新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料第一節(jié)平面向量的概念及其線性運(yùn)算考點(diǎn)一向量的概念 來源:例1給出下列四個(gè)命題：若|a|b|，則ab或ab；若，則四邊形ABCD為平行四邊形；若a與b同向，且|a|>|b|，則a>b；，為實(shí)數(shù)，若ab，則a與b共線其中假命題的個(gè)數(shù)為()A1 B2 C3 D4自主解答不正確|a|b|但a，b的方向不確定，故a，b不一定相等；不正確因?yàn)椋珹，B，C，D可能在同一直線上，所以ABCD不一定是四邊形；不正確兩向量不能比較大小；不正確當(dāng)0時(shí)，a與b可以為任意向量，滿足ab，但a與b不一定共線答案D【方法規(guī)律】解決向量的概念問題應(yīng)關(guān)注五點(diǎn)(1)正確理解向量的相關(guān)概念及其含義是解題的關(guān)鍵(2)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性(3)共線向量即平行向量，它們均與起點(diǎn)無關(guān)(4)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象移動(dòng)混為一談(5)非零向量a與的關(guān)系：是a方向上的單位向量.下列說法中錯(cuò)誤的是()A有向線段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向線段B若向量a和b不共線，則a和b都是非零向量C長(zhǎng)度相等但方向相反的兩個(gè)向量不一定共線D方向相反的兩個(gè)非零向量必不相等解析：選C選項(xiàng)A中向量與有向線段是兩個(gè)完全不同的概念，故正確；選項(xiàng)B中零向量與任意向量共線，故a，b都是非零向量，故正確；選項(xiàng)C中是共線向量，故錯(cuò)誤；選項(xiàng)D中既然方向相反就一定不相等，故正確高頻考點(diǎn)考點(diǎn)二 平面向量的線性運(yùn)算1平面向量的線性運(yùn)算是每年高考的重點(diǎn)，題型多為選擇題和填空題，難度較小，屬中低檔題2高考對(duì)平面向量的線性運(yùn)算的考查主要有以下幾個(gè)命題角度：(1)考查向量加法或減法的幾何意義；(2)求已知向量的和；(3)與三角形聯(lián)系，求參數(shù)的值；(4)與平行四邊形聯(lián)系，研究向量的關(guān)系例2(1)(2012·遼寧高考)已知兩個(gè)非零向量a，b滿足|ab|ab|，則下面結(jié)論正確的是()Aab Bab C|a|b| Dabab(2)(2011·四川高考)如圖，正六邊形ABCDEF中，()A0 B C D 第(2)題圖 第(3)題圖(3)(2013·四川高考)如圖在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，則 _.(4)(2013·江蘇高考)設(shè)D，E分別是ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，ADAB，BEBC.若1 2 (1，2為實(shí)數(shù))，則12的值為_來源:自主解答(1)法一：(代數(shù)法)將原式平方得|ab|2|ab|2，a22a·bb2a22a·bb2，a·b0，ab.法二：(幾何法)如圖所示：在ABCD中，設(shè)a，b，ab，ab，|ab|ab|，平行四邊形兩條對(duì)角線長(zhǎng)度相等，即平行四邊形ABCD為矩形，ab.(2)因六邊形ABCDEF是正六邊形，故.(3)由平行四邊形法則，有，已知，所以2.(4) ()，12，1，2，故12.答案(1)B(2)D(3)2(4)平面向量線性運(yùn)算問題的常見類型及解題策略(1)向量加法或減法的幾何意義向量加法和減法均適合平行四邊形法則(2)求已知向量的和一般共起點(diǎn)的向量求和用平行四邊形法則；求差用三角形法則；求首尾相連向量的和用三角形法則(3)與三角形聯(lián)系，求參數(shù)的值求出向量的和或與已知條件中的和式比較，然后求參數(shù)(4)與平行四邊形聯(lián)系，研究向量的關(guān)系畫出圖形，找出圖中的相等向量、共線向量，將所求向量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)平行四邊形或三角形中求解1在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，E是線段OD的中點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線與CD交于點(diǎn)F，若a，b，則等于()A.ab B.ab C.ab D.ab解析：選B如圖，由題意知，DEBE13DFAB，故，則abab.2若O是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，D為BC邊中點(diǎn)，且2 0，那么()A B2C3 D2解析：選A因?yàn)镈是BC邊的中點(diǎn)，所以有2，所以2222()00.3(2014·青島模擬)在ABC中，點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上，且3，點(diǎn)O在線段CD上(與點(diǎn)C，D不重合)，若x(1x) ，則x的取值范圍是()A. B.C. D.解析：選D設(shè)y，yy()y(1y) ，3，點(diǎn)O在線段CD上(與點(diǎn)C，D不重合)，y，x(1x)，x.考點(diǎn)三共線向量定理的應(yīng)用 例3設(shè)兩個(gè)非零向量e1和e2不共線(1)如果e1e2，3e12e2，8e12e2，求證：A，C，D三點(diǎn)共線；(2)如果e1e2，2e13e2，3e1ke2，且A，C，F(xiàn)三點(diǎn)共線，求k的值自主解答(1)證明：e1e2，3e12e2，4e1e2，又8e12e2，2，與共線又與有公共點(diǎn)C，A，C，D三點(diǎn)共線(2)e1e2，2e13e2，3e12e2.A，C，F(xiàn)三點(diǎn)共線，從而存在實(shí)數(shù)，使得.3e12e23e1ke2，又e1，e2是不共線的非零向量，因此k2.實(shí)數(shù)k的值為2.【互動(dòng)探究】在本例條件下，試確定實(shí)數(shù)k，使ke1e2與e1ke2共線解：ke1e2與e1ke2共線，存在實(shí)數(shù)，使ke1e2(e1ke2)，即ke1e2e1ke2，解得k±1.【方法規(guī)律】1共線向量定理的應(yīng)用(1)可以利用共線向量定理證明向量共線，也可以由向量共線求參數(shù)的值(2)若a，b不共線，則ab0的充要條件是0，這一結(jié)論結(jié)合待定系數(shù)法應(yīng)用非常廣泛2證明三點(diǎn)共線的方法若，則A、B、C三點(diǎn)共線若a，b是兩個(gè)不共線的非零向量，a與b起點(diǎn)相同，則當(dāng)t為何值時(shí)，a，tb，(ab)三向量的終點(diǎn)在同一條直線上？來源:解：a，tb，(ab)三向量的終點(diǎn)在同一條直線上，且a與b起點(diǎn)相同atb與a(ab)共線，即atb與ab共線，存在實(shí)數(shù)，使atb，解得，t，即t時(shí)，a，tb，(ab)三向量的終點(diǎn)在同一條直線上來源:課堂歸納通法領(lǐng)悟1個(gè)規(guī)律向量加法規(guī)律一般地，首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的向量，即.特別地，一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量2個(gè)結(jié)論向量的中線公式及三角形的重心(1)向量的中線公式若P為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)一點(diǎn)，則()(2)三角形的重心已知平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)A、B、C，()G是ABC的重心特別地，0P為ABC的重心3個(gè)等價(jià)轉(zhuǎn)化與三點(diǎn)共線有關(guān)的等價(jià)轉(zhuǎn)化A，P，B三點(diǎn)共線 (0) (1t) t (O為平面內(nèi)異于A，P，B的任一點(diǎn)，tR) xy (O為平面內(nèi)異于A，P，B的任一點(diǎn)，xR，yR，xy1)4個(gè)注意點(diǎn)向量線性運(yùn)算應(yīng)注意的問題(1)作兩個(gè)向量的差時(shí)，要注意向量的方向是指向被減向量的終點(diǎn)；來源:(2)向量共線的充要條件中要注意“a0”，否則可能不存在，也可能有無數(shù)個(gè)；(3)證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線；(4)利用向量平行證明直線平行，必須說明這兩條直線不重合