1 10專題九：圓錐曲線例 題如圖，橢圓C：1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)分別為點(diǎn)A，B，且|AB|BF|（1）求橢圓C的離心率；（2）若點(diǎn)M在橢圓C內(nèi)部，過點(diǎn)M的直線l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，M為線段PQ的中點(diǎn)，且OPOQ求直線l的方程及橢圓C的方程【解析】（1）由已知|AB|BF|，即a，4a24b25a2，4a24(a2c2)5a2，e（2）由（1）知a24b2，橢圓C：1設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由1，1，可得0，即0，即(y1y2)0，從而kPQ2，所以直線l的方程為y2，即2xy20由x24(2x2)24b20，即17x232x164b2032216×17(b24)>0b>，x1x2，x1x2OPOQ，·0，即x1x2y1y20，x1x2(2x12)(2x22)0，即5x1x24(x1x2)40，從而40，解得b1，橢圓C的方程為y21【答案】（1）；（2）2xy20，y21 基礎(chǔ)回歸解析幾何是高考中必考的一個(gè)題型之一，并且分值占卷面的15%左右，多數(shù)是22分，?？純蓚€(gè)客觀題和一個(gè)主觀題，客觀題以考查基礎(chǔ)為主，主要考查直線、圓、圓錐曲線和參數(shù)方程的基礎(chǔ)知識(shí)解答題重點(diǎn)考查圓錐曲線中的重要知識(shí)點(diǎn)，往往是有一定難度的綜合題解析幾何主要位于必修2中解析幾何初步和選修1-1（文）中圓錐曲線 規(guī)范訓(xùn)練綜合題（48分/60min）1（12分/15min）已知橢圓C：1(a>b>0)的離心率為，以原點(diǎn)O為圓心，橢圓C的長半軸長為半徑的圓與直線2xy60相切（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點(diǎn)A，B為動(dòng)直線yk(x2)(k0)與橢圓C的兩個(gè)交點(diǎn)問：在x軸上是否存在定點(diǎn)E，使得2·為定值？若存在，試求出點(diǎn)E的坐標(biāo)和定值；若不存在，請(qǐng)說明理由【解析】（1）由e得，即ca又以原點(diǎn)O為圓心，橢圓C的長半軸長為半徑的圓為x2y2a2，且與直線2xy60相切，所以a，代入得c2所以b2a2c22所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1（2）由得(13k2)x212k2x12k260設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1x2，x1x2根據(jù)題意，假設(shè)x軸上存在定點(diǎn)E(m，0)，使得2·()··為定值，則·(x1m，y1)·(x2m，y2)(x1m)(x2m)y1y2(k21)x1x2(2k2m)(x1x2)(4k2m2)要使上式為定值，即與k無關(guān)，則3m212m103(m26)，得m此時(shí)，2·m26，所以在x軸上存在定點(diǎn)E，使得2·為定值，且定值為【答案】（1）1；（2）滿分規(guī)范 1.時(shí)間：你是否在限定時(shí)間內(nèi)完成？ 是 否 2.步驟：答題步驟是否與標(biāo)答一致？ 是 否3.語言：答題學(xué)科用語是否精準(zhǔn)規(guī)范？是 否 4.書寫：字跡是否工整？卷面是否整潔？是 否5.得分點(diǎn)：答題得分點(diǎn)是否全面無誤？是 否 6.教材：教材知識(shí)是否全面掌握？ 是 否2（12分/15min）已知中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為的橢圓過點(diǎn)（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)不過原點(diǎn)O的直線l與該橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，滿足直線OP，PQ，OQ的斜率依次成等比數(shù)列，求OPQ面積的取值范圍【解析】（1）由題意可設(shè)橢圓方程為1(a>b>0)，則(其中c2a2b2，c>0)，且1，故a2，b1所以橢圓的方程為y21（2）由題意可知，直線l的斜率存在且不為0，故可設(shè)直線l：ykxm(m0)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由消去y得：(14k2)x28kmx4(m21)0，則64k2m216(14k2)(m21)16(4k2m21)>0，且x1x2，x1x2，故y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2，因?yàn)橹本€OP，PQ，OQ的斜率依次成等比數(shù)列，所以·k2，即m20又m0，所以k2，即k±由于直線OP，OQ的斜率存在，且>0，得0<m2<2，且m21，設(shè)d為點(diǎn)O到直線l的距離，則d，|PQ|，所以S|PQ|d<1(m21)，故OPQ面積的取值范圍為(0，1)【答案】（1）y21；（2）(0，1)滿分規(guī)范 1.時(shí)間：你是否在限定時(shí)間內(nèi)完成？ 是 否 2.步驟：答題步驟是否與標(biāo)答一致？ 是 否3.語言：答題學(xué)科用語是否精準(zhǔn)規(guī)范？是 否 4.書寫：字跡是否工整？卷面是否整潔？是 否5.得分點(diǎn)：答題得分點(diǎn)是否全面無誤？是 否 6.教材：教材知識(shí)是否全面掌握？ 是 否3（12分/15min）如圖，已知拋物線C1：y24x的焦點(diǎn)為F，橢圓C2的中心在原點(diǎn)，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，點(diǎn)M為曲線C1和C2在第一象限的交點(diǎn)，且|MF|（1）求橢圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)A，B為拋物線C1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且使得線段AB的中點(diǎn)D在直線yx上，P(3，2)為定點(diǎn)，求PAB面積的最大值【解析】（1）設(shè)橢圓C2的方程為1(a>b>0)，半焦距為c由已知得，點(diǎn)F(1，0)，則c1設(shè)點(diǎn)M(x0，y0)(x00，y00)，由拋物線的定義，得：|MF|x01，則x0:從而y0，所以點(diǎn)M設(shè)點(diǎn)E為橢圓的左焦點(diǎn)，則E(1，0)，|ME|根據(jù)橢圓定義，得2a|ME|MF|6，則a3從而b2a2c28，所以橢圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程是1（2）設(shè)點(diǎn)D(m，m)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y4x1，y4x2兩式相減，得yy4(x1x2)，即因?yàn)镈為線段AB的中點(diǎn)，則y1y22m所以直線AB的斜率k從而直線AB的方程為ym(xm)，即2xmym22m0聯(lián)立得y22my2m24m0，則y1y22m，y1y22m24m所以|AB|y1y2|··設(shè)點(diǎn)P到直線AB的距離為d，則d所以SPAB|AB|d·|64mm2|由4mm2>0，得0<m<4，令t，則SPAB(0<t2)設(shè)f(t)(0<t2)，則f(t)由f(t)>0，得0<t<，從而f(t)在(0，)上是增函數(shù)，在(，2上是減函數(shù)，所以f(t)maxf()2，故PAB面積的最大值為2【答案】（1）1；（2）2滿分規(guī)范 1.時(shí)間：你是否在限定時(shí)間內(nèi)完成？ 是 否 2.步驟：答題步驟是否與標(biāo)答一致？ 是 否3.語言：答題學(xué)科用語是否精準(zhǔn)規(guī)范？是 否 4.書寫：字跡是否工整？卷面是否整潔？是 否5.得分點(diǎn)：答題得分點(diǎn)是否全面無誤？是 否 6.教材：教材知識(shí)是否全面掌握？ 是 否4（12分/15min）設(shè)橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，上頂點(diǎn)為A，在x軸負(fù)半軸上有一點(diǎn)B，滿足，且ABAF2（1）求橢圓C的離心率；（2）若過A，B，F(xiàn)2三點(diǎn)的圓恰好與直線l：xy30相切求橢圓C的方程；過右焦點(diǎn)F2作斜率為k的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)P(m，0)，使得以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形？如果存在，求出m的取值范圍；如果不存在，請(qǐng)說明理由【解析】（1）設(shè)B(x0，0)，由F2(c，0)，A(0，b)，知(c，b)，(x0，b)，cx0b20，x0由于，即F1為BF2的中點(diǎn)，故c2c，b23c2a2c2，故橢圓的離心率e（2）由（1）知得ca，于是F2，B，ABF2的外接圓圓心為，半徑r|F1A|a，所以a，解得a2，c1，b，所求橢圓方程為1由知F2(1，0)，l：yk(x1)，聯(lián)立化簡得(34k2)x28k2x4k2120，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1x2，y1y2k(x1x22)，(x1m，y1)(x2m，y2)(x1x22m，y1y2)，由于菱形對(duì)角線互相垂直，則()·0，直線MN的方向向量是(1，k)，故k(y1y2)x1x22m0，則k2(x1x22)x1x22m0，即k22m0由已知條件知k0且kR，m，0<m<，故存在滿足題意的點(diǎn)P，且m的取值范圍是【答案】（1）；（2）1，滿分規(guī)范 1.時(shí)間：你是否在限定時(shí)間內(nèi)完成？ 是 否 2.步驟：答題步驟是否與標(biāo)答一致？ 是 否3.語言：答題學(xué)科用語是否精準(zhǔn)規(guī)范？是 否 4.書寫：字跡是否工整？卷面是否整潔？是 否5.得分點(diǎn)：答題得分點(diǎn)是否全面無誤？是 否 6.教材：教材知識(shí)是否全面掌握？ 是 否歡迎訪問“高中試卷網(wǎng)”http:/sj.fjjy.org