1 1第九節(jié)圓錐曲線的綜合問(wèn)題全盤鞏固1如圖，中心均為原點(diǎn)O的雙曲線與橢圓有公共焦點(diǎn)，M，N是雙曲線的兩頂點(diǎn)若M，O，N將橢圓長(zhǎng)軸四等分，則雙曲線與橢圓的離心率的比值是()A3 B2 C. D.解析：選B設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a(a>0)，則雙曲線半實(shí)軸的長(zhǎng)為，由于雙曲線與橢圓共焦點(diǎn)，設(shè)焦距為2c，所以雙曲線的離心率e1，橢圓的離心率e2，所以2.2(20xx·新課標(biāo)全國(guó)卷)已知橢圓E：1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3,0)，過(guò)點(diǎn)F的直線交E于A，B兩點(diǎn)若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，則E的方程為()A.1 B.1C.1 D.1解析：選D由題意知kAB，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則0.由AB的中點(diǎn)是(1，1)知?jiǎng)t，聯(lián)立a2b29，解得a218，b29，故橢圓E的方程為1.3(20xx·長(zhǎng)春模擬)已知實(shí)數(shù)4，m,9構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，則圓錐曲線y21的離心率為()A. B. C.或 D.或7解析：選C因?yàn)?，m,9成等比數(shù)列，所以m±6，當(dāng)m6時(shí)，y21為橢圓a26，b21，c25.所以離心率e；當(dāng)m6時(shí)，y21為雙曲線，a21，b26，c27，所以離心率e.4(20xx·湖州模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C：y22px(p0)的焦點(diǎn)為F，M是拋物線C上的點(diǎn)，若OFM的外接圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，且該圓面積為9，則p()A2 B4 C6 D8解析：選B依題意得，OFM的外接圓半徑為3，OFM的外接圓圓心應(yīng)位于線段OF的垂直平分線x上，圓心到準(zhǔn)線x的距離等于3，即有3，由此解得p4.5(20xx·全國(guó)高考)已知拋物線C：y28x與點(diǎn)M(2,2)，過(guò)C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A、B兩點(diǎn)若·0，則k ()A. B. C. D2解析：選D如圖所示，設(shè)F為焦點(diǎn)，取AB中點(diǎn)P，過(guò)A，B分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為G，H，連接MF，MP，由·0，知MAMB，則|MP|AB|(|AG|BH|)，所以MP為直角梯形BHGA的中位線，所以MPAGBH，所以GAMAMPMAP，又|AG|AF|，AM為公共邊，所以AMGAMF，所以AFMAGM90°，則MFAB，所以k2.6. 如圖，已知過(guò)拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線xmym0與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，且OAB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為2，則m6m4的值是()A1 B. C2 D4解析：選C設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意可知，m，將xmym代入拋物線方程y22px(p>0)中，整理得y22pmy2pm0，由根與系數(shù)的關(guān)系，得y1y22pm，y1y22pm，則(y1y2)2(y1y2)24y1y2(2pm)28pm16m416m2，又OAB的面積S×|y1y2|(m)×42，兩邊平方即可得m6m42.7(20xx·安徽高考)已知直線ya交拋物線yx2于A，B兩點(diǎn)若該拋物線上存在點(diǎn)C，使得ACB為直角，則a的取值范圍為_(kāi)解析：法一：設(shè)直線ya與y軸交于點(diǎn)M，拋物線yx2上要存在點(diǎn)C，只要以|AB|為直徑的圓與拋物線yx2有除A、B外的交點(diǎn)即可，也就是使|AM|MO|，即a(a>0)，所以a1.法二：易知a>0，設(shè)C(m，m2)，由已知可令A(yù)(，a)，B(，a)，則 (m，m2a)，(m，m2a)，因?yàn)?，所以m2am42am2a20，可得(m2a)(m21a)0.因?yàn)橛深}易知m2a，所以m2a10，故a1，)答案：1，)8若C(，0)，D(，0)，M是橢圓y21上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)解析：由橢圓y21知c2413，c，C，D是該橢圓的兩焦點(diǎn)，令|MC|r1，|MD|r2，則r1r22a4，又r1r24，1.當(dāng)且僅當(dāng)r1r2時(shí)，上式等號(hào)成立故的最小值為1.答案：19曲線C是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1(1,0)和F2(1,0)的距離的積等于常數(shù)a2(a>1)的點(diǎn)的軌跡給出下列三個(gè)結(jié)論：曲線C過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)；曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱；若點(diǎn)P在曲線C上，則F1PF2的面積不大于a2.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是_解析：因?yàn)樵c(diǎn)O到兩個(gè)定點(diǎn)F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)的距離的積是1，而a>1，所以曲線C不過(guò)原點(diǎn)，即錯(cuò)誤；因?yàn)镕1(1，0)，F(xiàn)2(1,0)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以|PF1|PF2|a2對(duì)應(yīng)的軌跡關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即正確；因?yàn)镾F1PF2|PF1|PF2|sinF1PF2|PF1|PF2|a2，即F1PF2的面積不大于a2，所以正確答案：10已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，一個(gè)長(zhǎng)軸頂點(diǎn)為(0,2)，它的兩個(gè)短軸頂點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形，直線l與y軸交于點(diǎn)P(0，m)，與橢圓C交于異于橢圓頂點(diǎn)的兩點(diǎn)A，B，且2.(1)求橢圓的方程；(2)求m的取值范圍解：(1)由題意，知橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)橢圓方程為1(a>b>0)，由題意，知a2，bc，又a2b2c2，則b，所以橢圓方程為1.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意，知直線l的斜率存在，設(shè)其方程為ykxm，與橢圓方程聯(lián)立，即消去y，得(2k2)x22mkxm240，(2mk)24(2k2)(m24)>0，由根與系數(shù)的關(guān)系，知又2，即有(x1，my1)2(x2，y2m)，所以x12x2.則所以22.整理，得(9m24)k282m2，又9m240時(shí)等式不成立，所以k2>0，得<m2<4，此時(shí)>0.所以m的取值范圍為.11已知橢圓1(a>b>0)的左焦點(diǎn)F1(1,0)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的比是2.(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)F1作兩直線m，n交橢圓于A，B，C，D四點(diǎn)，若mn，求證：為定值解：(1)由已知得解得a2，b.故所求橢圓方程為1.(2)證明：由已知F1(1,0)，當(dāng)直線m不垂直于坐標(biāo)軸時(shí)，可設(shè)直線m的方程為yk(x1)(k0)由得(34k2)x28k2x4k2120.由于>0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有x1x2，x1x2，|AB| .同理|CD|.所以.當(dāng)直線m垂直于坐標(biāo)軸時(shí)，此時(shí)|AB|3，|CD|4；或|AB|4，|CD|3，.綜上，為定值.12(20xx·江西高考)如圖，橢圓C：1(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，離心率e，直線l的方程為x4.(1)求橢圓C的方程；(2)AB是經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)F的任一弦(不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P)，設(shè)直線AB與直線l相交于點(diǎn)M，記PA，PB，PM的斜率分別為k1，k2，k3.問(wèn)：是否存在常數(shù)，使得k1k2k3？若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由解：(1)由P在橢圓上，得1.依題設(shè)知a2c，則b23c2.代入解得c21，a24，b23.故橢圓C的方程為1.(2)法一：由題意可設(shè)直線AB的斜率為k，則直線AB的方程為yk(x1)代入橢圓方程3x24y212，并整理，得(4k23)x28k2x4(k23)0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有x1x2，x1x2.在方程中令x4，得M的坐標(biāo)為(4,3k)從而k1，k2，k3k.由于A，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線，則有kkAFkBF，即有k.所以k1k22k·.代入得k1k22k·2k1，又k3k，所以k1k22k3.故存在常數(shù)2符合題意法二：設(shè)B(x0，y0)(x01)，則直線FB的方程為y(x1)，令x4，求得M，從而直線PM的斜率為k3，聯(lián)立得A，則直線PA的斜率為k1，直線PB的斜率為k2，所以k1k22k3，故存在常數(shù)2符合題意沖擊名校如圖，已知橢圓1的左焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為G，AB的中垂線與x軸和y軸分別交于D，E兩點(diǎn)(1)若點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為，求直線AB的斜率；(2)記GFD的面積為S1，OED(O為原點(diǎn))的面積為S2.試問(wèn)：是否存在直線AB，使得S1S2？說(shuō)明理由解：(1)依題意可知，直線AB的斜率存在，設(shè)其方程為yk(x1)將其代入1，整理得(4k23)x28k2x4k2120.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1x2.故點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為.解得k±.(2)假設(shè)存在直線AB，使得S1S2，顯然直線AB不能與x，y軸垂直由(1)可得G.設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為(xD,0)因?yàn)镈GAB，所以×k1，解得xD，即D.因?yàn)镚FDOED，所以S1S2|GD|OD|.所以 ，整理得8k290.因?yàn)榇朔匠虩o(wú)解，所以不存在直線AB，使得S1S2.高頻滾動(dòng)(20xx·北京高考)已知A，B，C是橢圓W：y21上的三個(gè)點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)(1)當(dāng)點(diǎn)B是W的右頂點(diǎn)，且四邊形OABC為菱形時(shí)，求此菱形的面積；(2)當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí)，判斷四邊形OABC是否可能為菱形，并說(shuō)明理由解：(1)橢圓W：y21的右頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0)因?yàn)樗倪呅蜲ABC為菱形，所以AC與OB相互垂直平分所以可設(shè)A(1，m)，代入橢圓方程得m21，即m±.所以菱形OABC的面積是|OB|·|AC|×2×2|m|.(2)四邊形OABC不可能為菱形，理由如下：假設(shè)四邊形OABC為菱形因?yàn)辄c(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)，且直線AC不過(guò)原點(diǎn)，所以可設(shè)AC的方程為ykxm(k0，m0)由消去y并整理得(14k2)x28kmx4m240.設(shè)A(x1，y1)，C(x2，y2)，則，k·m.所以AC的中點(diǎn)為M.因?yàn)镸為AC和OB的交點(diǎn)，所以直線OB的斜率為.因?yàn)閗·1，所以AC與OB不垂直所以四邊形OABC不是菱形，與假設(shè)矛盾所以當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí)，四邊形OABC不可能是菱形