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2、 1 第八章　立體幾何 學案40　空間幾何體、三視圖和直觀圖 導學目標： 1.認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結構特征，并能運用這些特征描述現實生活中簡單物體的結構.2.能畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合)的三視圖，能識別上述三視圖所表示的立體模型，并且會用斜二測畫法畫出它們的直觀圖.3.會用平行投影與中心投影兩種方法畫出簡單空間圖形的三視圖與直

3、觀圖，了解空間圖形的不同表示形式.4.會畫某些建筑物的三視圖與直觀圖． 自主梳理 1．多面體的結構特征 (1)棱柱的上下底面________，側棱都________且____________，上底面和下底面是________的多邊形． (2)棱錐的底面是任意多邊形，側面是有一個________的三角形． (3)棱臺可由__________________的平面截棱錐得到，其上下底面的兩個多邊形________． 2．旋轉體的結構特征 (1)圓柱可以由矩形繞其____________旋轉得到． (2)圓錐可以由直角三角形繞其__________________旋轉得到． (

4、3)圓臺可以由直角梯形繞__________________或等腰梯形繞上下底中點的連線旋轉得到，也可由平行于圓錐底面的平面截圓錐得到． (4)球可以由半圓或圓繞其________旋轉得到． 3．空間幾何體的三視圖 空間幾何體的三視圖是用正投影得到，這種投影下與投影面平行的平面圖形留下的影子與平面圖形的形狀和大小是完全相同的，三視圖包括________、____________、________. 4．空間幾何體的直觀圖 畫空間幾何體的直觀圖常用________畫法，基本步驟是： (1)在已知圖形中取互相垂直的x軸、y軸，兩軸相交于點O，畫直觀圖時，把它們畫成對應的x′軸、y′軸，

5、兩軸相交于點O′，且使∠x′O′y′＝________. (2)已知圖形中平行于x軸、y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于__________的線段． (3)已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度________，平行于y軸的線段，長度變?yōu)開__________________． (4)在已知圖形中過O點作z軸垂直于xOy平面，在直觀圖中對應的z′軸也垂直于x′O′y′平面，已知圖形中平行于z軸的線段，在直觀圖中仍平行于z′軸且長度________． 5．中心投影與平行投影 (1)平行投影的投影線互相平行，而中心投影的投影線相交于一點． (2)從投影的角度看，三視圖和用斜

6、二測畫法畫出的直觀圖都是在平行投影下畫出來的圖形． 自我檢測 1．如圖，下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個視圖相同的是(　　) A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 2．(20xx·浙江)若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的直觀圖可以是(　　) 　 3．(20xx·金華月考)將正三棱柱截去三個角(如圖1所示)，A，B，C分別是△GHI三邊的中點，得到幾何體如圖2，則該幾何體按圖2所示方向的側視圖(或稱左視圖)為(　　) 4. (20xx·廣東)如圖，△ABC為正三角形，AA′∥BB′∥CC′，CC′⊥平面ABC且3AA′＝BB′

7、＝CC′＝AB，則多面體ABC－A′B′C′的正視圖(也稱主視圖)是(　　) 5．(20xx·山東)如圖是長和寬分別相等的兩個矩形，給定下列三個命題：①存在三棱柱，其正(主)視圖、俯視圖如右圖；②存在四棱柱，其正(主)視圖、俯視圖如右圖；③存在圓柱，其正(主)視圖、俯視圖如右圖．其中真命題的個數是(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 探究點一　空間幾何體的結構 例1　給出下列命題：①棱柱的側棱都相等，側面都是全等的平行四邊形；②用一個平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分是棱臺；③若三棱錐的三條側棱兩兩垂直，則其三個側面也兩兩垂直；④若有兩個過相對

8、側棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；⑤存在每個面都是直角三角形的四面體；⑥棱臺的側棱延長后交于一點． 其中正確命題的序號是________． 變式遷移1　下列結論正確的是(　　) A．各個面都是三角形的幾何體是三棱錐 B．以三角形的一條邊所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐 C．棱錐的側棱長與底面多邊形的邊長相等，則此棱錐可能是六棱錐 D．圓錐的頂點與底面圓周上的任意一點的連線都是母線 探究點二　空間幾何體的三視圖 例2　(2009·福建)如圖，某幾何體的正視圖與側視圖都是邊長為1的正方形，且體積為，則該幾何體的俯視圖可以是(　　)

9、變式遷移2　(20xx·課標全國)在一個幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如圖所示，則相應的側視圖可以為(　　) 探究點三　直觀圖及斜二測畫法 例3　 用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的一個正方形，則原來的圖形是(　　) 變式遷移3　一個平面四邊形的斜二測畫法的直觀圖是一個邊長為a的正方形，則原平面四邊形的面積等于(　　) A.a2 B．2a2 C.a2 D.a2 1．畫幾何體三視圖的基本要求是：正視圖與俯視圖長對正；正視圖與側視圖高平齊；側視圖與俯視圖寬相等． 2．三視圖的安排規(guī)則是：正視圖與側視圖分別在左右兩邊，俯視圖

10、畫在正視圖的下方． 3．用斜二測畫法畫出的平面圖形的直觀圖的面積S′與原平面圖形的面積S之間的關系是S′＝S. (滿分：75分) 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．一個棱柱是正四棱柱的條件是(　　) A．底面是正方形，有兩個側面是矩形 B．底面是正方形，有兩個側面垂直于底面 C．底面是菱形，具有一個頂點處的三條棱兩兩垂直 D．每個側面都是全等矩形的四棱柱 2．(20xx·汕頭月考)已知水平放置的△ABC的直觀圖△A′B′C′(斜二測畫法)是邊長為a的正三角形，則原△ABC的面積為(　　) A.a2 B.a2 C.a2 D.a2 3．有

11、一個正三棱柱，其三視圖如圖所示： 則其體積等于(　　) A．3 cm3 B．1 cm3 C. cm3 D．4 cm3 4．(20xx·青島模擬)如下圖，一個簡單空間幾何體的三視圖其正視圖與側視圖都是邊長為2的正三角形，其俯視圖輪廓為正方形，則其體積是(　　) A. B. C. D. 5．(20xx·福州質檢)某簡單幾何體的一條對角線長為a，在該幾何體的正視圖、側視圖與俯視圖中，這條對角線的投影都是長為的線段，則a等于(　　) A. B. C．1 D．2 二、填空題(每小題4分，共12分) 6．(20xx·湖南)圖中的

12、三個直角三角形是一個體積為20 cm3的幾何體的三視圖，則h＝________cm. 7．已知正三角形ABC的邊長為a，則△ABC的水平放置直觀圖△A′B′C′的面積為________． 8．(20xx·宜昌月考)棱長為a的正四面體ABCD的四個頂點均在一個球面上，則此球的半徑R＝________. 三、解答題(共38分) 9．(12分)畫出下列幾何體的三視圖． 10．(12分)如圖是一個幾何體的正視圖和俯視圖． (1)試判斷該幾何體是什么幾何體； (2)畫出其側視圖，并求該平面圖形的面積．

13、 11．(14分)(20xx·石家莊月考)已知正三棱錐V－ABC的正視圖和俯視圖如圖所示． (1)畫出該三棱錐的側視圖和直觀圖． (2)求出側視圖的面積． 學案40　空間幾何體、三視圖和直觀圖 自主梳理 1．(1)平行　平行　長度相等　全等　(2)公共頂點 (3)平行于棱錐底面　相似　2.(1)一邊所在直線　(2)一條直角邊所在直線　(3)垂直于底邊的腰所在直線　(4)直徑　3.正視圖　側視圖　俯視圖　4.斜二測　(1)45°(或135°)　(2)x′軸、y′軸　(3)不變　原來的一半　(4)不變 自我檢測 1．D　[在各

14、自的三視圖中①正方體的三個視圖都相同；②圓錐有兩個視圖相同；③三棱臺的三個視圖都不同；④正四棱錐有兩個視圖相同．] 2．D　[A，B的正視圖不符合要求，C的俯視圖顯然不符合要求，答案選D.] 3．A　[∵原幾何體是正三棱柱，且AE在平面EG中， ∴在側視圖中，AE應為豎直的．] 4．D　[由AA′∥BB′∥CC′及CC′⊥平面ABC，知BB′⊥平面ABC.又CC′＝BB′，且△ABC為正三角形，故正視圖應為D中的圖形．] 5．A　[底面是等腰直角三角形的三棱柱，當它的一個矩形側面放置在水平面上時，它的正視圖和俯視圖可以是全等的矩形，因此①正確；若長方體的高和寬相等，則存在滿足題意的兩

15、個相等的矩形，因此②正確；當圓柱側放時(即側視圖為圓時)，它的正視圖和俯視圖可以是全等的矩形，因此③正確．] 課堂活動區(qū) 例1　解題導引　解決這種判斷題的關鍵是：①準確理解棱柱、棱錐、棱臺的概念；②正確運用平行、垂直的判定及性質定理進行判斷，整體把握立體幾何知識． ③④⑤⑥ 解析　 ①錯誤，因為棱柱的底面不一定是正多邊形，故側面不一定都全等；②錯誤，必須用平行于底面的平面去截棱錐，才能得到棱臺；③正確，因為三個側面構成的三個平面的二面角都是直二面角；④正確，因為兩個過相對側棱的截面的交線平行于側棱，又垂直于底面；⑤正確，如圖所示，正方體AC1中的四棱錐C1—ABC，四個面都是直角

16、三角形；⑥正確，由棱臺的概念可知．因此，正確命題的序號是③④⑤⑥. 變式遷移1　D　[ A錯誤．如圖所示，由兩個結構相同的三棱錐疊放在一起構成的幾何體，各面都是三角形，但它不是棱錐． B錯誤．如下圖，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋轉軸不是直角邊，所得的幾何體都不是圓錐． C錯誤．若六棱錐的所有棱長都相等，則底面多邊形是正六邊形．由幾何圖形知，若以正六邊形為底面，側棱長必然要大于底面邊長．D正確．] 例2　解題導引　三視圖的正視圖、側視圖、俯視圖分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫出的輪廓線．解決此類問題的關鍵是弄清三視圖“長、寬、高”的關系． C

17、　[當俯視圖為A中正方形時，幾何體為邊長為1的正方體，體積為1；當俯視圖為B中圓時，幾何體為底面半徑為，高為1的圓柱，體積為；當俯視圖為C中三角形時，幾何體為三棱柱，且底面為直角邊長為1的等腰直角三角形，高為1，體積為；當俯視圖為D中扇形時，幾何體為圓柱的，且體積為.] 變式遷移2　D　[由幾何體的正視圖和俯視圖可知，該幾何體的底面為半圓和等腰三角形，其側視圖可以是一個由等腰三角形及底邊上的高構成的平面圖形，故應選D.] 例3　解題導引　本題是已知直觀圖，探求原平面圖形，考查逆向思維能力．要熟悉運用斜二測畫法畫水平放置的直觀圖的基本規(guī)則，注意直觀圖中的線段、角與原圖中的對應線段、角的關系．

18、 A　[按照斜二測畫法的作圖規(guī)則，對四個選項逐一驗證，可知只有選項A符合題意．] 變式遷移3　B　[根據斜二測畫法畫平面圖形的直觀圖的規(guī)則可知，在x軸上(或與x軸平行)的線段，其長度保持不變；在y軸上(或與y軸平行)的線段，其長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄摇蟲′O′y′＝45°(或135°)，所以，若設原平面圖形的面積為S，則其直觀圖的面積為S′＝··S＝S.可以得出一個平面圖形的面積S與它的直觀圖的面積S′之間的關系是S′＝S，本題中直觀圖的面積為a2，所以原平面四邊形的面積S＝＝2a2.] 課后練習區(qū) 1．C 2．D　[斜二測畫法中原圖面積與直觀圖面積之比為1∶，則易知S＝(a)2，∴S

19、＝a2.] 3．D　[由給出的三視圖可以得知該正三棱柱的高等于正視圖和側視圖的高為 cm，若設該正三棱柱的底面邊長為a cm，則有a＝2，所以a＝，故該正三棱柱的體積為V＝··2·＝4 (cm3)．] 4．C　[ 由三視圖知該幾何體為一正四棱錐，記為S—ABCD，如圖，其中AB＝2，△SCD中CD上的高為2，即SE＝2，設S在底面上的射影為O，在Rt△SOE中，SO＝， ∴SO＝＝.∴V＝SABCD×SO ＝×4×＝.] 5．B　[可以把該幾何體形象為一長方體AC1， 設AC1＝a，則由題意知A1C1＝AB1＝BC1＝，設長方體的長、寬、高分別為x、y、z，則x2＋y2

20、＝2，y2＋z2＝2，z2＋x2＝2，三式相加得2(x2＋y2＋z2)＝2a2＝6. ∴a＝.] 6．4 解析　由三視圖可知該幾何體是一個三棱錐，其底面是一個直角邊長分別是5和6的直角三角形，幾何體的高為h，則該幾何體的體積V＝··5·6·h＝20. ∴h＝4. 7.a2 解析　如圖 A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a， 過點C′作C′D′⊥A′B′于點D′， 則C′D′＝O′C′＝a， 所以S△A‘B’‘′＝A′B′·C′D′＝a2. 8.a 解析　 如圖所示，設正四面體ABCD內接于球O，由D點向底面ABC作垂線，垂足為H，連接AH，OA， 則可求得

21、AH＝a， DH＝＝， 在Rt△AOH中，2＋2＝R2， 解得R＝a. 9．解　圖(1)中幾何體的三視圖如圖①、②、③，圖(2)中幾何體的三視圖如圖④、⑤、⑥. (6分) (12分) 10．解　(1)由該幾何體的正視圖及俯視圖可知幾何體是正六棱錐．(4分) (2)側視圖(如圖) (6分) 其中AB＝AC，AD⊥BC，且BC長是俯視圖正六邊形對邊間的距離，即BC＝a，AD是正棱錐的高，AD＝a，所以側視圖的面積為S＝×a×a＝a2. (12分) 11．解　(1)如圖． (7分) (2)根據三視圖間的關系可得BC＝2， 側視圖中VA為＝＝2， ∴S△VBC＝×2×2＝6.(14分)