1 1題型練7大題專項(xiàng)(五)解析幾何綜合問題1.如圖,橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率e=35,左焦點(diǎn)為F,A,B,C為其三個(gè)頂點(diǎn),直線CF與AB交于點(diǎn)D,若ADC的面積為15.(1)求橢圓C的方程.(2)是否存在分別以AD,AC為弦的兩個(gè)相外切的等圓?若存在,求出這兩個(gè)圓的圓心坐標(biāo);若不存在,請說明理由.2.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)1,32,離心率為32.(1)求橢圓C的方程;(2)不垂直于坐標(biāo)軸的直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),以AB為直徑的圓過原點(diǎn),且線段AB的垂直平分線交y軸于點(diǎn)P0,-32,求直線l的方程.3.設(shè)橢圓x2a2+y23=1(a>3)的右焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A.已知1|OF|+1|OA|=3e|FA|,其中O為原點(diǎn),e為橢圓的離心率.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)過點(diǎn)A的直線l與橢圓交于點(diǎn)B(B不在x軸上),垂直于l的直線與l交于點(diǎn)M,與y軸交于點(diǎn)H.若BFHF,且MOAMAO,求直線l的斜率的取值范圍.4.已知拋物線C:y2=2px(p>0),過焦點(diǎn)且斜率為1的直線m交拋物線C于A,B兩點(diǎn),以線段AB為直徑的圓在y軸上截得的弦長為27.(1)求拋物線C的方程.(2)過點(diǎn)P(0,2)的直線l交拋物線C于F,G兩點(diǎn),交x軸于點(diǎn)D,設(shè)PF=1FD,PG=2GD,試問1+2是否為定值?若是,求出該定值;若不是,請說明理由.5.已知拋物線C:y2=2x的焦點(diǎn)為F,平行于x軸的兩條直線l1,l2分別交C于A,B兩點(diǎn),交C的準(zhǔn)線于P,Q兩點(diǎn).(1)若F在線段AB上,R是PQ的中點(diǎn),證明ARFQ;(2)若PQF的面積是ABF的面積的兩倍,求AB中點(diǎn)的軌跡方程.6.(20xx江蘇,17)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,離心率為12,兩準(zhǔn)線之間的距離為8.點(diǎn)P在橢圓E上,且位于第一象限,過點(diǎn)F1作直線PF1的垂線l1,過點(diǎn)F2作直線PF2的垂線l2.(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若直線l1,l2的交點(diǎn)Q在橢圓E上,求點(diǎn)P的坐標(biāo).參考答案題型練7大題專項(xiàng)(五)解析幾何綜合問題1.解(1)設(shè)左焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(-c,0),其中c=a2-b2,e=ca=35,a=53c,b=43c.A0,43c,B-53c,0,C0,-43c,直線AB的方程為-3x5c+3y4c=1,直線CF的方程為-xc-3y4c=1,聯(lián)立解得點(diǎn)D的坐標(biāo)為-54c,13c.ADC的面積為15,12|xD|·|AC|=15,即12·54c·2·43c=15,解得c=3,a=5,b=4,橢圓C的方程為x225+y216=1.(2)由(1)知,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,4),點(diǎn)D的坐標(biāo)為-154,1.假設(shè)存在這樣的兩個(gè)圓M與圓N,其中AD是圓M的弦,AC是圓N的弦,則點(diǎn)M在線段AD的垂直平分線上,點(diǎn)N在線段AC的垂直平分線y=0上.當(dāng)圓M和圓N是兩個(gè)相外切的等圓時(shí),一定有A,M,N在一條直線上,且|AM|=|AN|.M,N關(guān)于點(diǎn)A對稱.設(shè)M(x1,y1),則N(-x1,8-y1),根據(jù)點(diǎn)N在直線y=0上,y1=8.M(x1,8),N(-x1,0),而點(diǎn)M在線段AD的垂直平分線y-52=-54x+158上,可求得x1=-25140.故存在這樣的兩個(gè)等圓,且這兩個(gè)圓的圓心坐標(biāo)分別為M-25140,8,N25140,0.2.解(1)由題意得ca=32,1a2+34b2=1,a2=b2+c2,解得a=2,b=1.故橢圓C的方程是x24+y2=1.(2)設(shè)直線l的方程為y=kx+t,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立y=kx+t,x24+y2=1,消去y,得(1+4k2)x2+8ktx+4t2-4=0,則有x1+x2=-8kt1+4k2,x1x2=4t2-41+4k2.>04k2+1>t2,y1+y2=kx1+t+kx2+t=k(x1+x2)+2t=2t1+4k2,y1y2=(kx1+t)(kx2+t)=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2=k24t2-41+4k2+kt-8kt1+4k2+t2=t2-4k21+4k2.因?yàn)橐訟B為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn),所以O(shè)AOB,x1x2+y1y2=0.因?yàn)閤1x2+y1y2=4t2-41+4k2+t2-4k21+4k2=0,所以5t2=4+4k2.因?yàn)?gt;0,所以4k2+1>t2,解得t<-32或t>32.又設(shè)A,B的中點(diǎn)為D(m,n),則m=x1+x22=-4kt1+4k2,n=y1+y22=t1+4k2.因?yàn)橹本€PD與直線l垂直,所以kPD=-1k=-32-n-m,得t1+4k2=12.由t1+4k2=12,5t2=4+4k2,解得t1=1,t2=-35.當(dāng)t=-35時(shí),>0不成立.當(dāng)t=1時(shí),k=±12,所以直線l的方程為y=12x+1或y=-12x+1.3.解(1)設(shè)F(c,0),由1|OF|+1|OA|=3e|FA|,即1c+1a=3ca(a-c),可得a2-c2=3c2,又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4.所以,橢圓的方程為x24+y23=1.(2)設(shè)直線l的斜率為k(k0),則直線l的方程為y=k(x-2).設(shè)B(xB,yB),由方程組x24+y23=1,y=k(x-2)消去y,整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.解得x=2,或x=8k2-64k2+3,由題意得xB=8k2-64k2+3,從而yB=-12k4k2+3.由(1)知,F(1,0),設(shè)H(0,yH),有FH=(-1,yH),BF=9-4k24k2+3,12k4k2+3.由BFHF,得BF·FH=0,所以4k2-94k2+3+12kyH4k2+3=0,解得yH=9-4k212k.因此直線MH的方程為y=-1kx+9-4k212k.設(shè)M(xM,yM),由方程組y=k(x-2),y=-1kx+9-4k212k消去y,解得xM=20k2+912(k2+1).在MAO中,MOAMAO|MA|MO|,即(xM-2)2+yM2xM2+yM2,化簡得xM1,即20k2+912(k2+1)1,解得k-64,或k64.所以,直線l的斜率的取值范圍為-,-6464,+.4.解(1)由已知:直線m的方程為y=x-p2,代入y2=2px,得x2-3px+p24=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=3p,|AB|=x1+x2+p=4p,且線段AB的中點(diǎn)為32p,p,由已知(7)2+32p2=(2p)2,解得p=2或p=-2(舍去),所以拋物線C的方程為y2=4x.(2)設(shè)直線l:y=kx+2(k0),則D-2k,0,聯(lián)立y=kx+2,y2=4x,得k2x2+4(k-1)x+4=0.由>0得k<12.設(shè)F(x3,y3),G(x4,y4),則x3+x4=4-4kk2,x3x4=4k2.PF=1FD(x3,y3-2)=1-2k-x3,-y3,PG=2GD(x4,y4-2)=2-2k-x4,-y4,所以1=x3-2k-x3=-kx3kx3+2,2=-kx4kx4+2.則1+2=-kx3kx3+2-kx4kx4+2=-2k2x3x4+2k(x3+x4)k2x3x4+2k(x3+x4)+4.將x3+x4=4-4kk2,x3x4=4k2代入上式得1+2=-1.即1+2為定值-1.5.解由題知F12,0.設(shè)l1:y=a,l2:y=b,則ab0,且Aa22,a,Bb22,b,P-12,a,Q-12,b,R-12,a+b2.記過A,B兩點(diǎn)的直線為l,則l的方程為2x-(a+b)y+ab=0.(1)證明由于F在線段AB上,故1+ab=0.記AR的斜率為k1,FQ的斜率為k2,則k1=a-b1+a2=a-ba2-ab=1a=-aba=-b=k2.所以ARFQ.(2)設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為D(x1,0),則SABF=12|b-a|FD|=12|b-a|x1-12,SPQF=|a-b|2.由題設(shè)可得2×12|b-a|x1-12=|a-b|2,所以x1=0(舍去),x1=1.設(shè)滿足條件的AB的中點(diǎn)為E(x,y).當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí),由kAB=kDE可得2a+b=yx-1(x1).而a+b2=y,所以y2=x-1(x1).當(dāng)AB與x軸垂直時(shí),E與D重合.所以,所求軌跡方程為y2=x-1.6.解(1)設(shè)橢圓的半焦距為c.因?yàn)闄E圓E的離心率為12,兩準(zhǔn)線之間的距離為8,所以ca=12,2a2c=8,解得a=2,c=1,于是b=a2-c2=3,因此橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程是x24+y23=1.(2)由(1)知,F1(-1,0),F2(1,0).設(shè)P(x0,y0),因?yàn)镻為第一象限的點(diǎn),故x0>0,y0>0.當(dāng)x0=1時(shí),l2與l1相交于F1,與題設(shè)不符.當(dāng)x01時(shí),直線PF1的斜率為y0x0+1,直線PF2的斜率為y0x0-1.因?yàn)閘1PF1,l2PF2,所以直線l1的斜率為-x0+1y0,直線l2的斜率為-x0-1y0,從而直線l1的方程:y=-x0+1y0(x+1),直線l2的方程:y=-x0-1y0(x-1).由,解得x=-x0,y=x02-1y0,所以Q-x0,x02-1y0.因?yàn)辄c(diǎn)Q在橢圓上,由對稱性,得x02-1y0=±y0,即x02-y02=1或x02+y02=1.又P在橢圓E上,故x024+y023=1.由x02-y02=1,x024+y023=1,解得x0=477,y0=377;x02+y02=1,x024+y023=1,無解.因此點(diǎn)P的坐標(biāo)為477,377.