1 1第4節(jié)雙曲線 課時(shí)訓(xùn)練 練題感 提知能【選題明細(xì)表】知識(shí)點(diǎn)、方法題號(hào)雙曲線的定義1、4、6雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程3、5、7雙曲線的幾何性質(zhì)2、8、9、10、16直線與雙曲線的位置關(guān)系11、13綜合應(yīng)用問題12、14、15A組一、選擇題1.設(shè)P是雙曲線x216-y220=1上一點(diǎn),F1,F2分別是雙曲線左右兩個(gè)焦點(diǎn),若|PF1|=9,則|PF2|等于(B)(A)1 (B)17(C)1或17(D)以上答案均不對(duì)解析:由雙曲線定義|PF1|-|PF2|=8,又|PF1|=9,|PF2|=1或17,但應(yīng)注意雙曲線的右頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離最小為c-a=6-4=2>1,|PF2|=17.故選B.2.(高考湖北卷)已知0<<4,則雙曲線C1:x2sin2-y2cos2=1與C2:y2cos2-x2sin2=1的(D)(A)實(shí)軸長(zhǎng)相等(B)虛軸長(zhǎng)相等(C)離心率相等(D)焦距相等解析:雙曲線C1的半焦距c1=sin2+cos2=1,雙曲線C2的半焦距c2=cos2+sin2=1,故選D.3.(高考湖南卷)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1的焦距為10,點(diǎn)P(2,1)在C的漸近線上,則C的方程為(A)(A)x220-y25=1(B)x25-y220=1(C)x280-y220=1(D)x220-y280=1解析:由焦距為10,知2c=10,c=5.將P(2,1)代入y=bax得a=2b.a2+b2=c2,5b2=25,b2=5,a2=4b2=20,所以方程為x220-y25=1.故選A.4.已知F1、F2為雙曲線C:x2-y2=2的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P在C上,|PF1|=2|PF2|,則cosF1PF2等于(C)(A)14(B)35(C)34(D)45解析:c2=2+2=4,c=2,2c=|F1F2|=4,由題可知|PF1|-|PF2|=2a=22,|PF1|=2|PF2|,|PF2|=22,|PF1|=42,由余弦定理可知cosF1PF2=(42)2+(22)2-422×42×22=34.故選C.5.設(shè)橢圓C1的離心率為513,焦點(diǎn)在x軸上且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為26,若曲線C2上的點(diǎn)到橢圓C1的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于8,則曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為(A)(A)x242-y232=1(B)x2132-y252=1(C)x232-y242=1(D)x2132-y2122=1解析:在橢圓C1中,因?yàn)閑=513,2a=26,即a=13,所以橢圓的焦距2c=10,則橢圓兩焦點(diǎn)為(-5,0),(5,0),根據(jù)題意,可知曲線C2為雙曲線,根據(jù)雙曲線的定義可知,雙曲線C2中的2a2=8,焦距與橢圓的焦距相同,即2c2=10,可知b2=3,所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x242-y232=1.故選A.二、填空題6.(高考遼寧卷)已知F為雙曲線C:x29-y216=1的左焦點(diǎn),P,Q為C上的點(diǎn).若PQ的長(zhǎng)等于虛軸長(zhǎng)的2倍,點(diǎn)A(5,0)在線段PQ上,則PQF的周長(zhǎng)為. 解析:由題知,雙曲線中a=3,b=4,c=5,則|PQ|=16,又因?yàn)閨PF|-|PA|=6,|QF|-|QA|=6,所以|PF|+|QF|-|PQ|=12,|PF|+|QF|=28,則PQF的周長(zhǎng)為44.答案:447.已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率e=2,且它的一個(gè)頂點(diǎn)到較近焦點(diǎn)的距離為1,則雙曲線C的方程為. 解析:雙曲線中,頂點(diǎn)與較近焦點(diǎn)距離為c-a=1,又e=ca=2,兩式聯(lián)立得a=1,c=2,b2=c2-a2=4-1=3,方程為x2-y23=1.答案:x2-y23=18.(20xx韶關(guān)模擬)設(shè)點(diǎn)P是雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)與圓x2+y2=a2+b2在第一象限的交點(diǎn),其中F1,F2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn),若tan PF2F1=3,則雙曲線的離心率為. 解析:依題意得PF1PF2,tan PF2F1=|PF1|PF2|=3,|PF1|=3|PF2|,設(shè)|PF1|=k,則|PF2|=3k,|PF1|2+|PF2|2=10k2=|F1F2|2=4c2,又2a=|PF1|-|PF2|=2|PF2|=2k,即a=k,e=ca=102,即雙曲線的離心率為102.答案:1029.(高考湖南卷)設(shè)F1,F2是雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn).若在C上存在一點(diǎn)P,使PF1PF2,且PF1F2=30°,則C的離心率為. 解析:設(shè)點(diǎn)P在雙曲線右支上,由題意,在RtF1PF2中,|F1F2|=2c,PF1F2=30°,得|PF2|=c,|PF1|=3c,|PF1|-|PF2|=2a,(3-1)c=2a,e=ca=23-1=3+1.答案:3+110.設(shè)F1、F2分別為雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn).若在雙曲線右支上存在點(diǎn)P,滿足|PF2|=|F1F2|,且F2到直線PF1的距離等于雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng),則該雙曲線的漸近線方程為. 解析:如圖,由題意得|PF2|=|F1F2|=2c,|F2M|=2a.在PF2M中,|PF2|2=|F2M|2+|PM|2,而|PM|=12|PF1|,又|PF1|-|PF2|=2a,|PF1|=2a+2c,即|PM|=a+c.|PF2|2=(2c)2=(2a)2+(a+c)2.又c2=a2+b2,ba=43,漸近線方程為y=±43x,即4x±3y=0.答案:4x±3y=0三、解答題11.已知雙曲線x2-y22=1,過點(diǎn)P(1,1)能否作一條直線l,與雙曲線交于A、B兩點(diǎn),且點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)?解:法一設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)在雙曲線上,且線段AB的中點(diǎn)為(x0,y0),若直線l的斜率不存在,顯然不符合題意.設(shè)經(jīng)過點(diǎn)P的直線l的方程為y-1=k(x-1),即y=kx+1-k.由y=kx+1-k,x2-y22=1,得(2-k2)x2-2k(1-k)x-(1-k)2-2=0(2-k20).x0=x1+x22=k(1-k)2-k2.由題意,得k(1-k)2-k2=1,解得k=2.當(dāng)k=2時(shí),方程成為2x2-4x+3=0.=16-24=-8<0,方程沒有實(shí)數(shù)解.不能作一條直線l與雙曲線交于A,B兩點(diǎn),且點(diǎn)P(1,1)是線段AB的中點(diǎn).法二設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),若直線l的斜率不存在,即x1=x2不符合題意,所以由題得x12-y122=1,x22-y222=1,兩式相減得(x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)2=0,即2-y1-y2x1-x2=0,即直線l斜率k=2,得直線l方程y-1=2(x-1),即y=2x-1,聯(lián)立y=2x-1,x2-y22=1得2x2-4x+3=0,=16-24=-8<0,即直線y=2x-1與雙曲線無交點(diǎn),即所求直線不合題意,所以過點(diǎn)P(1,1)的直線l不存在.12.(20xx南京質(zhì)檢)中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的一橢圓與一雙曲線有共同的焦點(diǎn)F1,F2,且|F1F2|=213,橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與雙曲線實(shí)半軸長(zhǎng)之差為4,離心率之比為37.(1)求這兩曲線方程;(2)若P為這兩曲線的一個(gè)交點(diǎn),求cosF1PF2的值.解:(1)由已知c=13,設(shè)橢圓長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)分別為a、b,雙曲線實(shí)半軸、虛半軸長(zhǎng)分別為m、n,則a-m=4,7·13a=3·13m,解得a=7,m=3.b=6,n=2.橢圓方程為x249+y236=1,雙曲線方程為x29-y24=1.(2)不妨設(shè)F1、F2分別為左、右焦點(diǎn),P是第一象限的一個(gè)交點(diǎn),則|PF1|+|PF2|=14,|PF1|-|PF2|=6,|PF1|=10,|PF2|=4.又|F1F2|=213,cosF1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|PF2|=102+42-(213)22×10×4=45.13.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(b>a>0),O為坐標(biāo)原點(diǎn),離心率e=2,點(diǎn)M(5,3)在雙曲線上.(1)求雙曲線的方程;(2)若直線l與雙曲線交于P,Q兩點(diǎn),且OP·OQ=0.求1|OP|2+1|OQ|2的值.解:(1)e=2,c=2a,b2=c2-a2=3a2,雙曲線方程為x2a2-y23a2=1,即3x2-y2=3a2.點(diǎn)M(5,3)在雙曲線上,15-3=3a2.a2=4.所求雙曲線的方程為x24-y212=1.(2)設(shè)直線OP的方程為y=kx(k0),聯(lián)立x24-y212=1,得x2=123-k2,y2=12k23-k2,|OP|2=x2+y2=12(k2+1)3-k2.則OQ的方程為y=-1kx,有|OQ|2=12(1+1k2)3-1k2=12(k2+1)3k2-1,1|OP|2+1|OQ|2=3-k2+(3k2-1)12(k2+1)=2+2k212(k2+1)=16.B組14.已知點(diǎn)P在曲線C1:x216-y29=1上,點(diǎn)Q在曲線C2:(x-5)2+y2=1上,點(diǎn)R在曲線C3:(x+5)2+y2=1上,則|PQ|-|PR|的最大值是(C)(A)6(B)8(C)10(D)12解析:依題意知P在曲線C1的左支上時(shí)|PQ|-|PR|取到最大值,|PQ|的最大值為|PC2|+1,|PR|的最小值為|PC3|-1,則|PQ|-|PR|的最大值是|PC2|+1-(|PC3|-1)=|PC2|-|PC3|+2=8+2=10.故選C.15.從雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)F引圓x2+y2=a2的切線,切點(diǎn)為T,延長(zhǎng)FT交雙曲線右支于點(diǎn)P,若M為線段FP的中點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則|MO|-|MT|與b-a的大小關(guān)系為(B)(A)|MO|-|MT|>b-a(B) |MO|-|MT|=b-a(C)|MO|-|MT|<b-a(D)不確定解析:如圖所示,取雙曲線的右焦點(diǎn)為F',M為PF的中點(diǎn),|MF|=12|PF|.RtOFT中,|OT|=a,|OF|=c,|FT|=b,連接OM,PF',則|OM|=12|PF'|,|MO|-|MT|=12|PF'|-(|MF|-|FT|)=12|PF'|-12|PF|+b=-a+b=b-a.故選B.16.設(shè)點(diǎn)P在雙曲線x2a2-y2b2=1(a,b>0)的右支上,雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,若|PF1|=4|PF2|,則雙曲線離心率的取值范圍是. 解析:由雙曲線的定義得|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|=4|PF2|,所以4|PF2|-|PF2|=2a,所以|PF2|=23a,|PF1|=83a,所以83ac+a,23ac-a,整理得53ac,所以ca53,即e53,又e>1,所以1<e53.答案:1<e53