第 2 課時(shí) 等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和的綜合應(yīng)用 1 掌握等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和的性質(zhì)及應(yīng)用 重點(diǎn) 2 會(huì)求等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和的最值 重點(diǎn) 易錯(cuò)點(diǎn) 3 能用裂項(xiàng)相消法求和 難點(diǎn) 基礎(chǔ) 初探 教材整理 等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和的性質(zhì) 閱讀教材 P40 P 41 完成下列問題 1 Sn與 an的關(guān)系 an Error 2 等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和的性質(zhì) 1 等差數(shù)列 an 中 其前 n 項(xiàng)和為 Sn 則 an 中連續(xù)的 n 項(xiàng)和構(gòu)成的數(shù)列 Sn S2n Sn S3n S2n S4n S3n 構(gòu)成等差數(shù)列 2 數(shù)列 an 是等差數(shù)列 Sn an2 bn a b 為常數(shù) 3 等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和 Sn的最值 1 若 a10 則數(shù)列的前面若干項(xiàng)為負(fù)數(shù)項(xiàng) 或 0 所以將這些項(xiàng)相加即得 Sn 的最小值 2 若 a1 0 d0 d 0 則 S1是 Sn 的最小值 若 a1 0 d0 d1 可知 當(dāng) n 1 時(shí) an Sn Sn 1 n2 n n 1 2 n 1 2 n 12 12 12 當(dāng) n 1 時(shí) a1 S1 1 2 1 12 32 也滿足 式 數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為 an 2 n 12 由此可知 數(shù)列 an 是以 為首項(xiàng) 以 2 為公差的等差數(shù)列 32 1 已知前 n 項(xiàng)和 Sn求通項(xiàng) an 先由 n 1 時(shí) a1 S1求得 a1 再由 n 2 時(shí) an Sn Sn 1 求 an 最后驗(yàn)證 a1是否符合 an 若符合則統(tǒng)一用一個(gè)解析式表示 2 由數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 Sn求 an的方法 不僅適用于等差數(shù)列 它也適用于其他數(shù)列 再練一題 1 已知下面各數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和 Sn的公式 求 an 的通項(xiàng)公式 1 Sn 2 n2 3 n 2 Sn 3 n 2 解 1 當(dāng) n 1 時(shí) a1 S1 2 1 2 3 1 1 當(dāng) n 2 時(shí) Sn 1 2 n 1 2 3 n 1 2 n2 7 n 5 則 an Sn Sn 1 2 n2 3 n 2 n2 7 n 5 2 n2 3 n 2 n2 7 n 5 4 n 5 此時(shí)若 n 1 an 4 n 5 4 1 5 1 a1 故 an 4 n 5 2 當(dāng) n 1 時(shí) a1 S1 3 1 2 1 當(dāng) n 2 時(shí) Sn 1 3 n 1 2 則 an Sn Sn 1 3 n 2 3 n 1 2 3 n 3 n 1 3 3 n 1 3 n 1 2 3 n 1 此時(shí)若 n 1 an 2 3 n 1 2 3 1 1 2 a1 故 an Error 等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和的性質(zhì)應(yīng)用 1 在等差數(shù)列 an 中 若 S4 1 S8 4 則 a17 a18 a19 a20的值為 導(dǎo)學(xué)號(hào) 18082028 A 9 B 12 C 16 D 17 2 等差數(shù)列 an 共有 2n 1 項(xiàng) 所有的奇數(shù)項(xiàng)之和為 132 所有的偶數(shù)項(xiàng)之和為 120 則 n 等于 精彩點(diǎn)撥 1 解決本題關(guān)鍵是能發(fā)現(xiàn) S4 S8 S4 S12 S8 S16 S12 a17 a18 a19 a20能構(gòu)成等差數(shù)列 2 利用等差數(shù)列奇偶項(xiàng)和的性質(zhì)求解 或利用 基本量法 求解 自主解答 1 法一 由題意知 S4 1 S8 S4 3 而 S4 S8 S4 S12 S8 S16 S12 S20 S16成等差數(shù)列 即 1 3 5 7 9 a17 a18 a19 a20 S20 S16 9 法二 S4 a1 a2 a3 a4 1 S8 S4 a5 a6 a7 a8 3 由 得 4 4d 2 即 8d 1 a17 a18 a19 a20 a5 a6 a7 a8 4 12 d 3 48 d 3 6 9 法三 Error 即Error 得 d 18 a17 a18 a19 a20 4 a17 4 3d2 4 4 a17 32d a1 32d 16d 4 64 d 1 8 9 a1 32d 2 法一 巧用性質(zhì) 因?yàn)榈炔顢?shù)列共有 2n 1 項(xiàng) 所以 S 奇 S 偶 an 1 即 S2n 12n 1 132 120 解得 n 10 132 1202n 1 法二 基本量思想 可設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為 a1 公差為 d 依題意可列方程組 Error 即Error 所以 即 n 10 n 1n 132120 答案 1 A 2 10 若數(shù)列 an 為等差數(shù)列 公差為 d 其前 n 項(xiàng)和為 Sn 1 Sk S2k Sk S3k S2k 構(gòu)成公差為 k2d 的等差數(shù)列 2 若項(xiàng)數(shù)為 2n 項(xiàng) 則 Sn n an an 1 S 偶 S 奇 nd S 偶 S 奇 an 1 an 若項(xiàng) 數(shù)為 2n 1 項(xiàng) 則 S2n 1 2 n 1 a2n 1 S 偶 S 奇 an 1 S 偶 S 奇 n n 1 再練一題 2 1 等差數(shù)列 an 中 a2 a7 a12 24 則 S13 2 等差數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式是 an 2 n 1 其前 n 項(xiàng)和為 Sn 則數(shù)列 的前 10 項(xiàng)和 Snn 為 導(dǎo)學(xué)號(hào) 18082029 解析 1 由 a2 a7 a12 24 得 a7 8 所以 S13 13 a7 13 104 a1 a132 2 因?yàn)?an 2 n 1 所以 a1 3 所以 Sn n2 2 n 所以 n 2 n 3 2n 1 2 Snn 所以 是公差為 1 首項(xiàng)為 3 的等差數(shù)列 Snn 所以前 10 項(xiàng)和為 3 10 1 75 10 92 答案 1 104 2 75 探究共研型 等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和 Sn的函數(shù)特 征 探究 1 將首項(xiàng)為 a1 2 公差 d 3 的等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和看作關(guān)于 n 的函數(shù) 那么 這個(gè)函數(shù)有什么結(jié)構(gòu)特征 如果一個(gè)數(shù)列的前 n 項(xiàng)和為 Sn 3 n2 n 那么這個(gè)數(shù)列是等差 數(shù)列嗎 上述結(jié)論推廣到一般情況成立嗎 提示 首項(xiàng)為 2 公差為 3 的等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和為 Sn 2 n n2 n n n 1 32 32 12 顯然 Sn是關(guān)于 n 的二次型函數(shù) 如果一個(gè)數(shù)列的前 n 項(xiàng)和為 Sn 3 n2 n 那么當(dāng) n 1 時(shí) S1 a1 4 當(dāng) n 2 時(shí) an Sn Sn 1 6 n 2 則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為 an 6 n 2 所以該數(shù)列為 等差數(shù)列 一般地 等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式 Sn na1 d n2 n 若令 n n 1 2 d2 a1 d2 A B a1 則上式可寫成 Sn An2 Bn A B 可以為 0 d2 d2 探究 2 已知一個(gè)數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn n2 5 n 試畫出 Sn關(guān)于 n 的函數(shù)圖象 你能說明數(shù)列 an 的單調(diào)性嗎 該數(shù)列前 n 項(xiàng)和有最值嗎 提示 Sn n2 5 n 它的圖象是分布在函數(shù) y x2 5 x 的圖象上的 n 52 2 254 離散的點(diǎn) 由圖象的開口方向可知該數(shù)列是遞增數(shù)列 圖象開始下降說明了 an 前 n 項(xiàng)為 負(fù)數(shù) 由 Sn的圖象可知 Sn有最小值且當(dāng) n 2 或 3 時(shí) Sn最小 最小值為 6 即數(shù)列 an 前 2 項(xiàng)或前 3 項(xiàng)和最小 數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和 Sn 33 n n2 1 求 an 的通項(xiàng)公式 2 問 an 的前多少項(xiàng)和最大 3 設(shè) bn an 求數(shù)列 bn 的前 n 項(xiàng)和 S n 精彩點(diǎn)撥 1 利用 Sn與 an的關(guān)系求通項(xiàng) 也可由 Sn的結(jié)構(gòu)特征求 a1 d 從而 求出通項(xiàng) 2 利用 Sn的函數(shù)特征求最值 也可以用通項(xiàng)公式找到通項(xiàng)的變號(hào)點(diǎn)求解 3 利用 an判斷哪些項(xiàng)是正數(shù) 哪些項(xiàng)是負(fù)數(shù) 再求解 也可以利用 Sn的函數(shù)特征判 斷項(xiàng)的正負(fù)求解 自主解答 1 法一 當(dāng) n 2 時(shí) an Sn Sn 1 34 2 n 又當(dāng) n 1 時(shí) a1 S1 32 34 2 1 滿足 an 34 2 n 故 an 的通項(xiàng)公式為 an 34 2 n 法二 由 Sn n2 33 n 知 Sn是關(guān)于 n 的缺常數(shù)項(xiàng)的二次型函數(shù) 所以 an 是等差數(shù) 列 由 Sn的結(jié)構(gòu)特征知Error 解得 a1 32 d 2 所以 an 34 2 n 2 法一 令 an 0 得 34 2 n 0 所以 n 17 故數(shù)列 an 的前 17 項(xiàng)大于或等于零 又 a17 0 故數(shù)列 an 的前 16 項(xiàng)或前 17 項(xiàng)的和最大 法二 由 y x2 33 x 的對(duì)稱軸為 x 332 距離 最近的整數(shù)為 16 17 由 Sn n2 33 n 的 332 圖象可知 當(dāng) n 17 時(shí) an 0 當(dāng) n 18 時(shí) an 0 故數(shù)列 an 的前 16 項(xiàng)或前 17 項(xiàng)的和最大 3 由 2 知 當(dāng) n 17 時(shí) an 0 當(dāng) n 18 時(shí) an 0 所以當(dāng) n 17 時(shí) Sn b1 b2 bn a1 a2 an a1 a2 an Sn 33 n n2 當(dāng) n 18 時(shí) Sn a1 a2 a17 a18 an a1 a2 a17 a18 a19 an S17 Sn S17 2 S17 Sn n2 33 n 544 故 Sn Error 1 在等差數(shù)列中 求 Sn的最小 大 值的方法 1 利用通項(xiàng)公式尋求正 負(fù)項(xiàng)的分界點(diǎn) 則從第一項(xiàng)起到分界點(diǎn)該項(xiàng)的各項(xiàng)和為最大 小 2 借助二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)求最值 2 尋求正 負(fù)項(xiàng)分界點(diǎn)的方法 1 尋找正 負(fù)項(xiàng)的分界點(diǎn) 可利用等差數(shù)列性質(zhì)或利用Error 或Error 來尋找 2 利用到 y ax2 bx a 0 的對(duì)稱軸距離最近的左側(cè)的一個(gè)正數(shù)或離對(duì)稱軸最近且 關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的兩個(gè)整數(shù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)即為正 負(fù)項(xiàng)的分界點(diǎn) 3 求解數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和 應(yīng)先判斷 an 的各項(xiàng)的正負(fù) 然后去掉絕對(duì)值號(hào) 轉(zhuǎn) 化為等差數(shù)列的求和問題 再練一題 3 在等差數(shù)列中 a10 23 a25 22 1 該數(shù)列第幾項(xiàng)開始為負(fù) 2 求數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和 解 設(shè)等差數(shù)列 an 中 公差為 d 由題意得 Error Error 1 設(shè)第 n 項(xiàng)開始為負(fù) an 50 3 n 1 53 3 n 533 從第 18 項(xiàng)開始為負(fù) 2 an 53 3 n Error 當(dāng) n 17 時(shí) Sn n2 n 32 1032 當(dāng) n 17 時(shí) Sn a1 a2 a3 an a1 a2 a17 a18 a19 an Sn 2 S17 32n2 1032n n2 n 884 32 1032 Sn Error 1 設(shè) an 為等差數(shù)列 公差 d 2 Sn為其前 n 項(xiàng)和 若 S10 S11 則 a1 A 18 B 20 C 22 D 24 解析 由 S10 S11 得 a11 S11 S10 0 a1 a11 1 11 d 0 10 2 20 答案 B 2 已知某等差數(shù)列共有 10 項(xiàng) 其奇數(shù)項(xiàng)之和為 15 偶數(shù)項(xiàng)之和為 30 則其公差為 A 5 B 4 C 3 D 2 解析 由題意得 S 偶 S 奇 5 d 15 d 3 或由解方程組Error 求得 d 3 故選 C 答案 C 3 已知數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和 Sn n2 1 則 an 解析 當(dāng) n 1 時(shí) a1 S1 2 當(dāng) n 2 時(shí) an Sn Sn 1 n2 1 n 1 2 1 2 n 1 又因?yàn)?n 1 時(shí) an 2 n 1 1 a1 所以 an Error 答案 Error 4 數(shù)列 an 為等差數(shù)列 它的前 n 項(xiàng)和為 Sn 若 Sn n 1 2 則 的值為 導(dǎo)學(xué)號(hào) 18082030 解析 等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和 Sn的形式為 Sn an2 bn 1 答案 1 5 已知數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和公式為 Sn 2 n2 30 n 1 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 2 若 bn an an 1 求數(shù)列 bn 的前 n 項(xiàng)和 Tn 解 1 Sn 2 n2 30 n 當(dāng) n 1 時(shí) a1 S1 28 當(dāng) n 2 時(shí) an Sn Sn 1 2 n2 30 n 2 n 1 2 30 n 1 4 n 32 當(dāng) n 1 時(shí)也滿足此式 an 4 n 32 n N 2 由 1 知 bn an an 1 4 n 32 4 n 28 8 n 60 數(shù)列 bn 是以 8 為公差的等差數(shù)列 b1 52 Tn n 4 n2 56 n 52 8n 602