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3.1.3　概率的基本性質(zhì) 【選題明細(xì)表】 知識點、方法 題號 事件關(guān)系的判斷 1,2,4,9 互斥、對立事件的概率 3,5,6,7,10 概率的應(yīng)用 8,11,12 1.(2017山西太原期末)一個人打靶時連續(xù)射擊兩次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是(　D　) (A)至多有一次中靶 (B)兩次都中靶 (C)只有一次中靶 (D)兩次都不中靶 2.下列四個命題:(1)對立事件一定是互斥事件;(2)A,B為兩個事件,則P(A∪B)=P(A)+P(B);(3)若A,B,C三事件兩兩互斥,則P(A)+P(B)+P(C)=1;(4)事件A,B滿足P(A)+P(B)=1,則A,B是對立事件.其中假命題的個數(shù)是(　D　) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 解析: (1) √ 對立事件一定是互斥事件,但互斥事件不一定是對立事件 (2) 只有當(dāng)A,B互斥時,才有P(A∪B)=P(A)+P(B) (3) 雖然A,B,C三個事件兩兩互斥,但其并事件不一定是必然事件 (4) 只有當(dāng)A,B互斥,且滿足P(A)+P(B)=1時,A,B才是對立事件 故選D. 3.已知P(A)=0.1,P(B)=0.2,則P(A∪B)等于(　D　) (A)0.3 (B)0.2 (C)0.1 (D)不確定 解析:由于不能確定A與B互斥,則P(A∪B)的值不能確定.故選D. 4.給出以下三個命題:(1)將一枚硬幣拋擲兩次,記事件A:“兩次都出現(xiàn)正面”,事件B:“兩次都出現(xiàn)反面”,則事件A與事件B是對立事件;(2)在命題(1)中,事件A與事件B是互斥事件;(3)在10件產(chǎn)品中有3件是次品,從中任取3件,記事件A:“所取3件中最多有2件是次品”,事件B:“所取3件中至少有2件是次品”,則事件A與事件B是互斥事件.其中命題正確的個數(shù)是(　B　) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 解析:命題(1)不正確,命題(2)正確,命題(3)不正確.對于(1)(2),因為拋擲兩次硬幣,除事件A,B外,還有“第一次出現(xiàn)正面,第二次出現(xiàn)反面”和“第一次出現(xiàn)反面,第二次出現(xiàn)正面”兩種事件,所以事件A和事件B不是對立事件,但它們不會同時發(fā)生,所以是互斥事件;對于(3),若所取的3件產(chǎn)品中恰有2件次品,則事件A和事件B同時發(fā)生,所以事件A和事件B不是互斥事件.故選B. 5.從4名男生和2名女生中任選3人去參加演講比賽,所選3人中至少有1名女生的概率為45,那么所選3人中都是男生的概率為(　A　) (A)15 (B)25 (C)14 (D)23 解析:設(shè)A={3人中至少有1名女生},B={3人都為男生},則A,B為對立事件,所以P(B)=1-P(A)=15. 6.如果事件A和B是互斥事件,且事件A∪B的概率是0.8,事件A的概率是事件B的概率的3倍,則事件B的對立事件的概率為　　　　. 解析:根據(jù)題意有P(A∪B)=P(A)+P(B)=4P(B)=0.8,所以P(B)=0.2,則事件B的對立事件的概率為1-0.2=0.8. 答案:0.8 7.中國乒乓球隊甲、乙兩名隊員參加奧運會乒乓球女子單打比賽,甲奪得冠軍的概率為37,乙奪得冠軍的概率為14,那么中國隊奪得女子乒乓球單打冠軍的概率為　　　　. 解析:由于事件“中國隊奪得女子乒乓球單打冠軍”包括事件“甲奪得冠軍”和“乙奪得冠軍”,但這兩個事件不可能同時發(fā)生,即彼此互斥,所以由互斥事件概率的加法公式得,中國隊奪得女子乒乓球單打冠軍的概率為37+14=1928. 答案:1928 8.一個盒子中有10個完全相同的球,分別標(biāo)有號碼1,2,3,…,10.從中任取一球,求下列事件的概率.(1)A={球的標(biāo)號數(shù)不大于3};(2)B={球的標(biāo)號數(shù)是3的倍數(shù)};(3)C={球的標(biāo)號數(shù)是質(zhì)數(shù)}. 解:(1)球的標(biāo)號數(shù)不大于3包括三種情況,即球的標(biāo)號數(shù)分別為1,2,3,易知P(A)=P(球的標(biāo)號為1)∪P(球的標(biāo)號為2)∪P(球的標(biāo)號為3)=110+110+110=310. (2)球的標(biāo)號數(shù)是3的倍數(shù)包括三種情況,即球的標(biāo)號數(shù)分別為3,6,9,易求P(B)=110+110+110=310. (3)球的標(biāo)號數(shù)是質(zhì)數(shù)包括四種情況,即球的標(biāo)號數(shù)分別是2,3,5,7,易知P(C)=110+110+110+110=410=25. 9.如果事件A,B互斥,記A,B分別為事件A,B的對立事件,那么(　B　) (A)A∪B是必然事件 (B)A∪B是必然事件 (C)A與B一定互斥 (D)A與B一定不互斥 解析:用Venn圖解決此類問題較為直觀,如圖所示,A∪B是必然事件,故選B. 10.某學(xué)校成立了數(shù)學(xué)、英語、音樂3個課外興趣小組,3個小組分別有39,32,33個成員,一些成員參加了不止一個小組,具體情況如圖 所示. 現(xiàn)隨機選取一個成員,他屬于至少2個小組的概率是　　　　,他屬于不超過2個小組的概率是　　　　. 解析:“至少2個小組”包含“2個小組”和“3個小組”兩種情況,故他屬于至少兩個小組的概率為 P=11+10+7+86+7+8+8+10+10+11=35. “不超過2個小組”包含“1個小組”和“2個小組”,其對立事件是“3個小組”.故他屬于不超過2個小組的概率是 P=1-86+7+8+8+10+10+11=1315. 答案:35　1315 11.某超市為了了解顧客的購物量及結(jié)算時間等信息,安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù),如表所示. 一次購物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上 顧客數(shù)(人) x 30 25 y 10 結(jié)算時間 (分鐘/人) 1 1.5 2 2.5 3 已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%.(1)確定x,y的值,并估計顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值;(2)求一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘的概率.(將頻率視為概率) 解:(1)由已知得25+y+10=55,x+30=45,所以x=15,y=20. 該超市所有顧客一次購物的結(jié)算時間組成一個總體,所收集的100位顧客一次購物的結(jié)算時間可視為總體的一個容量為100的隨機樣本,顧客購物一次的結(jié)算時間的平均值可用樣本平均數(shù)估計,其估計值為115+1.530+225+2.520+310100=1.9(分鐘). (2)記A為事件“一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘”,A1,A2,A3分別表示事件“一位顧客一次購物的結(jié)算時間為1分鐘”“一位顧客一次購物的結(jié)算時間為1.5分鐘”“一位顧客一次購物的結(jié)算時間為2分鐘”.將頻率視為概率得 P(A1)=15100=320,P(A2)=30100=310,P(A3)=25100=14. 因為A=A1∪A2∪A3,且A1,A2,A3彼此互斥, 所以P(A)=P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=320+310+14=710. 故一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘的概率為710. 12.小明家樓下有一個小超市,他在觀察小超市的顧客流量時,發(fā)現(xiàn)某一時刻有n個人在小超市內(nèi)的概率為P(n),且P(n)與時刻t無關(guān),統(tǒng)計得到P(n)=(12)nP(0),1≤n≤5,0,n≥6, 求在某一時刻,這個小超市里一個人也沒有的概率P(0)的值. 解:根據(jù)題意知,在某一時刻這個小超市內(nèi)最多只有5個人.0個人,1個人,2個人,3個人,4個人,5個人在小超市內(nèi)是互斥事件,所以P(0)+P(1)+…+P(5)=1,即 P(0)[1+(12)1+…+(12)5]=1,得P(0)=3263.