新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料第四章平面向量第一節(jié)平面向量的基本概念及線性運(yùn)算考情展望1.在平面幾何圖形中考查向量運(yùn)算的平行四邊形法則及三角形法則.2.以四種命題及充分必要條件為知識(shí)載體，考查向量的有關(guān)概念.3.借助共線向量定理探求點(diǎn)線關(guān)系或求參數(shù)的值一、向量的有關(guān)概念1向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度(或模)2零向量：長度為0的向量，其方向是任意的3單位向量：長度等于1個(gè)單位的向量4平行向量：方向相同或相反的非零向量平行向量又叫共線向量規(guī)定：0與任一向量平行5相等向量：長度相等且方向相同的向量6相反向量：長度相等且方向相反的向量二、向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則平行四邊形法則(1)交換律：abba.(2)結(jié)合律：(ab)ca(bc)減法求a與b的相反向量b的和的運(yùn)算叫做a與b的差三角形法則aba(b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)與向量a的積的運(yùn)算(1)|a|a|；(2)當(dāng)0時(shí)，a的方向與a的方向相同；當(dāng)0時(shí)，a的方向與a的方向相反；當(dāng)0時(shí)，a0.(a)a；()aaa；(ab)ab向量加減法運(yùn)算的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：加法的三角形法則關(guān)鍵是“首尾相接，指向終點(diǎn)”，并可推廣為多個(gè)向量相加的“多邊形法則”；減法的三角形法則關(guān)鍵是“起點(diǎn)重合，指向被減向量”三、平面向量共線定理向量b與a(a0)共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得ba.巧用系數(shù)判共線(，R)，若A，B，C三點(diǎn)共線，則1；反之，也成立1化簡(jiǎn)的結(jié)果為()A.B.C.D.【解析】 ()().【答案】D2下列給出的命題正確的是()A零向量是唯一沒有方向的向量B平面內(nèi)的單位向量有且僅有一個(gè)Ca與b是共線向量，b與c是平行向量，則a與c是方向相同的向量D相等的向量必是共線向量【解析】 零向量方向任意，而不是沒有方向，故A錯(cuò)；平面內(nèi)單位向量有無數(shù)個(gè)，故B錯(cuò)；若b0，b與a、c都平行，但a、c不一定共線，故C錯(cuò)；相等的向量方向相同，必是共線向量，故D正確【答案】D3設(shè)a，b為不共線向量，a2b，4ab，5a3b，則下列關(guān)系式中正確的是()A. B.2C. D.2【解析】 (a2b)(4ab)(5a3b)8a2b2(4ab)2.【答案】B4已知a與b是兩個(gè)不共線向量，且向量ab與(b3a)共線，則的值為()A1 B1 C. D【解析】 由題意知abk(b3a)kb3ka，解得【答案】D5(2012·四川高考)設(shè)a、b都是非零向量，下列四個(gè)條件中，使成立的充分條件是()Aab BabCa2b Dab且|a|b|【解析】 表示與a同向的單位向量，表示與b同向的單位向量，只要a與b同向，就有，觀察選擇項(xiàng)易知C滿足題意【答案】C6(2013·四川高考)在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，則_.【解析】 由向量加法的平行四邊形法則，得.又O是AC的中點(diǎn)，AC2AO，2，2.又，2.【答案】2考向一 071平面向量的有關(guān)概念給出下列四個(gè)命題：若|a|b|，則ab或ab；若，則四邊形ABCD為平行四邊形；若a與b同向，且|a|b|，則ab；，為實(shí)數(shù)，若ab，則a與b共線其中假命題的個(gè)數(shù)為()A1B2C3D4【思路點(diǎn)撥】以概念為判斷依據(jù)，或通過舉反例來說明其不正確【嘗試解答】不正確|a|b|但a、b的方向不確定，故a，b不一定相等；不正確因?yàn)?，A、B、C、D可能在同一直線上，所以ABCD不一定是四邊形不正確兩向量不能比較大小不正確當(dāng)0時(shí)，a與b可以為任意向量，滿足ab，但a與b不一定共線【答案】D規(guī)律方法11.(1)易忽視零向量這一特殊向量，誤認(rèn)為是正確的；(2)充分利用反例進(jìn)行否定是對(duì)向量的有關(guān)概念題進(jìn)行判定的行之有效的方法.2.準(zhǔn)確理解向量的基本概念是解決這類題目的關(guān)鍵.(1)相等向量具有傳遞性，非零向量平行也具有傳遞性.(2)共線向量(平行向量)和相等向量均與向量的起點(diǎn)無關(guān).3.“向量”和“有向線段”是兩個(gè)不同的概念，向量只有兩個(gè)要素：大小、方向；而有向線段有三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長度.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練給出下列四個(gè)命題：兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同；若ab，bc，則ac；若ab，bc，則ac；ab的充要條件是|a|b|且ab.其中假命題的個(gè)數(shù)為()A1B2C3D4【解析】 不正確兩個(gè)向量起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同，則兩向量相等；但兩個(gè)向量相等，不一定有相同的起點(diǎn)和終點(diǎn)正確根據(jù)向量相等的定義知不正確若b0時(shí)，b與a、c都平行，但a、c不一定平行不正確ab的充要條件是|a|b|且a，b同向【答案】C考向二 072平面向量的線性運(yùn)算(2014·寧波模擬)(1)在ABC中，若D是AB邊上一點(diǎn)，且2，則()A.B.CD(2)若O是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，D為BC邊中點(diǎn)，且20，那么()A. B.2C.3 D2【思路點(diǎn)撥】(1)D是AB邊上的三等分點(diǎn)，把用、表示；(2)由D為BC邊中點(diǎn)可得2，代入已知條件即可求解【嘗試解答】(1)()，所以，故選A.(2)因?yàn)镈為BC邊中點(diǎn)，2，又20，220，即，故選A.【答案】(1)A(2)A規(guī)律方法21.解答本例(1)的關(guān)鍵是利用向量的加法與減法把用、表示出來.解答本例(2)的關(guān)鍵是2.2.進(jìn)行向量的線性運(yùn)算時(shí)，要盡可能轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，選用從同一頂點(diǎn)出發(fā)的基本向量或首尾相連的向量，運(yùn)用向量加、減法運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算來解.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練圖411(1)如圖411所示，向量a，b，c，A、B、C在一條直線上，若3，則()AcabBcabCca2bDca2b(2)若|2，則|_.【解析】 (1)33()33，23，cab.(2)|2，ABC是邊長為2的正三角形，|為三角形高的2倍，所以|2.【答案】(1)A(2)2考向三 073共線向量定理的應(yīng)用設(shè)兩個(gè)非零向量e1和e2不共線(1)如果e1e2，3e12e2，8e12e2，求證：A、C、D三點(diǎn)共線(2)如果e1e2，2e13e2，3e1ke2，且A、C、F三點(diǎn)共線，求k的值【思路點(diǎn)撥】(1)A、C、D三點(diǎn)共線存在實(shí)數(shù)使.(2)A、C、F三點(diǎn)共線存在實(shí)數(shù)，使.【嘗試解答】(1)e1e2，3e12e2，4e1e2，又8e12e2，所以2，與共線，又與有公共點(diǎn)C，A、C、D三點(diǎn)共線(2)e1e2，2e13e2，3e12e2.A、C、F三點(diǎn)共線，從而存在實(shí)數(shù)，使得.3e12e23e1ke2，又e1，e2是不共線的非零向量，因此k2.所以實(shí)數(shù)k的值為2. 規(guī)律方法31.向量b與非零向量a共線的充要條件是存在唯一實(shí)數(shù)，使ba.要注意通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，要注意待定系數(shù)法和方程思想的運(yùn)用.2.證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(1)已知向量a，b不共線，ckab(kR)，dab.如果cd，那么()Ak1且c與d同向Bk1且c與d反向Ck1且c與d同向 Dk1且c與d反向(2)(2014·洛陽模擬)對(duì)于非零向量a、b，“ab0”是“ab”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件【解析】 (1)cd，cd，即kab(ab)ab，k1，故選D.(2)由ab0知道a與b互為相反向量，從而ab，充分性成立由ab知ab，1時(shí)，ab0，必要性不成立【答案】(1)D(2)A易錯(cuò)易誤之八忽視零向量的特殊性致誤1個(gè)示范例1個(gè)防錯(cuò)練(2014·荊州模擬)下列命題正確的是()A向量a、b共線的充要條件是有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)，使baB在ABC中，0C不等式|a|b|ab|a|b|中兩個(gè)等號(hào)不可能同時(shí)成立D向量a、b不共線，則向量ab與向量ab必不共線【解析】 A不正確，當(dāng)ab0時(shí)，有無數(shù)個(gè)實(shí)數(shù)滿足ba.此處在求解時(shí)，常因忽視“共線向量定理中的條件a0”而致誤B不正確，在ABC中，0.此處在求解時(shí)，常因混淆向量與數(shù)量的關(guān)系致誤，0是向量，其模為0，而0是數(shù)量，沒有方向C不正確，當(dāng)b0時(shí)，不等式|a|a|a|顯然成立此處在求解時(shí)，常受代數(shù)不等式|a|b|ab|a|b|的影響，而忽略了向量中0的作用導(dǎo)致錯(cuò)誤D正確向量a與b不共線，a，b，ab與ab均不為零向量若ab與ab平行，則存在實(shí)數(shù)，使ab(ab)，即(1)a(1)b，無解，故假設(shè)不成立，即ab與ab不平行，故選D.【防范措施】 (1)共線向量定理中，ba要求a0，否則值可能不存在(2)向量的加減及數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)果，仍然是一個(gè)向量，而不是一個(gè)數(shù)(3)應(yīng)熟練掌握向量不等式|a|b|ab|a|b|等號(hào)成立的條件下列說法不正確的有_若ab，則a與b的方向相同或相反；若a0，則0；相反向量必不相等；若ae1e2，b2e1，R，且0，則ab 的充要條件是e20.【解析】 不正確，如a0.不正確，a0，則0或a0.不正確，00.不正確，當(dāng)e1e2時(shí)該命題也成立【答案】第二節(jié)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示考情展望1.考查用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行向量的線性運(yùn)算.2.考查應(yīng)用平面向量基本定理進(jìn)行向量的線性運(yùn)算.3.以向量的坐標(biāo)運(yùn)算及共線向量定理為載體，考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力一、平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于該平面內(nèi)任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1，2，使a1e12e2，其中e1，e2是一組基底二、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量平行的坐標(biāo)表示1平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)(b0)，則a±b(x1±x2，y1±y2)(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(x2x1，y2y1)，|.(3)若a(x，y)，R，則a(x，y)2向量平行的坐標(biāo)表示(1)如果a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件為x1y2x2y10.(2)三點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)共線的充要條件為(x2x1)(y3y1)(x3x1)(y2y1)0.共線向量的坐標(biāo)表示若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件不能表示成，因?yàn)閤2，y2有可能等于0，所以應(yīng)表示為x1y2x2y10.1下列各組向量：e1(1,2)，e2(5,7)；e1(3,5)，e2(6,10)；e1(2，3)，e2(，)，能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量基底的是()ABCD【解析】 中，e22e1，e1與e2共線；中e14e2，e1與e2共線，故選A.【答案】A2若a(3,2)，b(0，1)，則2ba的坐標(biāo)是()A(3，4) B(3,4)C(3,4) D(3，4)【解析】 2ba2(0，1)(3,2)(3，4)【答案】D3已知a(4,5)，b(8，y)且ab，則y等于()A5 B10 C. D15【解析】 ab，4y400，y10.【答案】B4在平行四邊形ABCD中，若(1,3)，(2,5)，則_，_.【解析】 (2,5)(1,3)(1,2)，(1,2)(1,3)(0，1)【答案】(1,2)(0，1)5(2013·廣東高考)設(shè)a是已知的平面向量且a0.關(guān)于向量a的分解，有如下四個(gè)命題：給定向量b，總存在向量c，使abc；給定向量b和c，總存在實(shí)數(shù)和，使ab c；給定單位向量b和正數(shù)，總存在單位向量c和實(shí)數(shù)，使ab c；給定正數(shù)和，總存在單位向量b和單位向量c，使ab c.上述命題中的向量b，c和a在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，則真命題的個(gè)數(shù)是()A1B2C3D4【解析】 顯然命題是正確的對(duì)于，以a的終點(diǎn)作長度為的圓，這個(gè)圓必須和向量b有交點(diǎn)，這個(gè)不一定能滿足，是錯(cuò)的，對(duì)于命題，若1，|a|2時(shí)，與|a|bc|b|c|2矛盾，則不正確【答案】B6(2013·北京高考)向量a，b，c在正方形圖421網(wǎng)格中的位置如圖421所示，若cab(，R)，則_.【解析】 以向量a的終點(diǎn)為原點(diǎn)，過該點(diǎn)的水平和豎直的網(wǎng)格線所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)一個(gè)小正方形網(wǎng)格的邊長為1，則a(1,1)，b(6,2)，c(1，3)由ca b，即(1，3)(1,1)(6,2)，得61，23，故2，則4.【答案】4考向一 074平面向量基本定理及其應(yīng)用(1)(2014·長春模擬)在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn)若，其中，R，則_.圖422(2)如圖422，在四邊形ABCD中，AC和BD相交于點(diǎn)O，設(shè)a，b，若2，則_(用向量a和b表示)【思路點(diǎn)撥】(1)以，為基底分別表示，根據(jù)平面向量基本定理列方程組求解(2)2借助三角形法則表示.【嘗試解答】(1)選擇，作為平面向量的一組基底，則，又()()，于是得解得所以.(2)由2知，ABDC且|2|，從而|2|.()(ab)，b(ab)ab.【答案】(1)(2)a規(guī)律方法11.解答本例(1)的關(guān)鍵是根據(jù)平面向量基本定理列出關(guān)于，的方程組2(1)利用平面向量基本定理表示向量時(shí)，要選擇一組恰當(dāng)?shù)幕讈肀硎酒渌蛄?，即用特殊向量表示一般向量常與待定系數(shù)法、方程思想緊密聯(lián)系在一起解決問題(2)利用已知向量表示未知向量，實(shí)質(zhì)就是利用三角形法則進(jìn)行向量的加減運(yùn)算，在解題時(shí)，注意方程思想的運(yùn)用對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(2013·江蘇高考)設(shè)D，E分別是ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，ADAB，BEBC.若12(1，2為實(shí)數(shù))，則12的值為_【解析】 由題意()，于是1，2，故12.【答案】考向二 075平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算已知O(0,0)，A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)設(shè)a，b，c，且3c，2b，(1)求：3ab3c；(2)求滿足ambnc的實(shí)數(shù)m，n；(3)求M、N的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)【思路點(diǎn)撥】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量的坐標(biāo)與其起點(diǎn)、終點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系求解【嘗試解答】a(3(2)，14)(5，5)，b(33，4(1)(6，3)，c(2(3)，4(4)(1,8)(1)3ab3c(15，15)(6，3)(3,24)(1563，15324)(6，42)(2)由ambnc，得(5，5)(6m，3m)(n,8n)(6mn，3m8n)解得(3)3c，3c(3,24)(3，4)(0,20)M(0,20)又2b，2b(12,6)(3，4)(9,2)，N(9,2)(9，18)規(guī)律方法21.向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加減、數(shù)乘運(yùn)算的法則進(jìn)行.若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)，注意方程思想的應(yīng)用.2.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算的引入為向量提供了新的語言“坐標(biāo)語言”，實(shí)質(zhì)是“形”化為“數(shù)”.向量的坐標(biāo)運(yùn)算，使得向量的線性運(yùn)算都可用坐標(biāo)來進(jìn)行，實(shí)現(xiàn)了向量運(yùn)算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結(jié)合起來.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練如圖423，已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(4,3)，B(3，1)，C(1，2)，求第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)圖423【解】設(shè)頂點(diǎn)D(x，y)若平行四邊形四個(gè)頂點(diǎn)的順序?yàn)锳BCD，則(34，13)(1，4)，(1x，2y)由，得解得故第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,2)；若平行四邊形四個(gè)頂點(diǎn)的順序?yàn)锳CBD，則(14，23)(3，5)，(3x，1y)由，得解得故第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(6,4)；若平行四邊形四個(gè)頂點(diǎn)的順序?yàn)锳BDC，則(34，13)(1，4)，(x1，y2)由，得解得故第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，6)綜上，第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是(2,2)或(6,4)或(0，6)考向三 076平面向量共線的坐標(biāo)表示(1)設(shè)向量a，b滿足|a|2，b(2,1)，且a與b的方向相反，則a的坐標(biāo)為_(2)(2014·青島期中)向量a，b(cos ，1)，且ab，則cos 2()AB.CD.【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)a與b的關(guān)系，設(shè)出a的坐標(biāo)，再根據(jù)|a|2求解；(2)由向量平行關(guān)系的坐標(biāo)表示列出等式，求出sin 后，再利用二倍角公式進(jìn)行求解【嘗試解答】(1)a與b的方向相反且b(2,1)，設(shè)ab(2，)，0，又|a|2，42220，即24，又0，2，因此a(4，2)(2)a，b(cos ，1)，又由ab可知tan cos ，即sin ，cos 212sin21.【答案】(1)(4，2)(2)D規(guī)律方法31.兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件是x1y2x2y10；(2)若ab(a0)，則ba.2向量共線的坐標(biāo)表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數(shù)當(dāng)兩向量的坐標(biāo)均非零時(shí)，也可以利用坐標(biāo)對(duì)應(yīng)成比例來求解對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(1)已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)若為實(shí)數(shù)，(ab)c，則()A.B.C1D2(2)已知向量(3，4)，(6，3)，(5m，3m)，若點(diǎn)A、B、C能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m滿足的條件是_【解析】 (1)a(1,2)，b(1,0)，ab(1,2)(1,0)(1，2)，由于(ab)c，且c(3,4)，4(1)60，解得.(2)因?yàn)?3，4)，(6，3)，(5m，3m)，所以(3,1)，(m1，m)由于點(diǎn)A、B、C能構(gòu)成三角形，所以與不共線，而當(dāng)與共線時(shí)，有，解得m，故當(dāng)點(diǎn)A、B、C能構(gòu)成三角形時(shí)實(shí)數(shù)m滿足的條件是m.【答案】(1)B(2)m思想方法之十二待定系數(shù)法在向量運(yùn)算中的應(yīng)用根據(jù)向量之間的關(guān)系，利用待定系數(shù)法列出一個(gè)含有待定系數(shù)的恒等式，然后根據(jù)恒等式的性質(zhì)求出各待定系數(shù)的值或消去這些待定系數(shù)，找出原來那些系數(shù)之間的關(guān)系，從而使問題得到解決1個(gè)示范例1個(gè)對(duì)點(diǎn)練如圖424所示，在OAB中，AD與BC交于點(diǎn)M，設(shè)a，圖424b，利用a和b表示向量.【解】設(shè)manb，則manba(m1)anb.ba.因?yàn)锳、M、D三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)，使，即(m1)anbab.所以消去，得m2n1，同理manbaanb，ba，因?yàn)镃、M、B三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)t，使t，即anbt.所以消去t，得4mn1，聯(lián)立，得m，n，所以ab.圖425如圖425所示，M是ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足條件230，延長CM交AB于N，令a，試用a表示.【解】因?yàn)?，所以?30，得()2()30，所以3230.又因?yàn)锳，N，B三點(diǎn)共線，C，M，N三點(diǎn)共線，由平面向量基本定理，設(shè)，所以3230.所以(2)(33)0.由于和不共線，由平面向量基本定理，得所以所以，22a. 第三節(jié)平面向量的數(shù)量積考情展望1.以客觀題的形式考查平面向量數(shù)量積的計(jì)算，向量垂直條件與數(shù)量積的性質(zhì).2.以平面向量數(shù)量積為工具，與平面幾何、三角函數(shù)、解析幾何等知識(shí)交匯命題，主要考查運(yùn)算能力及數(shù)形結(jié)合思想一、平面向量的數(shù)量積1數(shù)量積的定義：已知兩個(gè)非零向量a和b，它們的夾角為，則向量a與b的數(shù)量積是數(shù)量|a|b|cos ，記作a·b，即a·b|a|b|cos .規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.2向量的投影：設(shè)為a與b的夾角，則向量a在b方向上的投影是|a|cos ；向量b在a方向上的投影是|b|cos .3數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 的乘積二、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律1交換律：a·bb·a；2數(shù)乘結(jié)合律：(a)·b(a·b)a·(b)；3分配律：a·(bc)a·ba·c.三、平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，為向量a，b的夾角結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示模|a|a|數(shù)量積a·b|a|b|cos a·bx1x2y1y2夾角cos cos ab的充要條件a·b0x1x2y1y20|a·b|與|a|b|的關(guān)系|a·b|a|b|(當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立)|x1x2y1y2|·1已知a(1，3)，b(4,6)，c(2,3)，則(b·c)a等于()A(26，78)B(28，42)C52 D78【解析】 b·c4×26×326，(b·c)a(26，78)【答案】A2已知向量a、b滿足|a|1，|b|4，且a·b2，則a與b的夾角為()A.B.C.D.【解析】 向量a、b滿足|a|1，|b|4，且a·b2，設(shè)a與b的夾角為，則cos ，.【答案】C3已知向量a，b和實(shí)數(shù)，下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是()A|a| B|a·b|a|·|b|C(a·b)a·b D|a·b|a|·|b|【解析】 |a·b|a|b|cos |，故B錯(cuò)誤【答案】B4已知向量a，b滿足a·b0，|a|1，|b|2，則|2ab|()A0 B2 C4 D8【解析】 |a|1，|b|2，a·b0|2ab|2.【答案】B5(2013·湖北高考)已知點(diǎn)A(1,1)，B(1,2)，C(2，1)，D(3,4)，則向量在方向上的投影為()A. B.C D【解析】 由已知得(2,1)，(5,5)，因此在方向上的投影為.【答案】A6(2013·課標(biāo)全國卷)已知兩個(gè)單位向量a，b的夾角為60°，cta(1t)b，若b·c0，則t_.【解析】 |a|b|1，a，b60°.cta(1t)b，b·cta·b(1t)b2t×1×1×(1t)×11t1.b·c0，10，t2.【答案】2考向一 077平面向量數(shù)量積的運(yùn)算(1)(2012·浙江高考)在ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM3，BC10，則·_.(2)(2012·北京高考)已知正方形ABCD的邊長為1，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則·的值為_；·的最大值為_【思路點(diǎn)撥】(1)把，用，或表示；(2)建立平面直角坐標(biāo)系，把向量用坐標(biāo)表示或用數(shù)量積的幾何意義求解【嘗試解答】(1)如圖所示，·()·()22|2|292516.(2)法一如圖所示，以AB，AD所在的直線分別為x軸和y軸建立平面直角坐標(biāo)系，由于正方形邊長為1，故B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)又E在AB邊上，故設(shè)E(t,0)(0t1)則(t，1)，(0，1)故·1.又(1,0)，·(t，1)·(1,0)t.又0t1，·的最大值為1.法二ABCD是正方形，.··|cosEDA|cosEDA|·|21.又E點(diǎn)在線段AB上運(yùn)動(dòng)，故為點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，在上的投影最大，此時(shí)·|cos 45°×1.所以·的最大值為1.【答案】(1)16(2)11規(guī)律方法11.平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算有兩種形式，一是依據(jù)長度與夾角，二是利用坐標(biāo)來計(jì)算.2.要有“基底”意識(shí)，關(guān)鍵用基向量表示題目中所求相關(guān)向量，如本例(1)中用、表示、等.注意向量夾角的大小，以及夾角0°，90°，180°三種特殊情形.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(1)(2013·江西高考)設(shè)e1，e2為單位向量， 且e1，e2的夾角為，若ae13e2，b2e1，則向量a在b方向上的投影為_(2)(2014·濟(jì)南模擬)在邊長為1的正三角形ABC中，設(shè)2，3，則·_.【解析】 (1)由于ae13e2，b2e1，所以|b|2，a·b(e13e2)·2e12e6e1·e226×5，所以a在b方向上的投影為|a|·cosa，b.(2)2，3，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是線段CA的三等分點(diǎn)，以向量，作為基向量，()，·()·()22·，又|1，且，.·|cos .【答案】(1)(2)考向二 078平面向量的夾角與垂直(1)(2013·安徽高考)若非零向量a，b滿足|a|3|b|a2b|，則a與b夾角的余弦值為_(2)(2013·山東高考)已知向量與的夾角為120°，且|3，|2.若，且，則實(shí)數(shù)的值為_【思路點(diǎn)撥】(1)由|a|a2b|平方得出a·b，然后代入夾角公式cosa，b求解(2)把轉(zhuǎn)化為，再通過·0求解【嘗試解答】(1)由|a|a2b|，兩邊平方，得|a|2(a2b)2|a|24|b|24a·b，所以a·b|b|2.又|a|3|b|，所以cosa，b.(2)，·0.又，()()0，即(1)·220，(1)|cos 120°940.(1)×3×2×940.解得.【答案】(1)(2)規(guī)律方法21.當(dāng)a，b以非坐標(biāo)形式給出時(shí)，求a，b的關(guān)鍵是借助已知條件求出|a|、|b|與a·b的關(guān)系.2.(1)非零向量垂直的充要條件：aba·b0|ab|ab|x1x2y1y20.(2)本例(2)中常見的錯(cuò)誤是不會(huì)借助向量減法法則把表示成，導(dǎo)致求解受阻.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(1)已知a，b都是非零向量，且|a|b|ab|，則a與ab的夾角為_(2)已知a與b為兩個(gè)不共線的單位向量，k為實(shí)數(shù)，若向量ab與向量kab垂直，則k_.【解析】 (1)由|a|b|ab|得，|a|2|b|2，|b|2a22a·bb2，所以a·ba2.而|ab|2|a|22a·b|b|22|a|22×|a|23|a|2，所以|ab|a|.設(shè)a與ab的夾角為，則cos ，由于0°180°，所以30°.(2)a與b是不共線的單位向量，|a|b|1.又kab與ab垂直，(ab)·(kab)0，即ka2ka·ba·bb20.k1ka·ba·b0.即k1kcos cos 0.(為a與b的夾角)(k1)(1cos )0.又a與b不共線，cos 1，k1.【答案】(1)30°(2)1考向三 079平面向量的模及其應(yīng)用(1)(2014·威海模擬)設(shè)x，yR，向量a(x,1)，b(1，y)，c(2，4)，且ac，bc，則|ab|()A.B.C2D10(2)(2014·鄭州模擬)已知(cos ，sin )，(1sin ，1cos )，其中0，求|的取值范圍及|取得最大值時(shí)的值【思路點(diǎn)撥】(1)由ac求x的值，由bc求y的值，求ab，求|ab|.(2)【嘗試解答】(1)a(x,1)，b(1，y)，c(2，4)，由ac得a·c0，即2x40，x2.由bc得1×(4)2y0，y2.a(2,1)，b(1，2)ab(3，1)，|ab|.【答案】B(2)(1sin cos ，1cos sin )，|P|2(1sin cos )2(1cos sin )244sin cos 42sin 2.0，1sin 21，|22,6，|，當(dāng)sin 21，即時(shí)，|取得最大值規(guī)律方法31.x1y2x2y10與x1x2y1y20不同，前者是a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)共線的充要條件，而后者是它們垂直的充要條件.2.求解向量的長度問題一般可以從兩個(gè)方面考慮：(1)利用向量的幾何意義，即利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用余弦定理等方法求解；(2)利用公式|a|及(a±b)2|a|2±2a·b|b|2把長度問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的運(yùn)算問題解決.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(1)(2012·安徽高考)設(shè)向量a(1,2m)，b(m1,1)，c(2，m)若(ac)b，則|a|_.(2)已知向量a(sin ，1)，b(1，cos )，.若ab，則_.若|ab|的最大值為1，則_.【解析】 (1)ac(1,2m)(2，m)(3,3m)(ac)b，(ac)·b(3,3m)·(m1,1)6m30，m.a(1，1)，|a|.(2)由ab得sin cos 0，tan 1.，.|ab|a22a·bb2sin212sincos2132sin.，.當(dāng)，即時(shí)|ab|2最大為32，而1.|ab|取最大值1時(shí)，.【答案】(1)(2)易錯(cuò)易誤之九忽略向量共線條件致誤1個(gè)示范例1個(gè)防錯(cuò)練(2014·廣州模擬)已知a(1,2)，b(1,1)，且a與ab的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_【解析】 a與ab均為非零向量，且夾角為銳角，a·(ab)0，即(1,2)·(1，2)0，(1)2(2)0，當(dāng)a與 ab共線時(shí)，存在實(shí)數(shù)m，使abma，此處在求解時(shí)，常因忽略“a與ab共線”的情形致誤，出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因是誤認(rèn)為a·b0與a，b為銳角等價(jià).即(1，2)m(1,2)，0，即當(dāng)0時(shí)，a與ab共線綜上可知，的取值范圍為.【防范措施】 1.a，b的夾角為銳角并不等價(jià)于a·b0，a·b0等價(jià)于a與b夾角為銳角或0°.2.依據(jù)兩向量的夾角求向量坐標(biāo)中的參數(shù)時(shí)，要注意0°或180°的情形.其中cos 0°10，cos 180°10.)已知a(2，1)，b(，3)，若a與b的夾角為鈍角，則的取值范圍是_【解析】 由a·b0，即230，解得.又當(dāng)ab時(shí)，6，故所求的范圍為且6.【答案】第四節(jié)平面向量應(yīng)用舉例考情展望1.用向量的方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何證明問題.2.與三角函數(shù)、解析幾何等知識(shí)交匯命題，體現(xiàn)向量運(yùn)算的工具性一、向量在平面幾何中的應(yīng)用1平面向量在平面幾何中的應(yīng)用主要是用向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積解決平面幾何中的平行、垂直、平移、全等、相似、長度、夾角等問題2用向量解決常見平面幾何問題的技巧問題類型所用知識(shí)公式表示線平行、點(diǎn)共線、相似等問題共線向量定理ababx1y2x2y10(b0)其中a(x1，y1)，b(x2，y2)垂直問題數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)aba·b0x1x2y1y20a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中a，b為非零向量夾角問題數(shù)量積的定義cos (為向量a，b的夾角)二、向量在物理中的應(yīng)用1向量的加法、減法在力的分解與合成中的應(yīng)用2向量在速度的分解與合成中的應(yīng)用3向量的數(shù)量積在合力做功問題中的應(yīng)用：Wf·s.1已知三個(gè)力f1，f2，f3作用于物體同一點(diǎn)，使物體處于平衡狀態(tài)，若f1(2,2)，f2(2,3)，則|f3|為()A2.5B4C2D5【解析】 由題意知f1f2f30，f3(f1f2)(0，5)，|f3|5.【答案】D2已知O是ABC所在平面上一點(diǎn)，若···，則O是ABC的()A內(nèi)心 B重心 C外心 D垂心【解析】 ···()0，·0OBAC.同理：OABC，OCAB，O是ABC的垂心【答案】D3若·20，則ABC為()A鈍角三角形 B銳角三角形C等腰直角三角形 D直角三角形【解析】 ·20可化為·()0，即·0，所以.所以ABC為直角三角形【答案】D4已知兩個(gè)力F1、F2的夾角為90°，它們的合力F的大小為10 N，合力與F1的夾角為60°，那么F1的大小為_【解析】 如圖所示|F1|F|cos 60°10×5(N)【答案】5 N5(2012·湖南高考)在ABC中，AB2，AC3，·1，則BC()A. B. C2 D.【解析】 ·1，且AB2，1|cos(B)，|cos B.在ABC中，|AC|2|AB|2|BC|22|AB|BC|cos B，即94|BC|22×2×.|BC|.【答案】A6(2013·福建高考)在四邊形ABCD中，(1,2)，(4,2)，則該四邊形的面積為()A. B2 C5 D10【解析】 ·(1,2)·(4,2)440，S四邊形ABCD|·|××25.【答案】C考向一 080向量在平面幾何中的應(yīng)用(1)(2014·長沙模擬)在ABC中，已知向量與滿足·0，且·，則ABC為()A等邊三角形B直角三角形C等腰非等邊三角形 D三邊均不相等的三角形(2)(2014·濟(jì)南模擬)設(shè)a，b，c為同一平面內(nèi)具有相同起點(diǎn)的任意三個(gè)非零向量，且a與b不共線，ac，|a|c|，則|b·c|的值一定等于()A以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積B以b，c為兩邊的三角形面積C以a，b為兩邊的三角形面積D以b，c為鄰邊的平行四邊形的面積(3)已知ABC的三邊長AC3，BC4，AB5，P為AB邊上任意一點(diǎn)，則·()的最大值為_【思路點(diǎn)撥】(1)是單位向量，結(jié)合平行四邊形法則及·0分析AB與AC的關(guān)系，借助數(shù)量積的定義求CBA，進(jìn)而得出ABC的形狀(2)借助數(shù)量積的定義及三角函數(shù)誘導(dǎo)公式求解(3)可采用坐標(biāo)法和基向量法分別求解本題【嘗試解答】(1)因?yàn)?#183;0，所以BAC的平分線垂直于BC，所以ABAC.又·，所以cosBAC，即BAC，所以ABC為等邊三角形(2)依題意可得|b·c|b|c|cosb，c|b|c|sina，bS平行四邊形|b·c|的值一定等于以b，c為鄰邊的平行四邊形的面積(3)法一(坐標(biāo)法)以C為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系如圖，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)且0y3,0x4，則·()·(x，y)·(0,3)3y，當(dāng)y3時(shí)，取得最大值9.法二(基向量法)，·()()·2·9·9|·|·cosBAC93|·cosBAC，cosBAC為正且為定值，當(dāng)|最小即|0時(shí)，·()取得最大值9.【答案】(1)A(2)D(3)9規(guī)律方法11.向量在平面幾何中的三大應(yīng)用：一是借助運(yùn)算判斷圖形的形狀，二是借助模、數(shù)量積等分析幾何圖形的面積；三是借助向量探尋函數(shù)的最值表達(dá)式，進(jìn)而求最值.2.平面幾何問題的向量解法(1)坐標(biāo)法,把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，就賦予了有關(guān)點(diǎn)與向量具體的坐標(biāo)，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問題得到解決.(2)基向量法,適當(dāng)選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量共線構(gòu)造關(guān)于設(shè)定未知量的方程來進(jìn)行求解.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(1)已知點(diǎn)O，N，P在ABC所在平面內(nèi)，且|，0，···，則點(diǎn)O，N，P依次是ABC的()A重心、外心、垂心B重心、外心、內(nèi)心C外心、重心、垂心 D外心、重心、內(nèi)心(注：三角形的三條高線交于一點(diǎn)，此點(diǎn)稱為三角形的垂心)(2)(2013·課標(biāo)全國卷)已知正方形ABCD的邊長為2，E為CD的中點(diǎn)，則·_.【解析】 (1)|，即點(diǎn)O到A，B，C三點(diǎn)的距離相等，點(diǎn)O為ABC的外心如圖，設(shè)D為BC邊的中心，則2，0，20，2，A，D，N三點(diǎn)共線，點(diǎn)N在BC邊的中線上同理，點(diǎn)N也在AB，AC邊的中線上，點(diǎn)N是ABC的重心··，··0，·()0，·0，.同理，點(diǎn)P是ABC的垂心(2)如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸，AD所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(2,0)，D(0,2)，E(1,2)，(1,2)，(2,2)，·1×(2)2×22.【答案】(1)C(2)2考向二 081向量在物理中的應(yīng)用(1)一質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個(gè)力F1、F2、F3(單位：牛頓)的作用而處于平衡狀態(tài)已知F1、F2成60°角，且F1、F2的大小分別為2和4，則F3的大小為()A2B2C2D6圖441(2)如圖441所示，已知力F與水平方向的夾角為30°(斜向上)，F(xiàn)的大小為50 N，F(xiàn)拉著一個(gè)重80 N的木塊在摩擦因數(shù)0.02的水平平面上運(yùn)動(dòng)了20 m，問F、摩擦力f所做的功分別為多少？【思路點(diǎn)撥】(1)利用F1F2F30，結(jié)合向量模的求法求解(2)力在位移上所做的功，是向量數(shù)量積的物理含義，要先求出力F，f和位移的夾角【嘗試解答】(1)如圖所示，由已知得F1F2F30，F(xiàn)3(F1F2)FFF2F1·F2FF2|F1|F2|cos 60°28.|F3|2.【答案】A(2)設(shè)木塊的位移為s，則F·s|F|·|s|cos 30°50×20×500 J，F(xiàn)在豎直方向上的分力大小為|F|sin 30°50×25(N)，所以摩擦力f的大小為|f|(8025)×0.021.1(N)，所以f·s|f|·|s|cos 180°1.1×20×(1)22 J.F，f所做的功分別是500 J，22 J規(guī)律方法21.物理學(xué)中的“功”可看作是向量的數(shù)量積的原型.2.應(yīng)善于將平面向量知識(shí)與物理有關(guān)知識(shí)進(jìn)行類比.例如，向量加法的平行四邊形法則可與物理中力的合成進(jìn)行類比，平面向量基本定理可與物理中力的分解進(jìn)行類比.3.用向量方法解決物理問題的步驟：一是把物理問題中的相關(guān)量用向量表示；二是轉(zhuǎn)化為向量問題的模型，通過向量運(yùn)算解決問題；三是將結(jié)果還原為物理問題.考向三 082向量在三角函數(shù)中的應(yīng)用(2013·遼寧高考)設(shè)向量a(sin x，sin x)，b(cos x，sin x)，x.(1)若|a|b|，求x的值；(2)設(shè)函數(shù)f(x)a·b，求f(x)的最大值【思路點(diǎn)撥】分別表示兩向量的模，利用相等求解x的值；利用數(shù)量積運(yùn)算及輔助角公式化為一個(gè)角的一種函數(shù)求解【嘗試解答】(1)由|a|2(sin x)2sin2 x4sin2x，|b|2cos2xsin2x1，及|a|b|，得4sin2x1.又x，從而sin x，所以x.(2)f(x)a·bsin x·cos xsin2xsin 2xcos 2xsin，當(dāng)x時(shí)，sin取最大值1.所以f(x)的最大值為.規(guī)律方法3平面向量與三角函數(shù)結(jié)合的題目的解題思路通常是將向量的數(shù)量積與模經(jīng)過坐標(biāo)運(yùn)算后轉(zhuǎn)化為三角問題，然后利用三角函數(shù)基本公式求解.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量(sin ，1)，(cos ，0)，(sin ，2)，點(diǎn)P滿足.(1)記函數(shù)f()·，求函數(shù)f()的最小正周期；(2)若O、P、C三點(diǎn)共線，求|的值【解】(1)(cos sin ，1)，設(shè)(x，y)，則(xcos ，y)，由得x2cos sin ，y1，故(2cos sin ，1)(sin cos ，1)，(2sin ，1)，f()(sin cos ，1)·(2sin ，1)2sin22sin cos 1(sin 2cos 2)sin，f()的最小正周期T.(2)由O、P