2.1曲線與方程2.1.1曲線與方程2.1.2求曲線的方程學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解曲線上點的坐標(biāo)與方程的解之間的一一對應(yīng)關(guān)系.2.理解“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念(重點)3.通過具體的實例掌握求曲線方程的一般步驟，會求曲線的方程(難點)自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知1曲線的方程與方程的曲線一般地，在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C上的點與一個二元方程f(x，y)0的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系：(1)曲線上點的坐標(biāo)都是這個方程的解；(2)以這個方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點，那么，這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線思考：(1)如果曲線與方程僅滿足“以這個方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點”，會出現(xiàn)什么情況？舉例說明(2)如果曲線C的方程是f(x，y)0，那么點P(x0，y0)在曲線C上的充要條件是什么？提示(1)會出現(xiàn)曲線上的點的坐標(biāo)不滿足方程的情況，如方程y表示的曲線是半圓，而非整圓(2)充要條件是f(x0，y0)0.2求曲線方程的步驟基礎(chǔ)自測1思考辨析(1)若點P的坐標(biāo)是方程f(x，y)0的解，則點P在方程f(x，y)0的曲線上()(2)單位圓上的點的坐標(biāo)是方程x2y21的解()(3)方程y與方程y(x>0)是同一條曲線的方程()答案(1)(2)(3)2已知直線l：xy30及曲線C：(x3)2(y2)22，則點M(2,1)()A在直線l上，但不在曲線C上B在直線l上，也在曲線C上C不在直線l上，也不在曲線C上D不在直線l上，但在曲線C上B將點M的坐標(biāo)代入直線l，曲線C的方程知點M在直線l上，也在曲線C上3到兩坐標(biāo)軸距離之和為4的點M的軌跡方程為() 【導(dǎo)學(xué)號：46342051】Axy4Bxy4C|xy|4D|x|y|4D點M(x，y)到兩坐標(biāo)軸的距離分別為|x|和|y|，故選D.合 作 探 究攻 重 難曲線與方程的概念(1)命題“曲線C上的點的坐標(biāo)都是方程f(x，y)0的解”是正確的，下列命題中正確的是 ()A方程f(x，y)0的曲線是CB方程f(x，y)0的曲線不一定是CCf(x，y)0是曲線C的方程D以方程f(x，y)0的解為坐標(biāo)的點都在曲線C上(2)分析下列曲線上的點與相應(yīng)方程的關(guān)系：過點A(2,0)平行于y軸的直線與方程|x|2之間的關(guān)系；到兩坐標(biāo)軸的距離的積等于5的點與方程xy5之間的關(guān)系；第二、四象限角平分線上的點與方程xy0之間的關(guān)系解析(1)根據(jù)方程的曲線和曲線的方程的定義知A、C、D錯答案(1)B(2)過點A(2,0)平行于y軸的直線上的點的坐標(biāo)都是方程|x|2的解，但以方程|x|2的解為坐標(biāo)的點不一定都在過點A(2,0)且平行于y軸的直線上因此|x|2不是過點A(2,0)平行于y軸的直線的方程到兩坐標(biāo)軸的距離的積等于5的點的坐標(biāo)不一定滿足方程xy5，但以方程xy5的解為坐標(biāo)的點與兩坐標(biāo)軸的距離之積一定等于5.因此到兩坐標(biāo)軸的距離的積等于5的點的軌跡方程不是xy5.第二、四象限角平分線上的點的坐標(biāo)都滿足xy0，反之，以方程xy0的解為坐標(biāo)的點都在第二、四象限角平分線上因此第二、四象限角平分線上的點的軌跡方程是xy0.規(guī)律方法1.解決“曲線”與“方程”的判定這類問題(即判定方程是否是曲線的方程或判定曲線是否是方程的曲線)，只要一一檢驗定義中的兩個條件是否都滿足，并作出相應(yīng)的回答即可2判斷點是否在曲線上，就是判斷點的坐標(biāo)是否適合曲線的方程跟蹤訓(xùn)練1(1)已知坐標(biāo)滿足方程f(x，y)0的點都在曲線C上，那么() 【導(dǎo)學(xué)號：46342052】A曲線C上的點的坐標(biāo)都適合方程f(x，y)0B凡坐標(biāo)不適合f(x，y)0的點都不在曲線C上C不在曲線C上的點的坐標(biāo)必不適合f(x，y)0D不在曲線C上的點的坐標(biāo)有些適合f(x，y)0，有些不適合f(x，y)0C根據(jù)曲線的方程的定義知，選C(2)已知方程x2(y1)210.判斷點P(1，2)，Q(，3)是否在此方程表示的曲線上；若點M在此方程表示的曲線上，求實數(shù)m的值解因為12(21)210，()2(31)2610，所以點P(1，2)在方程x2(y1)210表示的曲線上，點Q(，3)不在方程x2(y1)210表示的曲線上因為點M在方程x2(y1)210表示的曲線上，所以x，ym適合方程x2(y1)210，即(m1)210.解得m2或m.故實數(shù)m的值為2或.用直接法(定義法)求曲線方程探究問題1求曲線方程為什么要首先“建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系”？如何建系？提示：只有建立了平面直角坐標(biāo)系，才能用坐標(biāo)表示點，才能把曲線看成滿足某種條件的點的集合或軌跡建立坐標(biāo)系時，應(yīng)充分利用圖形的幾何性質(zhì)，如中心對稱圖形，可利用對稱中心為原點建系；軸對稱圖形以對稱軸為坐標(biāo)軸建系；條件中有直角，可將兩直角邊作為坐標(biāo)軸建系等2在求出曲線方程后，為什么要說明化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點都在曲線上？提示：根據(jù)條件求出的方程，只滿足“曲線上的點的坐標(biāo)都是方程的解”，而沒說明“以方程的解為坐標(biāo)的點都在曲線上”，故應(yīng)說明在RtABC中，斜邊長是定長2a(a0)，求直角頂點C的軌跡方程. 【導(dǎo)學(xué)號：46342053】思路探究以線段AB的中點為原點，以線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，法一(直接法)：利用|AC|2|BC|2|AB|2求解法二(定義法)：頂點C在以AB為直徑的圓上解法一(直接法)：取AB邊所在的直線為x軸，AB的中點O為坐標(biāo)原點，過O與AB垂直的直線為y軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則A(a,0)，B(a,0)，設(shè)動點C為(x，y)由于|AC|2|BC|2|AB|2，所以()2()24a2，整理得x2y2a2.由于當(dāng)xa時，點C與A或B重合，故xa.所以所求的點C的軌跡方程為x2y2a2(xa)法二(定義法)：建立平面直角坐標(biāo)系同法一因為ACBC，則頂點C的軌跡是以AB為直徑的圓(除去A，B兩點)，因此頂點C的軌跡方程為x2y2a2(xa)母題探究：1.(變條件)若本例題改為“一個動點P到直線x8的距離是它到點A(2,0)的距離的2倍求動點P的軌跡方程如何求解？”解設(shè)P(x，y)，則|8x|2|PA|.則|8x|2，化簡，得3x24y248，故動點P的軌跡方程為3x24y248.2(變條件)若本例題改為“已知圓C：(x1)2y21，過原點O作圓的任意弦，求所作弦的中點的軌跡方程”如何求解？解如圖，設(shè)OQ為過O點的一條弦，P(x，y)為其中點，則CPOQ，設(shè)M為OC的中點，則M的坐標(biāo)為.OPC90，動點P在以點M為圓心，OC為直徑的圓上，由圓的方程得2y2(0<x1)規(guī)律方法1.直接法求曲線方程直接法是求軌跡方程的最基本的方法，根據(jù)所滿足的幾何條件，將幾何條件M|p(M)直接翻譯成x，y的形式F(x，y)0，然后進行等價變換，化簡為f(x，y)0.要注意軌跡上的點不能含有雜點，也不能少點，也就是說曲線上的點一個也不能多，一個也不能少2定義法求曲線方程如果動點的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可依據(jù)定義結(jié)合條件寫出動點的軌跡方程利用定義法求軌跡方程要善于抓住曲線的定義特征.代入法求軌跡方程已知圓C的方程為x2y24，過圓C上的一動點M作平行于x軸的直線m，設(shè)m與y軸的交點為N，若向量，求動點Q的軌跡方程解設(shè)點Q的坐標(biāo)為(x，y)，點M的坐標(biāo)為(x0，y0)，則點N的坐標(biāo)為(0，y0)因為，即(x，y)(x0，y0)(0，y0)(x0,2y0)，則x0x，y0.又點M在圓C上，所以xy4，即x24.所以，動點Q的軌跡方程是1.規(guī)律方法 代入法求軌跡方程的步驟(1)分析所求動點與已知動點坐標(biāo)間關(guān)系；(2)用所求曲線上的動點坐標(biāo)表示已知曲線上的動點；(3)代入已知曲線方程整理可得所求軌跡方程跟蹤訓(xùn)練2已知ABC，A(2,0)，B(0，2)，第三個頂點C在曲線y3x21上移動，求ABC的重心的軌跡方程解設(shè)ABC的重心為G(x，y)，頂點C的坐標(biāo)為(x1，y1)，由重心坐標(biāo)公式得代入y13x1，得3y23(3x2)21.y9x212x3即為所求軌跡方程當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基1若點M(m，m)在曲線xy20上，則m的值為()A0 B1C1或0D0或1D由題意知mm20，解得m0或m1，故選D.2在直角坐標(biāo)系中，方程|x|y1的曲線是() 【導(dǎo)學(xué)號：46342054】C當(dāng)x0時，方程為xy1，y0，故在第一象限有一支圖象；當(dāng)x0時，方程為xy1，y0，故在第二象限有一支圖象3已知等腰三角形ABC底邊兩端點是A(，0)，B(，0)，頂點C的軌跡是()A一條直線B一條直線去掉一點C一個點D兩個點B由題意知|AC|BC|，則頂點C的軌跡是線段AB的垂直平分線(除去線段AB的中點)，故選B.4已知兩點M(2,0)，N(2,0)，點P滿足4，則點P的軌跡方程為_x2y28設(shè)點P的坐標(biāo)為P(x，y)，由(2x，y)(2x，y)x24y24，得x2y28，則點P的軌跡方程為x2y28.5動點M與距離為2a的兩個定點A，B的連線的斜率之積等于，求動點M的軌跡方程. 【導(dǎo)學(xué)號：46342055】解如圖，以直線AB為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A(a,0)，B(a,0)設(shè)M(x，y)為軌跡上任意一點，則kMA，kMB(xa)kMAkMB，化簡得：x22y2a2(xa)點M的軌跡方程為x22y2a2(xa)