiàng)和，則S2nn(a1a2n)n(anan1)S2n1(2n1)an.n為偶數(shù)時(shí)，S偶S奇d；n為奇數(shù)時(shí)，S奇S偶a中1在等差數(shù)列an中，a22，a34，則a10()A12 B14 C16 D18【解析】由題意，公差da3a22，a10a28d28×218.【答案】D2在等差數(shù)列an中，a21，a45，則an的前5項(xiàng)和S5()A7 B15 C20 D25【解析】a21，a45，S515.【答案】B3設(shè)an為等差數(shù)列，公差d2，Sn為其前n項(xiàng)和，若S10S11，則a1()A18 B20 C22 D24【解析】由S10S11得10a1×(2)11a1×(2)，解得a120.【答案】B4已知遞增的等差數(shù)列an滿足a11，a3a4，則an_.【解析】設(shè)等差數(shù)列公差為d，則由a3a4，得12d(1d)24，d24，d±2.由于該數(shù)列為遞增數(shù)列，d2.an1(n1)×22n1.【答案】2n15(2013·重慶高考)若2，a，b，c,9成等差數(shù)列，則ca_.【解析】由題意得該等差數(shù)列的公式d，所以ca2d.【答案】6(2013·廣東高考)在等差數(shù)列an中，已知a3a810，則3a5a7_.【解析】法一a3a82a19d10,3a5a74a118d2(2a19d)2×1020.法二a3a82a35d10,3a5a74a310d2(2a35d)2×1020.【答案】20考向一 086等差數(shù)列的判定與證明在數(shù)列an中，a13，an2an12n3(n2，且nN*)(1)求a2，a3的值；(2)設(shè)bn(nN*)，證明：bn是等差數(shù)列【思路點(diǎn)撥】(1)分別令n2,3求a2，a3的值(2)用定義法，證明bn1bn為常數(shù)便可【嘗試解答】(1)a13，an2an12n3(n2)a22a1436431.a32a223313.(2)證明：對(duì)于任意nN*，bn1bn(an12an)3(2n13)31，數(shù)列bn是首項(xiàng)為0，公差為1的等差數(shù)列規(guī)律方法1用定義證明等差數(shù)列時(shí)，常采用的兩個(gè)式子an1and和anan1d，但它們的意義不同，后者必須加上“n2”，否則n1時(shí)，a0無定義.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(1)已知數(shù)列an中，a11，則a10_.(2)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足an2Sn·Sn10(n2)，a1.求證：是等差數(shù)列；求數(shù)列an的通項(xiàng)公式【解析】(1)由已知，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，又a11，(n1).4，a10.【答案】(2)證明anSnSn1(n2)，又an2Sn·Sn1，Sn1Sn2Sn·Sn1，Sn0，2(n2)又2，故數(shù)列是以2為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列由知(n1)d2(n1)×22n，Sn.當(dāng)n2時(shí)，有an2Sn×Sn1，又a1，不適合上式，an考向二 087等差數(shù)列的基本運(yùn)算(1)(2013·課標(biāo)全國(guó)卷)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若Sm12，Sm0，Sm13，則m()A3B4C5D6(2)(2013·四川高考)在等差數(shù)列an中，a1a38，且a4為a2和a9的等比中項(xiàng)，求數(shù)列an的首項(xiàng)、公差及前n項(xiàng)和【思路點(diǎn)撥】(1)先由Sm1，Sm，Sm1間的關(guān)系求得am和am1，進(jìn)而求得公差d，然后借助Sm及am求得a1及m的值(2)先建立首項(xiàng)a1及公差d的方程組，解出a1，d后求Sn便可【嘗試解答】(1)an是等差數(shù)列，Sm12，Sm0，amSmSm12.Sm13，am1Sm1Sm3，dam1am1.又Sm0，a12，am2(m1)·12，m5.【答案】C(2)設(shè)該數(shù)列的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn.由已知可得2a12d8，(a13d)2(a1d)(a18d)，所以a1d4，d(d3a1)0，解得a14，d0或a11，d3，即數(shù)列an的首項(xiàng)為4，公差為0，或首項(xiàng)為1，公差為3.所以數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn4n或Sn.規(guī)律方法21.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，共涉及五個(gè)量a1，an，d，n，Sn，知三求二，體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用. 2.數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知和未知是常用方法，稱為基本量法.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練已知等差數(shù)列an中，a11，a33.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列an的前k項(xiàng)和Sk35，求k的值【解】(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由a11，a33，得12d3，d2.從而an1(n1)×(2)32n.(2)由(1)知an32n，Sn2nn2，由Sk35得2kk235，即k22k350，解得k7或k5，又kN*，故k7.考向三 088等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用(1)(2012·遼寧高考)在等差數(shù)列an中，已知a4a816，則該數(shù)列前11項(xiàng)和S11()A58B88C143D176(2)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知前6項(xiàng)和為36，最后6項(xiàng)的和為180，Sn324(n6)，求數(shù)列an的項(xiàng)數(shù)及a9a10.【思路點(diǎn)撥】(1)a4a8a1a11，直接套用S11求解(2)利用倒序相加法求和得n，利用等差數(shù)列的性質(zhì)求a9a10.【嘗試解答】(1)S1188.【答案】B(2)由題意知a1a2a636，anan1an2an5180，得(a1an)(a2an1)(a6an5)6(a1an)216，a1an36，又Sn324，18n324，n18.由a1an36，n18.a1a1836，從而a9a10a1a1836.規(guī)律方法31.在等差數(shù)列an中，若mnpq2k，則amanapaq2ak是常用的性質(zhì)，本例(1)、(2)都用到了這個(gè)性質(zhì).2.掌握等差數(shù)列的性質(zhì)，悉心研究每個(gè)性質(zhì)的使用條件及應(yīng)用方法，認(rèn)真分析項(xiàng)數(shù)、序號(hào)、項(xiàng)的值的特征，這是解題的突破口.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(1)已知等差數(shù)列an的公差為2，項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，所有奇數(shù)項(xiàng)之和為15，所有偶數(shù)項(xiàng)之和為25，則這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為()A10B20C30D40(2)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且S1010，S2030，則S30_.【解析】(1)設(shè)這個(gè)數(shù)列有2n項(xiàng)，則由等差數(shù)列的性質(zhì)可知：偶數(shù)項(xiàng)之和減去奇數(shù)項(xiàng)之和等于nd，即25152n，故2n10，即數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為10.(2)S10，S20S10，S30S20成等差數(shù)列，且S1010，S2030，S20S1020，S3030102×1030，S3060.【答案】(1)A(2)60考向四 089等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值在等差數(shù)列an中，已知a120，前n項(xiàng)和為Sn，且S10S15，求當(dāng)n取何值時(shí)，Sn取得最大值，并求出它的最大值【思路點(diǎn)撥】由a120及S10S15可求得d，進(jìn)而求得通項(xiàng)，由通項(xiàng)得到此數(shù)列前多少項(xiàng)為正，或利用等差數(shù)列的性質(zhì)，判斷出數(shù)列從第幾項(xiàng)開始變號(hào)【嘗試解答】法一a120，S10S15，10×20d15×20d，d.an20(n1)×n.令an0得n13，即當(dāng)n12時(shí)，an0；n14時(shí)，an0.當(dāng)n12或13時(shí)，Sn取得最大值，且最大值為S12S1312×20×130.法二同法一得d.又由S10S15，得a11a12a13a14a150.5a130，即a130.當(dāng)n12或13時(shí)，Sn有最大值，且最大值為S12S13130.規(guī)律方法4求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值常用的方法(1)先求an，再利用求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，最后利用單調(diào)性確定最值.(2)利用性質(zhì)求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，便可求得前n項(xiàng)和的最值.利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和SnAn2Bn(A，B為常數(shù))為二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練已知an是一個(gè)等差數(shù)列，且a21，a55.(1)求an的通項(xiàng)an；(2)求an前n項(xiàng)和Sn的最大值【解】(1)設(shè)an的公差為d，由已知條件解出a13，d2，所以ana1(n1)d2n5.(2)Snna1dn24n4(n2)2，所以n2時(shí)，Sn取到最大值4.規(guī)范解答之八等差數(shù)列的通項(xiàng)與求和問題1個(gè)示范例1個(gè)規(guī)范練(12分)(2013·浙江高考)在公差為d的等差數(shù)列an中，已知a110，且a1,2a22,5a3成等比數(shù)列(1)求d，an；(2)若d0，求|a1|a2|a3|an|.【規(guī)范解答】(1)由題意得，a1·5a3(2a22)2，由a110，an為公差為d的等差數(shù)列得，d23d40，2分解得d1或d4.3分所以ann11(nN*)或an4n6(nN*).5分(2)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.因?yàn)閐0，由(1)得d1，ann11，6分所以當(dāng)n11時(shí)，|a1|a2|a3|an|Snn2n；8分當(dāng)n12時(shí)，|a1|a2|a3|an|Sn2S11n2n110.10分綜上所述，|a1|a2|a3|an|12分【名師寄語】1.涉及求數(shù)列|an|前n項(xiàng)和的題目，其解題的關(guān)鍵是找到數(shù)列an的正負(fù)界點(diǎn)，因此借助絕對(duì)值的性質(zhì)，去掉絕對(duì)值符號(hào)是解題的著眼點(diǎn).2.要正確區(qū)分“|a1|a2|a3|an|”與“a1a2a3an”的差異，明確兩者間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，切忌邏輯混亂.(2012·湖北高考)已知等差數(shù)列an前三項(xiàng)的和為3，前三項(xiàng)的積為8.(1)求等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若a2，a3，a1成等比數(shù)列，求數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和【解】(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，易求a21，則a3a2d，a1a2d，由題意得解之得或所以由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得an23(n1)3n5，或an43(n1)3n7.故an3n5，或an3n7.(2)當(dāng)an3n5時(shí)，a2，a3，a1分別為1，4,2，不成等比數(shù)列，不合題設(shè)條件當(dāng)an3n7時(shí)，a2，a3，a1分別為1,2，4，成等比數(shù)列，滿足條件故|an|3n7|記數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和為Sn.當(dāng)n1時(shí)，S1|a1|4；當(dāng)n2時(shí)，S2|a1|a2|5.當(dāng)n3時(shí)，SnS2|a3|a4|an|5(3×37)(3×47)(3n7)5n2n10.當(dāng)n2時(shí)，滿足此式綜上，Sn第三節(jié)等比數(shù)列考情展望1.運(yùn)用基本量法求解等比數(shù)列問題.2.以等比數(shù)列的定義及等比中項(xiàng)為背景，考查等比數(shù)列的判定.3.客觀題以等比數(shù)列的性質(zhì)及基本量的運(yùn)算為主，突出“小而巧”的特點(diǎn)，解答題注重函數(shù)與方程、分類討論等思想的綜合應(yīng)用一、等比數(shù)列證明an是等比數(shù)列的兩種常用方法(1)定義法：若q(q為非零常數(shù)且n2且nN*)，則an是等比數(shù)列(2)中項(xiàng)公式法：在數(shù)列an中，an0且aan·an2(nN*)，則數(shù)列an是等比數(shù)列二、等比數(shù)列的性質(zhì)1對(duì)任意的正整數(shù)m、n、p、q，若mnpq2k，則am·anap·aqa.2通項(xiàng)公式的推廣：anamqnm(m，nN*)3公比不為1的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn；當(dāng)公比為1時(shí)，Sn，S2nSn，S3nS2n不一定構(gòu)成等比數(shù)列4若數(shù)列an，bn(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，則an，a，an·bn，(0)仍是等比數(shù)列等比數(shù)列的單調(diào)性單調(diào)遞增a10，q1或者a10,0q1單調(diào)遞減a10,0q1或者a10，q1常數(shù)數(shù)列a10，q1擺動(dòng)數(shù)列q01已知an是等比數(shù)列，a22，a5，則公比q等于()AB2C2D.【解析】由題意知：q3，q.【答案】D2設(shè)Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，8a2a50，則()A11 B8 C5 D11【解析】8a2a50，得8a2a2q3，又a20，q2，則S511a1，S2a1，11.【答案】A3公比為2的等比數(shù)列an的各項(xiàng)都是正數(shù)，且a3a1116，則log2a10()A4 B5 C6 D7【解析】由題意aa3a1116，且a70，a74，a10a7·q34×2325，從而log2a105.【答案】B4在等比數(shù)列an中，若公比q4，且前3項(xiàng)之和等于21，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式an_.【解析】S321，q4，21，a11，an4n1.【答案】4n15(2013·大綱全國(guó)卷)已知數(shù)列an滿足3an1an0，a2，則an的前10項(xiàng)和等于()A6(1310) B.(1310)C3(1310) D3(1310)【解析】由3an1an0，得，故數(shù)列an是公比q的等比數(shù)列又a2，可得a14.所以S103(1310). 【答案】C6(2013·江西高考)等比數(shù)列x,3x3,6x6，的第四項(xiàng)等于()A24 B0C12 D24【解析】由題意知(3x3)2x(6x6)，即x24x30，解得x3或x1(舍去)，所以等比數(shù)列的前3項(xiàng)是3，6，12，則第四項(xiàng)為24.【答案】A考向一 090等比數(shù)列的基本運(yùn)算(1)(2013·北京高考)若等比數(shù)列an滿足a2a420，a3a540，則公比q_；前n項(xiàng)和Sn_.(2)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知S1，S3，S2成等差數(shù)列求an的公比q；若a1a33，求Sn.【思路點(diǎn)撥】建立關(guān)于a1與公比q的方程，求出基本量a1和公比，代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式【嘗試解答】(1)設(shè)出等比數(shù)列的公比，利用已知條件建立關(guān)于公比的方程求出公比，再利用前n項(xiàng)和公式求Sn.設(shè)等比數(shù)例an的首項(xiàng)為a1，公比為q，則：由a2a420得a1q(1q2)20.由a3a540得a1q2(1q2)40.由解得q2，a12.故Sn2n12.【答案】2,2n12(2)S1，S3，S2成等差數(shù)列，a1(a1a1q)2(a1a1qa1q2)由于a10，故2q2q0，又q0，從而q.由已知可得a1a1()23，故a14，從而Sn.規(guī)律方法11.等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類基本問題，數(shù)列中有五個(gè)量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用.2.在使用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，應(yīng)根據(jù)公比q的情況進(jìn)行分類討論，此外在運(yùn)算過程中，還應(yīng)善于運(yùn)用整體代換思想簡(jiǎn)化運(yùn)算.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(1)(2012·遼寧高考)已知等比數(shù)列an為遞增數(shù)列，且aa10,2(anan2)5an1，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式an_.(2)(2014·晉州模擬)已知數(shù)列an是公差不為零的等差數(shù)列，a12，且a2，a4，a8成等比數(shù)列求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；求數(shù)列3an的前n項(xiàng)和【解析】(1)設(shè)數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公比為q，aa10,2(anan2)5an1.由得a1q；由知q2或q，又?jǐn)?shù)列an為遞增數(shù)列，a1q2，從而an2n.【答案】2n(2)設(shè)數(shù)列an的公差為d(d0)，由題意得aa2·a8，即(a13d)2(a1d)(a17d)又a12，所以d2或d0(舍去)an2n.由可知3an32n9n.故數(shù)列3an的前n項(xiàng)和為(9n1)考向二 091等比數(shù)列的判定與證明(2014·荊州模擬)成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)的和等于15，并且這三個(gè)數(shù)分別加上2、5、13后成為等比數(shù)列bn中的b3、b4、b5.(1)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn，求證：數(shù)列是等比數(shù)列【思路點(diǎn)撥】正確設(shè)出等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)，利用等比數(shù)列的性質(zhì)解出公差d，從而求出數(shù)列bn的首項(xiàng)、公比；利用等比數(shù)列的定義可解決第(2)問【嘗試解答】(1)設(shè)成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)分別為ad，a，ad.依題意，得adaad15，解得a5.所以bn中的b3，b4，b5依次為7d,10,18d.依題意，(7d)(18d)100，解之得d2或d13(舍去)，b35，公比q2，因此b1.故bn·2n15·2n3.(2)證明由(1)知b1，公比q2，Sn5·2n2，則Sn5·2n2，因此S1，2(n2)數(shù)列Sn是以為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列規(guī)律方法21.本題求解常見的錯(cuò)誤：(1)計(jì)算失誤，不注意對(duì)方程的根(公差d)的符號(hào)進(jìn)行判斷；(2)不能靈活運(yùn)用數(shù)列的性質(zhì)簡(jiǎn)化運(yùn)算.2.要判定一個(gè)數(shù)列不是等比數(shù)列，則只需判定其任意的連續(xù)三項(xiàng)不成等比即可.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(1)在正項(xiàng)數(shù)列an中，a12，點(diǎn)(，)(n2)在直線xy0上，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn_.(2)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若anSnn，cnan1，求證：數(shù)列cn是等比數(shù)列，并求an的通項(xiàng)公式【解析】(1)由題意知0，an2an1(n2)，數(shù)列an是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列Sn2n12.【答案】2n12(2)證明anSnn，a1S11，得a1，c1a11.又an1Sn1n1，anSnn，2an1an1，即2(an11)an1.又a11，即，數(shù)列cn是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列則cn×n1n，an的通項(xiàng)公式ancn11n.考向三 092等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用(1)設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S6S312，則S9S3等于()A12B23C34D13(2)(2014·衡水模擬)在等比數(shù)列an中，若a7a8a9a10，a8a9，則_.【思路點(diǎn)撥】(1)借助S3，S6S3，S9S6成等比求解(2)應(yīng)用等比數(shù)列的性質(zhì)a7a10a8a9求解【嘗試解答】(1)由等比數(shù)列的性質(zhì)：S3、S6S3、S9S6仍成等比數(shù)列，于是(S6S3)2S3·(S9S6)，將S6S3代入得.(2)法一a7a8a9a10，a8a9a7a10，.法二由題意可知÷得，即，所以.【答案】(1)C(2)規(guī)律方法3在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時(shí)，要充分挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是“若mnpq，則am·anap·aq”，可以減少運(yùn)算量，提高解題速度.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(1)(2012·課標(biāo)全國(guó)卷)已知an為等比數(shù)列，a4a72，a5a68，則a1a10()A7B5C5D7(2)(2014·大連模擬)已知等比數(shù)列an滿足an0，n1,2，且a5·a2n522n(n3)，則log2a1log2a3log2a2n1等于()An(2n1) B(n1)2 Cn2 D(n1)2【解析】(1)由于a5·a6a4·a78，a4a72，a4，a7是方程x22x80的兩根，解之得a44，a72或a42，a74.q3或q32.當(dāng)q3時(shí)，a1a10a7·q34×(2)(2)×()7，當(dāng)q32時(shí)，a1a10a7·q34×(2)7.(2)a5·a2n5a22n，且an0，an2n，a2n122n1，log2a2n12n1，log2a1log2a3log2a2n1135(2n1)n2.【答案】(1)D(2)C 思想方法之十三分類討論思想在等比數(shù)列求和中的應(yīng)用分類討論的實(shí)質(zhì)是將整體化為部分來解決其求解原則是不復(fù)重，不遺漏，討論的方法是逐類進(jìn)行在數(shù)列的學(xué)習(xí)中，也有多處知識(shí)涉及到分類討論思想 ，具體如下所示：(1)前n項(xiàng)和Sn與其通項(xiàng)an的關(guān)系：an(2)等比數(shù)列的公比q是否為1；(3)在利用公式Sn求和時(shí)，數(shù)列的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)還是奇數(shù)等等求解以上問題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)討論的切入點(diǎn)，分類求解1個(gè)示范例1個(gè)對(duì)點(diǎn)練(2013·天津高考)已知首項(xiàng)為的等比數(shù)列an不是遞減數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn(nN*)，且S3a3，S5a5，S4a4成等差數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)TnSn(nN*)，求數(shù)列Tn的最大項(xiàng)的值與最小項(xiàng)的值【解】(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，因?yàn)镾3a3，S5a5，S4a4成等差數(shù)列，所以S5a5S3a3S4a4S5a5，即4a5a3，于是q2.又an不是遞減數(shù)列且a1，所以q.故等比數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an×n1(1)n1·.(2)由(1)得Sn1n當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn隨n的增大而減小，所以1SnS1，故0SnS1.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn隨n的增大而增大，所以S2Sn1，故0SnS2.所以數(shù)列Tn最大項(xiàng)的值為，最小項(xiàng)的值為.(2014·青島模擬)已知數(shù)列dn滿足dnn，等比數(shù)列an為遞增數(shù)列，且aa10,2(anan2)5an1，nN*.(1)求an；(2)令cn1(1)nan，不等式ck2014(1k100，kN*)的解集為M，求所有dkak(kM)的和【解】(1)設(shè)an的首項(xiàng)為a1，公比為q，所以(a1q4)2a1q9，解得a1q，又因?yàn)?(anan2)5an1，所以2(ananq2)5anq，則2(1q2)5q,2q25q20，解得q(舍)或q2，所以an2×2n12n.(2)cn1(1)nan1(2)n，dnn，當(dāng)n為偶數(shù)，cn12n2 014，即2n2 013，不成立；當(dāng)n為奇數(shù)，cn12n2 014，即2n2 013，因?yàn)?101 024,2112 048，所以n2m1,5m49，則dk組成首項(xiàng)為11，公差為2的等差數(shù)列，ak(kM)組成首項(xiàng)為211，公比為4的等比數(shù)列，則所有dkak(kM)的和為2 475.第四節(jié)數(shù)列求和考情展望1.考查等差、等比數(shù)列的求和.2.以數(shù)列求和為載體，考查數(shù)列求和的各種方法和技巧一、公式法與分組求和法1公式法直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和(1)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Snna1d；(2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn2分組求和法一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和而后相加減二、錯(cuò)位相減法如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和可用錯(cuò)位相減法三、裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和常用的拆項(xiàng)方法(1)(2)()(3)(4)四、倒序相加法和并項(xiàng)求和法1倒序相加法如果一個(gè)數(shù)列an的前n項(xiàng)中首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即是用此法推導(dǎo)的2并項(xiàng)求和法一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和形如an(1)nf(n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求解例如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.1等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n1，其前n項(xiàng)的和為Sn，則數(shù)列的前10項(xiàng)的和為()A120 B70 C75 D100【解析】Snn(n2)，n2.數(shù)列前10項(xiàng)的和為：(1210)2075.【答案】C2數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an，前n項(xiàng)和為9，則n等于()A9 B99 C10 D100【解析】an，又a1a2an(1)19，n99.【答案】B3若數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an(1)n(3n2)，則a1a2a10()A15 B12 C12 D15【解析】an(1)n(3n2)，a1a2a10(14)(710)(2528)3×515.【答案】A4已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a55，S515，則數(shù)列的前100項(xiàng)和為()A. B. C. D.【解析】設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d.a55，S515，ana1(n1)dn.，數(shù)列的前100項(xiàng)和為11.【答案】A5(2013·遼寧高考)已知等比數(shù)列an是遞增數(shù)列，Sn是an的前n項(xiàng)和若a1，a3是方程x25x40的兩個(gè)根，則S6_.【解析】因?yàn)閍1，a3是方程x25x40的兩個(gè)根，且數(shù)列an是遞增的等比數(shù)列，所以a11，a34，q2，所以S663.【答案】636(2013·重慶高考)已知an是等差數(shù)列，a11，公差d0，Sn為其前n項(xiàng)和，若a1，a2，a5成等比數(shù)列，則S8_. 【解析】借助等比中項(xiàng)及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出等差數(shù)列的公差后，再利用等差數(shù)列的求和公式直接求S8.a1，a2，a5成等比數(shù)列，aa1a5(1d)21×(4d1)，d22d0，d0，d2.S88×1×264.【答案】64考向一 093分組轉(zhuǎn)化求和已知數(shù)列an滿足a11，且an3an12n1(n2)(1)證明an2n是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn.【思路點(diǎn)撥】(1)證明：q(q為非零常數(shù))便可(2)求an的通項(xiàng)公式，分組求和求Sn.【嘗試解答】(1)證明：當(dāng)n2時(shí)，由an3an12n1，得3.又a11，a1213數(shù)列an2n是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列(2)由(1)知an2n3n，an3n2n.Sna1a2an(3121)(3222)(3323)(3n2n)(3132333n)(2122232n)2n1.規(guī)律方法1分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型(1)若anbn±cn，且bn，cn為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求an的前n項(xiàng)和.(2)通項(xiàng)公式為an的數(shù)列，其中數(shù)列bn，cn是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求和.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(1)已知數(shù)列an的通項(xiàng)為an，Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)的和，則S20等于()A2 246B2 148C2 146 D2 248(2)若數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n2n1，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和為()A2nn21 B2n1n21C2n1n22 D2nn2【解析】(1)S20a1a2a3a4a20(a1a3a5a19)(a2a4a6a20)(13519)(212223210)10021122 146.(2)Sn(2122232n)135(2n1)2n1n22.【答案】(1)C(2)C考向二 094裂項(xiàng)相消法求和(2013·課標(biāo)全國(guó)卷)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足S30，S55.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和【思路點(diǎn)撥】(1)結(jié)合等差數(shù)列的求和公式列出關(guān)于首項(xiàng)和公差的方程組求解；(2)裂項(xiàng)求和，但要注意裂項(xiàng)后的系數(shù)【嘗試解答】(1)設(shè)an的公差為d，則Snna1d.由已知可得解得故an的通項(xiàng)公式為an2n.(2)由(1)知，從而數(shù)列的前n項(xiàng)和為.規(guī)律方法21.本例第(2)問在求解時(shí)，常因“裂項(xiàng)”錯(cuò)誤，導(dǎo)致計(jì)算失誤2利用裂項(xiàng)相消法求和應(yīng)注意以下兩點(diǎn)(1)抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng)；(2)將通項(xiàng)裂項(xiàng)后，有時(shí)需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開的兩項(xiàng)之差和系數(shù)之積與原通項(xiàng)相等如：若an是等差數(shù)列，則，.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練已知等差數(shù)列an中，a28，S666.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an；(2)設(shè)bn，Tnb1b2bn，求Tn.【解】(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則由題意得解之得an6(n1)·22n4.(2)bn，Tn，考向三 095錯(cuò)位相減法求和(2013·山東高考)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且S44S2，a2n2an1.(1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列bn滿足1，nN*，求bn的前n項(xiàng)和Tn.【思路點(diǎn)撥】(1)由于已知an是等差數(shù)列，因此可考慮用基本量a1，d表示已知等式，進(jìn)而求出an的通項(xiàng)公式(2)先求出，進(jìn)而求出bn的通項(xiàng)公式，再用錯(cuò)位相減法求bn的前n項(xiàng)和【嘗試解答】(1)設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d.由S44S2，a2n2an1，得解得因此an2n1，nN*.(2)由已知1，nN*，當(dāng)n1時(shí)，；當(dāng)n2時(shí)，1.所以，nN*.由(1)知an2n1，nN*，所以bn，nN*.所以Tn，Tn.兩式相減，得Tn，所以Tn3.規(guī)律方法31.正確認(rèn)識(shí)等式“”是求解本題的關(guān)鍵，其含義是數(shù)列的前n項(xiàng)的和.2.一般地，如果數(shù)列an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，求數(shù)列an·bn的前n項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法.,3.用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，