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2、 1 專題突破練(五)　平面解析幾何中的高考熱點問題 (對應學生用書第309頁) 1．設F1，F2分別是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，M是C上一點且MF2與x軸垂直，直線MF1與C的另一個交點為N. (1)若直線MN的斜率為，求C的離心率； (2)若直線MN在y軸上的截距為2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b. [解]　(1)根據c＝及題設知M，＝，2b

3、2＝3ac. 將b2＝a2－c2代入2b2＝3ac， 解得＝，＝－2(舍去)． 故C的離心率為. (2)由題意，原點O為F1F2的中點，MF2∥y軸， 所以直線MF1與y軸的交點D(0,2)是線段MF1的中點， 故＝4，即b2＝4a.① 由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|. 設N(x1，y1)，由題意知y1<0，則 即 代入C的方程，得＋＝1.② 將①及c＝代入②得＋＝1. 解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2. 2．(20xx·海口調研)已知橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)經過點，離心率為，點O為坐標原點． 圖2 (1)求橢圓E的標準方

4、程； (2)如圖2，過橢圓E的左焦點F任作一條不垂直于坐標軸的直線l，交橢圓E于P，Q兩點，記弦PQ的中點為M, 過F作PQ的垂線FN交直線OM于點N，證明：點N在一條定直線上． [解]　(1)由題易得解得 所以c＝2，所以橢圓E的方程為＋y2＝1. (2)證明：設直線l的方程為 y＝k(x＋2)(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 聯立y＝k(x＋2)與＋y2＝1， 可得(1＋5k2)x2＋20k2x＋20k2－5＝0， 所以x1＋x2＝－，x1x2＝. 設直線FN的方程為y＝－(x＋2)，M(x0，y0)， 則x0＝＝－，y0＝k(x0＋2)＝， 所以kO

5、M＝＝－， 所以直線OM的方程為y＝－x， 聯立解得 所以點N在定直線x＝－上． 3．(20xx·合肥二檢)如圖3，已知拋物線E：y2＝2px(p＞0)與圓O：x2＋y2＝8相交于A，B兩點，且點A的橫坐標為2.過劣弧AB上一動點P(x0，y0)作圓O的切線交拋物線E于C，D兩點，分別以C，D為切點作拋物線E的切線l1，l2，l1與l2相交于點M. 圖3 (1)求拋物線E的方程； (2)求點M到直線CD距離的最大值． [解]　(1)由xA＝2得y＝4，故4p＝4，解得p＝1. 于是拋物線E的方程為y2＝2x. (2)設C，D， 切線l1：y－y1＝k， 代入y2＝2

6、x得ky2－2y＋2y1－ky＝0， 由Δ＝4－4k(2y1－ky)＝0解得k＝， ∴l(xiāng)1的方程為y＝x＋， 同理，l2的方程為y＝x＋. 聯立解得 易得CD的方程為x0x＋y0y＝8， 其中x0，y0滿足x＋y＝8，x0∈[2,2]． 聯立得x0y2＋2y0y－16＝0， 則代入 ∴M(x，y)滿足 即點M的坐標為. 點M到直線CD：x0x＋y0y＝8的距離d＝＝＝＝為關于x0的單調遞減函數，故當且僅當x0＝2時，dmax＝＝. 4．(20xx·陜西質檢(一))已知F1，F2為橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點，點P在橢圓上，且|PF1|＋|PF2|＝4. (

7、1)求橢圓E的方程； (2)過F1的直線l1，l2分別交橢圓E于A，C和B，D，且l1⊥l2，問是否存在常數λ，使得，λ，成等差數列？若存在，求出λ的值，若不存在，請說明理由. [解]　(1)∵|PF1|＋|PF2|＝4，∴2a＝4，a＝2. ∴橢圓E的方程為＋＝1. 將P代入可得b2＝3， ∴橢圓E的方程為＋＝1. (2)存在．①當AC的斜率為零或斜率不存在時， ＋＝＋＝； ②當AC的斜率k存在且k≠0時， 設AC的方程為y＝k(x＋1)， 代入橢圓方程＋＝1，并化簡得 (3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0. 設A(x1，y1)，C(x2，y2)， 則x1＋x2＝－，x1·x2＝， |AC|＝|x1－x2| ＝＝. 同理，∵直線BD的斜率為－， ∴|BD|＝＝. ∴＋＝＋＝. 綜上，2λ＝＋＝，∴λ＝. ∴存在常數λ＝，使得，λ，成等差數列．