二一般形式的柯西不等式課后篇鞏固探究A組1.已知a,b,c均大于0,A=a2+b2+c23,B=a+b+c3,則A,B的大小關(guān)系是()A.A>BB.ABC.A<BD.AB解析因為(12+12+12)(a2+b2+c2)(a+b+c)2,所以a2+b2+c23(a+b+c)29,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時,等號成立.又a,b,c均大于0,所以a+b+c>0,所以a2+b2+c23a+b+c3.答案B2.若x2+y2+z2=1,則x+y+2z 的最大值等于()A.2B.4C.2D.8解析由柯西不等式,可得12+12+(2)2(x2+y2+z2)(x+y+2z)2,即(x+y+2z)24,因此x+y+2z2當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z2,即x=12,y=12,z=22時,等號成立,即x+y+2z的最大值等于2.答案A3.已知a12+a22+an2=1,x12+x22+xn2=1,則a1x1+a2x2+anxn的最大值是()A.1B.2C.3D.4解析(a1x1+a2x2+anxn)2(a12+a22+an2)(x12+x22+xn2)=11=1,a1x1+a2x2+anxn的最大值是1.答案A4.設(shè)a,b,c均為正數(shù)且a+b+c=9,則4a+9b+16c的最小值為()A.81B.49C.9D.7解析由柯西不等式,可得4a+9b+16c=19(a+b+c)4a+9b+16c19a2a+b3b+c4c2=1981=9,當(dāng)且僅當(dāng)a2=b3=c4,即a=2,b=3,c=4時,等號成立,故所求最小值為9.答案C5.已知x,y是實數(shù),則x2+y2+(1-x-y)2的最小值是()A.16B.13C.6D.3解析由柯西不等式,得(12+12+12)x2+y2+(1-x-y)2x+y+(1-x-y)2=1,即x2+y2+(1-x-y)213,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1-x-y,即x=y=13時,x2+y2+(1-x-y)2取得最小值13.答案B6.已知a,b,c>0,且a+b+c=1,則4a+1+4b+1+4c+1的最大值為.解析由柯西不等式,得(4a+1+4b+1+4c+1)2=(14a+1+14b+1+14c+1)2(12+12+12)(4a+1+4b+1+4c+1)=34(a+b+c)+3=21.當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=13時,取等號.故4a+1+4b+1+4c+1的最大值為21.答案217.設(shè)a,b,c是正實數(shù),且a+b+c=9,則2a+2b+2c的最小值為.解析因為(a+b+c)2a+2b+2c=(a)2+(b)2+(c)22a2+2b2+2c2a2a+b2b+c2c2=18,所以2a+2b+2c2當(dāng)且僅當(dāng)a2=b2=c2,即a=b=c=3時,等號成立,故2a+2b+2c的最小值為2.答案28.設(shè)a,b,c,x,y,z都是正數(shù),且a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36,ax+by+cz=30,則a+b+cx+y+z=.解析由柯西不等式知2536=(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)(ax+by+cz)2=302=2536,當(dāng)且僅當(dāng)ax=by=cz=k時,等號成立.由k2(x2+y2+z2)2=2536,解得k=56,所以a+b+cx+y+z=k=56.答案569.已知a+b+c=1,且a,b,c是正數(shù),求證2a+b+2b+c+2c+a9.證明左邊=2(a+b+c)1a+b+1b+c+1c+a=(a+b)+(b+c)+(c+a)1a+b+1b+c+1c+a(1+1+1)2=9.當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=13時,等號成立,故原不等式成立.10.已知x,y,zR,且x-2y-3z=4,求x2+y2+z2的最小值.解由柯西不等式,得x+(-2)y+(-3)z212+(-2)2+(-3)2(x2+y2+z2),即(x-2y-3z)214(x2+y2+z2),所以1614(x2+y2+z2).因此x2+y2+z287,當(dāng)且僅當(dāng)x=y-2=z-3,即當(dāng)x=27,y=-47,z=-67時,x2+y2+z2的最小值為87.B組1.已知x2+y2+z2=1,則x+2y+2z的最大值為()A.1B.2C.3D.4解析由柯西不等式,得(x+2y+2z)2(12+22+22)(x2+y2+z2)=9,所以-3x+2y+2z3.當(dāng)且僅當(dāng)|x|=y2=z2時,等號成立.所以x+2y+2z的最大值為3.答案C2.導(dǎo)學(xué)號26394054已知a,b,c為正實數(shù),且a+2b+3c=9,則3a+2b+c的最大值等于()A.39B.13C.13D.18解析3a+2b+c=3a+2b+133c3+1+13(a+2b+3c)=39當(dāng)且僅當(dāng)a3=2b1=3c13時,等號成立,故最大值為39.答案A3.設(shè)a,b,c為正數(shù),則(a+b+c)4a+9b+36c的最小值是.解析(a+b+c)4a+9b+36c=(a)2+(b)2+(c)22a2+3b2+6c2a2a+b3b+c6c2=(2+3+6)2=121.當(dāng)且僅當(dāng)a2=b3=c6時,等號成立.答案1214.設(shè)x,y,zR,2x+2y+z+8=0,則(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2的最小值為.解析2x+2y+z+8=02(x-1)+2(y+2)+(z-3)=-9.考慮以下兩組向量:u=(2,2,1),v=(x-1,y+2,z-3),由柯西不等式,得(uv)2|u|2|v|2,即2(x-1)+2(y+2)+(z-3)2(22+22+12)(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2.所以(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2(-9)29=9,當(dāng)且僅當(dāng)x=-1,y=-4,z=2時,等號成立,此時取得最小值9.答案95.導(dǎo)學(xué)號26394055已知x1,x2,x3,x4為實數(shù),且x1+x2+x3+x4=6,x12+x22+x32+x42=12,求證0xi3(i=1,2,3,4).證明由柯西不等式,得(x2+x3+x4)2(1+1+1)(x22+x32+x42),由題設(shè)條件,得x2+x3+x4=6-x1,x22+x32+x42=12-x12,代入上式,得(6-x1)23(12-x12),36-12x1+x1236-3x12,4x12-12x10,0x13,同理可證0xi3(i=2,3,4).綜上所述,0xi3(i=1,2,3,4).6.導(dǎo)學(xué)號26394056設(shè)實數(shù)a,b,c,d,e滿足a+b+c+d+e=8,且a2+b2+c2+d2+e2=16,試確定e的最大值.解由已知,得a+b+c+d=8-e,a2+b2+c2+d2=16-e2,所以(8-e)2=(a+b+c+d)2(a2+b2+c2+d2)(12+12+12+12)=4(16-e2),化簡,得5e2-16e00e165,故emax=165.