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2019-2020年蘇教版高中數(shù)學(xué)（選修2-2）2.3《數(shù)學(xué)歸納法》word教案5篇 一、教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)與技能：（1）體會(huì)歸納推理這種基本的分析問題法，并把它們用于對(duì)問題的發(fā)現(xiàn)中去。 （2）明確歸納推理的一般步驟，并把這些方法用于實(shí)際問題的解決中去。 過程與方法： （1）通過歌德巴赫猜想引入課題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極 （2）通過師生合作做實(shí)驗(yàn)的過程，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性； （3）通過生活中的實(shí)例，讓學(xué)生體會(huì)歸納推理的思想方法。 情感態(tài)度與價(jià)值觀： 正確認(rèn)識(shí)歸納推理在數(shù)學(xué)中的重要作用，養(yǎng)成從小開始認(rèn)真觀察事物、分析問題、發(fā)現(xiàn)事物之間的質(zhì)的聯(lián)系的良好個(gè)性品質(zhì)，善于發(fā)現(xiàn)問題，探求新知識(shí)。 二、教學(xué)重點(diǎn)：理解歸納推理的思維過程與一般形式。 三、教學(xué)難點(diǎn)：運(yùn)用歸納推理得到一般性的結(jié)論。 四、教學(xué)方法與手段：多媒體演示，互動(dòng)實(shí)驗(yàn)。 五、教學(xué)過程： 情景一：歌德巴赫猜想 問題1：同學(xué)們，你們有沒有聽說過一個(gè)世紀(jì)難題，歌德巴赫猜想，簡(jiǎn)稱“1+1”？ ____________________________________________ 問題2：你們知道這個(gè)歌德巴赫猜想的具體內(nèi)容嗎 ____________________________________________ 問題3：你們想不想知道歌德巴赫是怎樣提出這個(gè)猜想的？ 1742年，歌德巴赫在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)： 4=2+2， 6=3+3， 8=3+5， 10=3+7=5+5， 12=5+7， 14=3+11=7+7， 16=3+13=5+11， 18=5+13=7+11， 20=3+17=7+13， 22=3+19=5+17=11+11，…… 由此，他猜想：任何大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)之和（簡(jiǎn)稱“1+1”），可是他既證明不了這個(gè)猜想，也否定不了這個(gè)猜想。于是，歌德巴赫寫信給當(dāng)時(shí)的大數(shù)學(xué)家歐拉。歐拉在給他的回信中說，他相信這個(gè)猜想是正確的，但他不能證明。敘述如此簡(jiǎn)單的問題，連歐拉這樣首屈一指的數(shù)學(xué)家都不能證明，這個(gè)猜想便引起了許多數(shù)學(xué)家的注意。從提出這個(gè)猜想至今，許多數(shù)學(xué)家都不斷努力想攻克它，但都沒有成功。 從此，這道著名的數(shù)學(xué)難題引起了世界上成千上萬數(shù)學(xué)家的注意。200年過去了，沒有人證明它。哥德巴赫猜想由此成為數(shù)學(xué)皇冠上一顆可望不可及的“明珠”。到了20世紀(jì)20年代，才有人開始向它靠近。目前最佳的結(jié)果是中國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)于1966年證明的“每一個(gè)充分大的偶數(shù)都能夠表示為一個(gè)素?cái)?shù)及一個(gè)不超過兩個(gè)素?cái)?shù)的乘積之和”（簡(jiǎn)稱“1+2”），這一結(jié)論十分接近歌德巴赫猜想的解，被國(guó)際上稱為“陳氏定理”。 情景二：多面體的歐拉公式 雖然，歌德巴赫的猜想還不能證明，但他的這種猜想方法在定理發(fā)現(xiàn)中很有用。大數(shù)學(xué)家歐拉，也是通過觀察一些簡(jiǎn)單的多面體，然后發(fā)現(xiàn)多面體的歐拉公式的。 下面請(qǐng)同學(xué)們數(shù)一數(shù)下列圖中的凸多面體的面數(shù)F、頂點(diǎn)數(shù)V和棱數(shù)E，然后一起把表格填完整。 多面體 面數(shù)(F) 頂點(diǎn)數(shù)(V) 棱數(shù)(E) 三棱錐 四棱錐 三棱柱 五棱錐 立方體 正八面體 五棱柱 截角正方體 尖頂塔 問題4：歐拉從中發(fā)現(xiàn)了公式，你們發(fā)現(xiàn)了嗎？ ____________________________________ 情景三：生活中的猜想 人們發(fā)現(xiàn)，只要有一年冬季下了大雪，那么第二年莊稼就會(huì)獲得豐收，而沒有發(fā)現(xiàn)相反情況，于是，人們作出了一個(gè)猜想：“瑞雪兆豐年”。 這樣的猜想生活中還有很多，例如每次下大雨之前，都有螞蟻搬家的現(xiàn)象，于是，我們就據(jù)此作出一個(gè)猜想：“凡螞蟻搬家，天必下雨” 問題5：在上面幾個(gè)例子中，大家有沒有發(fā)現(xiàn)它們有什么共同的特點(diǎn)？ 它們都是從個(gè)別事實(shí)中推演出一般的結(jié)論，像這樣的推理通常稱為歸納推理，簡(jiǎn)稱歸納法。 歸納推理的思維過程大致如下： 猜測(cè)一般性的結(jié)論 概括、推廣 實(shí)驗(yàn)、觀察 歸納推理的一般模式為： S1具有P， S2具有P， …… Sn具有P（S1，S2，……，Sn是A類事實(shí)的對(duì)象） 所以，A類事物都具有P。 互動(dòng)實(shí)驗(yàn)： 道具：兩袋玻璃棋子（其中一袋都是黑的；一袋中除一個(gè)黑的外其余都是白的） 過程：請(qǐng)兩個(gè)學(xué)生上臺(tái)摸袋中的棋子，一次摸一個(gè)，摸了三次后，請(qǐng)他們作出一個(gè)歸納推理。 目的：說明歸納推理得到的結(jié)論不都是正確的。 問題6：為什么上面的實(shí)驗(yàn)可能會(huì)得到不正確的結(jié)論？ 因?yàn)闆]有全部摸出來，只檢查了幾個(gè)，就得出結(jié)論了。 像這樣只從幾個(gè)個(gè)別事例就推出結(jié)論的歸納法稱為不完全歸納法； 如果把全部情況都列舉出來的歸納法稱為完全歸納法。 完全歸納法考察的是某類事物的全部對(duì)象，所以它的結(jié)論一定是正確的。但它的運(yùn)用是有局限性的。如果某類事物的個(gè)別對(duì)象是無限的(如天體、原子)或者事實(shí)上是無法一一考察窮盡的，它就不能適用了。這時(shí)就只能運(yùn)用不完全歸納推理了。例如檢查一個(gè)大型生產(chǎn)廠的產(chǎn)品合格率。 課堂研學(xué)：“漢諾塔”問題 如圖有三根針和套在一根針上的若干金屬片，按下列規(guī)則，把金屬片從一根針上全部移到另一根針上。 ①、每次只能移動(dòng)1個(gè)金屬片；②、較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面。試推測(cè)：把n個(gè)金屬片從1號(hào)針移到3號(hào)針,最少需要移動(dòng)多少次? 2 3 1 課堂練習(xí)： （1）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，記，試通過計(jì)算的值，推測(cè)出的值。 （2）已知：，。觀察上述兩等式的規(guī)律，請(qǐng)你寫出一般性的命題，并證明之。 課堂總結(jié)： 問題7：通過以上學(xué)習(xí)，歸納推理具有什么特點(diǎn)？ （1）歸納推理的前提是幾個(gè)已知的特殊現(xiàn)象，歸納所得的結(jié)論是尚屬未知的一般現(xiàn)象，該結(jié)論超越了前提所包容的范圍。 （2）由歸納得到的結(jié)論具有猜測(cè)的性質(zhì)，結(jié)論是否真實(shí)，還需經(jīng)過邏輯證明和實(shí)踐檢驗(yàn)。因此，它不能作為數(shù)學(xué)證明的工具。 （3）歸納推理是一種具有創(chuàng)造性的推理，通過歸納推理得到的猜想，可以作為進(jìn)一步研究的起點(diǎn)，幫助人們發(fā)現(xiàn)問題和提出問題。 數(shù)學(xué)歸納法(1) 一、教學(xué)目標(biāo)： 1．了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，理解數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟。 2．掌握數(shù)學(xué)歸納法證明問題的方法 3．能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題。 二、教學(xué)重點(diǎn)：掌握數(shù)學(xué)歸納法的原理及證明問題的方法。 難點(diǎn)：能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題。 三、教學(xué)過程： 【創(chuàng)設(shè)情境】 1．華羅庚的“摸球?qū)嶒?yàn)”。 2．“多米諾骨牌實(shí)驗(yàn)”。 問題：如何保證所摸的球都是紅球？多米諾骨牌全部倒下？處了利用完全歸納法全部枚舉之外，是否還有其它方法？ 數(shù)學(xué)歸納法：數(shù)學(xué)歸納法實(shí)際上是一種以數(shù)學(xué)歸納法原理為依據(jù)的演繹推理，它將一個(gè)無窮的歸納過程轉(zhuǎn)化為一個(gè)有限步驟的演繹過程，是處理自然數(shù)問題的有力工具。 【探索研究】 1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)： 無窮的歸納→有限的演繹（遞推關(guān)系） 2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法公理： （1）（遞推奠基）：當(dāng)n取第一個(gè)值n0結(jié)論正確； （2）（遞推歸納）：假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*，且k≥n0)時(shí)結(jié)論正確；（歸納假設(shè)） 證明當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也正確。（歸納證明） 由(1)，(2)可知，命題對(duì)于從n0開始的所有正整數(shù)n都正確。 【例題評(píng)析】 例1：以知數(shù)列{an}的公差為d，求證： 說明：①歸納證明時(shí)，利用歸納假設(shè)創(chuàng)造遞推條件，尋求f(k+1)與f(k)的遞推關(guān)系，是解題的關(guān)鍵。 ②數(shù)學(xué)歸納法證明的基本形式； （1）（遞推奠基）：當(dāng)n取第一個(gè)值n0結(jié)論正確； （2）（遞推歸納）：假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*，且k≥n0)時(shí)結(jié)論正確；（歸納假設(shè)） 證明當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也正確。（歸納證明） 由(1)，(2)可知，命題對(duì)于從n0開始的所有正整數(shù)n都正確。 EX: 1.判斷下列推證是否正確。 P88 2,3 2. 用數(shù)學(xué)歸納法證明 　　　　　　 例2：用數(shù)學(xué)歸納法證明(n∈N,n≥2) 說明：注意從n=k到n=k+1時(shí),添加項(xiàng)的變化。 EX:1.用數(shù)學(xué)歸納法證明: (1)當(dāng)n=1時(shí),左邊有_____項(xiàng),右邊有_____項(xiàng)； (2)當(dāng)n=k時(shí),左邊有_____項(xiàng),右邊有_____項(xiàng)； (3)當(dāng)n=k+1時(shí),左邊有_____項(xiàng),右邊有_____項(xiàng)； (4)等式的左右兩邊,由n=k到n=k+1時(shí)有什么不同? 變題: 用數(shù)學(xué)歸納法證明 (n∈N+) 例3：設(shè)f(n)=1+,求證n+f(1)+f(2)+…f(n-1)=nf(n) (n∈N,n≥2) 說明：注意分析f(k)和f(k+1)的關(guān)系。 【課堂小結(jié) 1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法公理： （1）（遞推奠基）：當(dāng)n取第一個(gè)值n0結(jié)論正確； （2）（遞推歸納）：假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*，且k≥n0)時(shí)結(jié)論正確；（歸納假設(shè)） 證明當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也正確。（歸納證明） 由(1)，(2)可知，命題對(duì)于從n0開始的所有正整數(shù)n都正確。 2. 注意從n=k到n=k+1時(shí),添加項(xiàng)的變化。利用歸納假設(shè)創(chuàng)造遞推條件，尋求f(k+1)與f(k)的遞推關(guān)系. 【反饋練習(xí)】 1．用數(shù)學(xué)歸納法證明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步應(yīng)驗(yàn)證( ) A n=1 B n=2 C n=3 D n=4 2．用數(shù)學(xué)歸納法證明第二步證明從“k到k+1”，左端增加的項(xiàng)數(shù)是( ) A. B C D 3．若n為大于1的自然數(shù)，求證 證明 (1)當(dāng)n=2時(shí)， (2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立，即 4．用數(shù)學(xué)歸納法證明 【課外作業(yè)】 《課標(biāo)檢測(cè)》 數(shù)學(xué)歸納法(2) 一、教學(xué)目標(biāo)： 1．了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，理解數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟。 2．掌握數(shù)學(xué)歸納法證明問題的方法，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題 3．能通過“歸納-猜想-證明”處理問題 二、教學(xué)重點(diǎn)：能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題。 難點(diǎn)：歸納→猜想→證明。 三、教學(xué)過程： 【創(chuàng)設(shè)情境】 問題1：數(shù)學(xué)歸納法的基本思想？ 以數(shù)學(xué)歸納法原理為依據(jù)的演繹推理，它將一個(gè)無窮歸納（完全歸納）的過程，轉(zhuǎn)化為一個(gè)有限步驟的演繹過程。（遞推關(guān)系） 問題2：數(shù)學(xué)歸納法證明命題的步驟？ （1）遞推奠基：當(dāng)n取第一個(gè)值n0結(jié)論正確； （2）遞推歸納：假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*，且k≥n0)時(shí)結(jié)論正確；（歸納假設(shè)） 證明當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也正確。（歸納證明） 由(1)，(2)可知，命題對(duì)于從n0開始的所有正整數(shù)n都正確。 數(shù)學(xué)歸納法是直接證明的一種重要方法，應(yīng)用十分廣泛，主要體現(xiàn)在與正整數(shù)有關(guān)的恒等式、不等式；數(shù)的整除性、幾何問題；探求數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和等問題。 【探索研究】 問題：用數(shù)學(xué)歸納法證明：能被9整除。 法一：配湊遞推假設(shè)： 法二：計(jì)算f(k+1)-f(k)，避免配湊。 說明：①歸納證明時(shí)，利用歸納假設(shè)創(chuàng)造條件，是解題的關(guān)鍵。 ②注意從“n=k到n=k+1”時(shí)項(xiàng)的變化。 【例題評(píng)析】 例1：求證: 能被整除（n∈N+）。 例2：數(shù)列{an}中，,a1=1且 （1）求的值； （2）猜想{an}的通項(xiàng)公式，并證明你的猜想。 說明：用數(shù)學(xué)歸納法證明問題的常用方法：歸納→猜想→證明 變題：（2002全國(guó)理科）設(shè)數(shù)列{an}滿足，n∈N+, (1)當(dāng)a1=2時(shí)，求，并猜想{an}的一個(gè)通項(xiàng)公式； （2）當(dāng)a1≥3時(shí)，證明對(duì)所有的n≥1,有 ①an≥n+2 ② 例3：平面內(nèi)有n條直線，其中任何兩條不平行，任何三條直線不共點(diǎn)，問：這n條直線將平面分成多少部分？ 變題：平面內(nèi)有n個(gè)圓，其中每?jī)蓚€(gè)圓都相交與兩點(diǎn)，且每三個(gè)圓都不相交于同一點(diǎn)，求證：這n個(gè)圓把平面分成n2+n+2個(gè)部分。 例4：設(shè)函數(shù)f(x)是滿足不等式,(k∈N+)的自然數(shù)x的個(gè)數(shù)； （１）求f(x)的解析式； （２）記Sn=f(1)+f(2)+…+f(n),求Sn的解析式； （３）令Ｐn=n2+n-1 (n∈N+),試比較Ｓn與Ｐn的大小。 【課堂小結(jié)】 1.猜歸法是發(fā)現(xiàn)與論證的完美結(jié)合 數(shù)學(xué)歸納法證明正整數(shù)問題的一般方法： 歸納→猜想→證明。 2.兩個(gè)注意： （1）是否用了歸納假設(shè)？ （2）從n=k到n=k+1時(shí)關(guān)注項(xiàng)的變化？ 【反饋練習(xí)】 1 觀察下列式子 …則可歸納出____ (n∈N*) 1．用數(shù)學(xué)歸納法證明 2．已知數(shù)列計(jì)算根據(jù)計(jì)算結(jié)果，猜想的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明。 3.是否存在常數(shù)a、b、c，使等式 對(duì)一切都成立？并證明你的結(jié)論. 【課外作業(yè)】 《課標(biāo)檢測(cè)》 數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用 　　數(shù)學(xué)歸納法是高中數(shù)學(xué)中一種重要的數(shù)學(xué)方法，常常以觀察、試驗(yàn)、類比、聯(lián)想、歸納提出合理的科學(xué)猜想，通過數(shù)學(xué)歸納法的證明可以保證猜想的合理性與正確性．廣泛的用來證明等式、不等式、整除性問題等與自然數(shù)有關(guān)的命題．下面舉例說明數(shù)學(xué)歸納法的幾種應(yīng)用． 　　一、等式問題 　　例1　已知，求證：． 　　證明：（1）當(dāng)時(shí)，等式左邊，右邊，等式成立． 　?。?）假設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立．即 　　． 　　則當(dāng)時(shí)， 　　 。 　　∴當(dāng)時(shí)，等式成立． 　　綜上，由（1）和（2）可知，對(duì)于任何，等式成立． 　　評(píng)注：本題在證明過程中突出了一個(gè)湊字，即“湊”結(jié)論，關(guān)鍵是明確時(shí)證明的目標(biāo)，充分考慮由到時(shí)，命題形式之間的區(qū)別和聯(lián)系． 　　二、不等式問題 　　例2　求證：． 　　證明：（1）當(dāng)n=2時(shí)，左邊，不等式成立． 　?。?）假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，即． 　　則當(dāng)時(shí)， 　　 ， 　　所以當(dāng)時(shí)不等式也成立． 　　由（1）和（2）可知，原不等式對(duì)一切，均成立． 　　評(píng)注：本題在由到時(shí)的推證過程中應(yīng)用了“放縮”的技巧，使問題簡(jiǎn)單化，這是利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)常用的方法之一． 　　三、整除性問題 　　例3　利用數(shù)學(xué)歸納法證明能被9整除． 　　證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，（31＋1）７1－1＝2７，能被9整除，所以命題成立． 　?。?）假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，即能被9整除． 　　那么當(dāng)時(shí)， 　　 ． 　　由歸納假設(shè)知，能被9整除，而也能被9整除，故能被9整除． 　　這就是說，當(dāng)時(shí)，命題也成立 　　由（1）和（2）可知，對(duì)一切，都能被9整除． 評(píng)注：涉及整除問題，常利用提取公因式湊成假設(shè)、湊出整除式等方法，其中等價(jià)變換的技巧性較強(qiáng)． 歸納 猜想 證明 　　“歸納——猜想——證明”是一種重要的思維模式，也是數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用的重點(diǎn)題型．解這類問題，需從特殊情況入手，通過觀察、分析、歸納、概括、猜想出一般規(guī)律，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明．其中解題的關(guān)鍵在于正確的歸納猜想，下面舉例說明． 　　例1　是否存在常數(shù)a、b、c，使得等式對(duì)一切成立？并證明你的結(jié)論 　　分析：可先進(jìn)行計(jì)算，找到a、b、c的值，再歸納猜想，最后證明． 　　解：假設(shè)存在常數(shù)a、b、c使上式對(duì)均成立， 　　則當(dāng)時(shí)上式顯然也成立，此時(shí)可得 　　， 　　解此方程組，可得． 　　下面用數(shù)學(xué)歸納法證明等式對(duì)一切均成立． 　　當(dāng)時(shí)，命題顯然成立． 　　假設(shè)時(shí)，命題成立． 　　即， 　　那么當(dāng)時(shí)， 　　 ． 　　即當(dāng)時(shí)，命題成立． 　　綜上所述，存在常數(shù)， 使得等式對(duì)一切均成立． 　　例2　數(shù)列滿足，前n項(xiàng)和，求數(shù)列的通項(xiàng)公式． 　　分析：該題未給出猜想信息，可先創(chuàng)造條件得出結(jié)論，再證明． 　　解：∵，∴． 　　由變形整理，得， 　　取正根，得， 　　由及，得 　　，變形整理，得， 　　取正根，得． 　　同理，求得． 　　由此猜想． 　　下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： 　?。?）當(dāng)時(shí)，上面已求出，結(jié)論成立． 　?。?）假設(shè)當(dāng)，時(shí)，結(jié)論成立，即． 　　那么當(dāng)時(shí)， ， 　　整理，得，取正根，得， 　　故時(shí)，結(jié)論成立． 　　由（1）和（2），可知對(duì)任何，成立． 　　例3　已知是定義在上的不恒為零的函數(shù)，且對(duì)任意的都滿足：，若，，求證：． 　　分析：用歸納的思想方法，通過賦值、計(jì)算、猜想、證明四步完成． 　　證明：∵對(duì)任意都成立， 　　∴對(duì)于 　　當(dāng)時(shí)，； 　　當(dāng)時(shí)，； 　　當(dāng)時(shí)，； 　　…， 　　猜想．（※） 　　下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： 　?。?）當(dāng)時(shí)，，（※）式成立． 　　（2）假設(shè)時(shí)，（※）式成立，即， 　　當(dāng)時(shí)， ， 　　∴時(shí)，（※）式成立． 　　由（1）和（2），可知對(duì)任何，成立． 　　所以． 　　要證明結(jié)論成立，只需證明． 　　∵， 　　∴成立． 斐波那契級(jí)數(shù) 　　1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，在這些數(shù)中，從第3項(xiàng)開始，每一個(gè)數(shù)都是它前面的兩個(gè)數(shù)的和，例如，，等等，這就是著名的斐波那契級(jí)數(shù)． 　　斐波那契級(jí)數(shù)出現(xiàn)在意大利數(shù)學(xué)家斐波那契（Fibonacci，1174～1250）在1202年所著的《算盤書》中．書中是這樣提出問題的： 　　如果每對(duì)兔子每月能繁殖一對(duì)子兔，而子兔在出生后第二個(gè)月就有生殖能力，第三個(gè)月就生產(chǎn)一對(duì)兔子，以后每個(gè)月生產(chǎn)一對(duì)，假定每對(duì)兔子都是一雌一雄．試問一對(duì)兔子一年能繁殖多少對(duì)兔子？ 　　由這個(gè)問題得出的序列就是上面列出的序列．出人意料的是，這個(gè)序列在許多場(chǎng)合都出現(xiàn)．因此，我們需要對(duì)它作些探討．序列中的每一個(gè)數(shù)叫做斐波那契數(shù)．若第n個(gè)斐波那契數(shù)記為，則我們有，，，，，… 　　這個(gè)序列有下面的遞推關(guān)系 　?。? 　　斐波那契數(shù)的通項(xiàng)公式是 　?。? 　　這個(gè)公式是法國(guó)數(shù)學(xué)家比內(nèi)（Binet）求出的．我們用數(shù)學(xué)歸納法證明它． 　　斐波那契級(jí)數(shù)的構(gòu)造法告訴我們，從第3項(xiàng)開始，它的每一項(xiàng)都是前兩項(xiàng)之和，并且只有在給定了開頭的兩項(xiàng)之后，整個(gè)級(jí)數(shù)才能確定．所以在使用數(shù)學(xué)歸納法證明公式①時(shí)，需要對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的基本程序作變動(dòng)： 　?。?）公式①對(duì)，這兩種情況都正確； 　?。?）假定公式①對(duì)一切都成立，證明它對(duì)也正確． 　　證明：（1）為了下面的證明，我們需要算出 　?。? 　　類似地，，③ 　　從而，． 　?。?）當(dāng)時(shí)， ． 　?。?）當(dāng)時(shí)， ． 　　這就證明了當(dāng)和時(shí)公式①是正確的． 　　（4）設(shè)n是任意自然數(shù)，并假定公式①對(duì)一切都成立，證明它對(duì)正確．根據(jù)斐波那契數(shù)的定義，我們有 　　由②③，得 　　 ， 　　原命題得證． 　　斐波那契數(shù)是大自然的一個(gè)基本模式，它出現(xiàn)在許多場(chǎng)合．在花的花瓣中存在斐波那契模式．幾乎所有的花，其花瓣都是斐波那契數(shù)．例如百合花的花瓣有3瓣；梅花有5瓣；許多翠雀屬植物有8瓣；萬壽菊的花有13瓣；紫菀屬的植物有21瓣；大多數(shù)雛菊有34、55、89瓣．在向日葵的花盤內(nèi)葵花子的螺旋模式中也可以發(fā)現(xiàn)斐波那契級(jí)數(shù)． 數(shù)學(xué)歸納法證明的幾種常用方法 　　用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與自然數(shù)n有關(guān)的命題時(shí)，第二步是十分關(guān)鍵的步驟．怎樣才能從順利地過渡到呢？下面介紹幾種常用方法． 　　一、恰當(dāng)放縮 　　例１　已知n是大于1的自然數(shù)，，求證：． 　　分析：由已知可看到的形式很繁鎖，并且要證結(jié)論為不等式，則可聯(lián)想不等式的性質(zhì)對(duì)其適當(dāng)放縮，從而證得原命題． 　　證明：（1）當(dāng)時(shí)，，所以不等式成立． 　?。?）假設(shè)當(dāng)（，且）時(shí)，成立，則當(dāng)時(shí)，有 。 　　所以當(dāng)時(shí)原不等式也成立． 　　由（1）和（2），可知原不等式對(duì)任何大于1的自然數(shù)n都成立． 　　二、起點(diǎn)后移 　　例2　已知，求證：． 　　分析：可結(jié)合不等式關(guān)系：來證明，但注意要將奠基的起點(diǎn)后移，即在第一步證明中，不僅要證明時(shí)原不等式成立，還要證明當(dāng)時(shí)，原不等式也成立． 　　證明：（1）當(dāng)時(shí)，原不等式顯然成立 　　當(dāng)時(shí)，不等式左邊， 　　右邊，則左邊＞右邊， 　　∴當(dāng)時(shí)，原不等式成立． 　?。?）假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立， 則時(shí)， 　　 ． 　　所以當(dāng)時(shí)原不等式也成立． 　　由（1）和（2），可知原不等式對(duì)任何都成立． 　　三、增加跨度 　　例3　試證：任何一個(gè)正方形都可以分割成5個(gè)以上的任意多個(gè)正方形 　　分析：一個(gè)正方形分割成4個(gè)正方形是很容易的．由此猜想：若能把一個(gè)正方形分割成k個(gè)正方形，則必能分割成個(gè)正方形．故第一步應(yīng)對(duì)的情形加以驗(yàn)證．第二步，則只需從k遞推到k+3． 　　證明：（1）當(dāng)時(shí)，由以下各圖所示的分割方法知，命題成立． 　?。?）假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，即一個(gè)正方形必能分割成k個(gè)正方形．那么，只要把其中任意一個(gè)正方形兩組對(duì)邊的中點(diǎn)分別連結(jié)起來，即把該正方形再分割成4個(gè)小正方形，則正方形的個(gè)數(shù)就增加了3個(gè)．因而原正方形就分割成了個(gè)正方形，即當(dāng)時(shí)命題也成立． 　　因?yàn)槿魏我粋€(gè)大于5的自然數(shù)n都可以表示成中的一種形式，所以根據(jù)（1）和（2），可知命題對(duì)任何大于5的自然數(shù)n都成立． 　　四、強(qiáng)化命題 　　例4　已知，定義，且．試證明：對(duì)一切，都有． 　　分析：顯然有，但若假設(shè)，則很難由遞推公式推得．為此，必須知道小于什么數(shù)值才行． 　　其實(shí)，要使，即，只須．所以本題可轉(zhuǎn)化為證明如下更強(qiáng)的不等式 　?。? 　　證明：（1）當(dāng)時(shí)，顯然有． 　　又因?yàn)椋? 　　所以． 　　（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，則有 　　 　　， 　　所以，即當(dāng)時(shí)不等式①也成立． 　　由（1）和（2），可知對(duì)任何，不等式①都成立，從而原命題獲證． 注意：除了上述四種常用方法外，還有拆項(xiàng)添項(xiàng)、作差（作商）等方法．同學(xué)們?cè)谧C明過程中，要結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用． 蘇教選修（2-2）2.3數(shù)學(xué)歸納法導(dǎo)學(xué) 　　一、數(shù)學(xué)歸納法的原理及其概念 　　如果（1）當(dāng)n取第一個(gè)值（例如等）時(shí)結(jié)論正確； 　?。?）假設(shè)當(dāng)（，且）時(shí)結(jié)論正確，證明當(dāng)時(shí)結(jié)論也正確； 　　那么，命題對(duì)于從開始的所有正整數(shù)n都成立． 　　這就是數(shù)學(xué)歸納法公理，它是證明與自然數(shù)有關(guān)的命題的依據(jù)． 　　補(bǔ)充說明：（1）數(shù)學(xué)歸納法適用于與正整數(shù)有關(guān)的問題，常用來證明用不完全歸納得到的結(jié)論．要有強(qiáng)烈的數(shù)學(xué)歸納法與正整數(shù)之間的對(duì)應(yīng)意識(shí)，做到看到有關(guān)正整數(shù)的證明問題，馬上想到是否可以用數(shù)學(xué)歸納法來證明． 　　（2）“數(shù)學(xué)歸納法”與“歸納法”不同，“歸納法”是由一系列有限的特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法，而“數(shù)學(xué)歸納法”是一種有關(guān)正整數(shù)問題的證明方法．“歸納法”通常可分為完全歸納法和不完全歸納法，其中完全歸納法的結(jié)論是正確的，而不完全歸納法得出的結(jié)論則不一定正確．而用“數(shù)學(xué)歸納法”證明的結(jié)論必是正確的． 　　二、用數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個(gè)步驟及其作用 　　數(shù)學(xué)歸納法的定義即是證題的步驟，在證明過程中必須按步驟進(jìn)行．其中，第一步是奠基步驟，是論證命題成立的基礎(chǔ)保證，也稱為歸納基礎(chǔ)（又稱特殊性）；第二步是遞推步驟，是解決命題具有后繼傳遞性的保證（又稱延續(xù)性），即只要命題對(duì)于某個(gè)正整數(shù)成立，就能保證該命題對(duì)于后續(xù)正整數(shù)都成立．這兩個(gè)步驟相輔相成，缺一不可． 　　三、證明中應(yīng)注意的幾個(gè)問題 　　1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法第一步中的“第一個(gè)數(shù)”不一定就是“1”，也可能是“2”或其它數(shù)，要根據(jù)題意準(zhǔn)確選擇． 　　2．注意n與k的不同，理解和書寫時(shí)不要弄混． 　　3．第二步中要準(zhǔn)確把握由到時(shí)，要證明的結(jié)論中到底需要添加（或舍去）哪些項(xiàng)，如用數(shù)學(xué)歸納法證明某數(shù)列問題時(shí)，當(dāng)時(shí)有，則n＝k＋1時(shí)有Ｓk+1=+++…＋+++…＋，不要弄錯(cuò)． 　　4．在證明第二步命題成立時(shí)，必須使用歸納假設(shè)，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法．在初學(xué)數(shù)學(xué)歸納法時(shí)常易犯不用歸納假設(shè)，而直接運(yùn)用相關(guān)公式（如數(shù)列的有關(guān)公式）的錯(cuò)誤，需特別注意．應(yīng)通過例題和習(xí)題體會(huì)和練習(xí)怎樣使用歸納假設(shè)，通過錯(cuò)例分析體會(huì)怎樣避免不用歸納假設(shè)的情況． 　　5．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵在第二步，要能真正地證明結(jié)論正確才行，切忌證不出而直接說結(jié)論成立．證明過程可以用綜合法，也可以用分析法或其它方法．為證n=k+1時(shí)結(jié)論成立，對(duì)條件和結(jié)論進(jìn)行各種各樣的恒等變形是必要的和必須的，常見變形技巧有提公因式、配方（可參閱課本）、恰當(dāng)放縮、起點(diǎn)后移、增加跨度、強(qiáng)化命題、添項(xiàng)拆項(xiàng)等（可參閱第四版文章《幫你順利“過渡”》）．另外，不妨先把時(shí)的結(jié)論寫出來，為證明提供方向． 　　6．?dāng)?shù)學(xué)歸納法中的兩步缺一不可，否則結(jié)論不能成立．只有第一步，只能證明特殊情況，無法延續(xù)；只有第二步，沒有奠基，可能會(huì)推出錯(cuò)誤的結(jié)論．