第三章檢測(cè)試題(時(shí)間:90分鐘滿分:120分)【選題明細(xì)表】知識(shí)點(diǎn)、方法題號(hào)函數(shù)零點(diǎn)的求法及應(yīng)用1,4,10,15,17判斷函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間3,8,13,16二分法求方程的近似解2不同函數(shù)的增長(zhǎng)關(guān)系6函數(shù)模型5,7,9,11,12,14,18,19,20一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分)1.函數(shù)y=1+的零點(diǎn)是(B)(A)(-1,0) (B)x=-1 (C)x=1 (D)x=0解析:令1+=0解得x=-1.2.已知函數(shù)f(x)=x3+2x-8的零點(diǎn)用二分法計(jì)算,附近的函數(shù)值參考數(shù)據(jù)如表所示:x121.51.751.6251.687 5f(x)-5.004.00-1.630.86-0.460.18則方程x3+2x-8=0的近似解可取為(精確度0.1)(B)(A)1.50 (B)1.66 (C)1.70 (D)1.75解析:由表格可得,函數(shù)f(x)=x3+2x-8的零點(diǎn)在(1.625,1.687 5)之間;結(jié)合選項(xiàng)可知,方程x3+2x-8=0的近似解可取為(精確度為0.1)1.66.故選B.3.設(shè)x0是函數(shù)f(x)=ln x+x-4的零點(diǎn),則x0所在的區(qū)間為(C)(A)(0,1) (B)(1,2) (C)(2,3) (D)(3,4)解析:因?yàn)閒(2)=ln 2+2-4=ln 2-2<0,f(3)=ln 3-1>ln e-1=0,f(2)f(3)<0.由零點(diǎn)存在定理,得x0所在的區(qū)間為(2,3).故選C.4.方程lox=2x-1的實(shí)根個(gè)數(shù)是(B)(A)0 (B)1 (C)2 (D)無窮多解析:畫出y=lox與y=2x-1的圖象可知,兩曲線僅有一個(gè)交點(diǎn),故實(shí)根個(gè)數(shù)是1.5.如圖所示,陰影部分的面積S是h的函數(shù)(0hH),則該函數(shù)的圖象是(B)解析:取特殊點(diǎn)驗(yàn)證:當(dāng)h=時(shí),面積顯然小于總面積的一半,于是排除A,C,D.故選B.6.下列函數(shù)中,隨x的增大,增長(zhǎng)速度最快的是(A)(A)y=2x (B)y=10 000x(C)y=log3x(D)y=x3解析:隨著x的增大,指數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)速度是最快的,故選A.7.如表顯示出函數(shù)值y隨自變量x變化的一組數(shù)據(jù),判斷它最可能的函數(shù)模型是(A)x45678910y15171921232527(A)一次函數(shù)模型 (B)二次函數(shù)模型(C)指數(shù)函數(shù)模型 (D)對(duì)數(shù)函數(shù)模型解析:畫出散點(diǎn)圖,如圖.由圖可知其最可能的函數(shù)模型為一次函數(shù)模型,故選A.8.方程x-1=lg x必有一個(gè)根的區(qū)間是(A)(A)(0.1,0.2)(B)(0.2,0.3)(C)(0.3,0.4)(D)(0.4,0.5)解析:設(shè)f(x)=lg x-x+1.因?yàn)閒(0.1)=lg 0.1-0.1+1=-0.1<0,f(0.2)=lg 0.2-0.2+1=lg 0.2+ 0.8>0,所以函數(shù)y=f(x)在(0.1,0.2)內(nèi)必有一根.故選A.9.某人2016年7月1日到銀行存入a元,若按年利率x復(fù)利計(jì)算,則到2019年7月1日可取款(D)(A)a(1+x)2元 (B)a(1+x)4元(C)a+(1+x)3元 (D)a(1+x)3元解析:由題意知,2017年7月1日可取款a(1+x)元,2018年7月1日可取款a(1+x)(1+x)=a(1+x)2元,2019年7月1日可取款a(1+x)2(1+x)=a(1+x)3元.故選D.10.函數(shù)f(x)=x2+ln|x|的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(B)(A)1(B)2(C)3(D)4解析:由題意,作函數(shù)y=x2與y=-ln |x|的圖象如下,結(jié)合圖象知,函數(shù)y=x2與y=-ln|x|的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),即函數(shù)f(x)=x2+ln|x|的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2,故選B.11.如圖所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面積y(m2)與時(shí)間t(月)的關(guān)系:y=at,有以下敘述:這個(gè)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)是2;第5個(gè)月時(shí),浮萍的面積就會(huì)超過30 m2;浮萍從4 m2蔓延到12 m2需要經(jīng)過1.5個(gè)月;浮萍每個(gè)月增加的面積都相等.其中正確的是(B)(A) (B) (C) (D)解析:圖象單調(diào)遞增,底數(shù)大于1,又過點(diǎn)(2,4),所以a2=4,所以a=2 (a>0),故對(duì);令t=5,得y=25=32>30,故對(duì);若浮萍從4 m2蔓延到 12 m2需要經(jīng)過的時(shí)間是1.5個(gè)月,則有12=23.5,因?yàn)?3.5=812,故錯(cuò);由指數(shù)型函數(shù)模型的圖象上升特征可知錯(cuò).故選B.12.有濃度為90%的溶液100 g,從中倒出10 g后再倒入10 g水稱為一次操作,要使?jié)舛鹊陀?0%,這種操作至少應(yīng)進(jìn)行的次數(shù)為(參考數(shù)據(jù):lg 20.301 0,lg 30.477 1)(C)(A)19 (B)20(C)21 (D)22解析:操作次數(shù)為n時(shí)的濃度為()n+1,由()n+1<10%,得n+1>=21.8,又nN*,所以n21.故選C.二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)13.函數(shù)f(x)=ex+x-2的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是 (填正確序號(hào)).(-2,-1);(-1,0);(0,1);(1,2).解析:由f(-2)=-2-2<0,f(-1)=-3<0,f(0)=1-2<0,f(1)=e-1>0,f(2)=e2+2-2>0知函數(shù)零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是(0,1).答案:14.已知等腰三角形的周長(zhǎng)為40 cm,底邊長(zhǎng)y(cm)是腰長(zhǎng)x(cm)的函數(shù),則函數(shù)的定義域?yàn)?A)(A)(10,20)(B)(0,10)(C)(5,10)(D)5,10)解析:y=40-2x,由得10<x<20.故選A.15.已知函數(shù)f(x)=其中m>0,若存在實(shí)數(shù)b,使得關(guān)于x的方程f(x)=b有三個(gè)不同的根,則m的取值范圍是.解析:當(dāng)m>0時(shí),函數(shù)f(x)=的圖象如圖.因?yàn)閤>m時(shí),f(x)=x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2>4m-m2,所以要使得關(guān)于x的方程f(x)=b有三個(gè)不同的根,必須4m-m2<m(m>0),即m2>3m(m>0),解得m>3,所以m的取值范圍是(3,+).答案:(3,+)16.已知函數(shù)f(x)=logax+x-b(a>0,且a1).當(dāng)2<a<3<b<4時(shí),函數(shù)f(x)的零點(diǎn)x0(n,n+1),nN*,則n= .解析:因?yàn)?<a<3<b<4,所以f(2)=loga2+2-b<1+2-b=3-b<0,f(3)=loga3+3-b>1+3-b=4-b>0,即f(2)f(3)<0,易知f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增.所以函數(shù)f(x)在(0,+)上存在唯一的零點(diǎn)x0,且x0(2,3),所以n=2.答案:2三、解答題(共40分)17.(本小題滿分8分)設(shè)函數(shù)f(x)=ex-m-x,其中mR,當(dāng)m>1時(shí),判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,m)內(nèi)是否存在零點(diǎn).解:f(x)=ex-m-x,所以f(0)=e-m-0=e-m>0,f(m)=e0-m=1-m.又m>1,所以f(m)<0,所以f(0)f(m)<0.又函數(shù)f(x)的圖象在區(qū)間0,m上是一條連續(xù)曲線,故函數(shù)f(x)=ex-m-x(m>1)在區(qū)間(0,m)內(nèi)存在零點(diǎn).18.(本小題滿分10分)物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻規(guī)律來描述:設(shè)物體的初始溫度是T0,經(jīng)過一定時(shí)間t后的溫度是T,則T-T=(T0-T)(),其中T表示環(huán)境溫度,h稱為半衰期.現(xiàn)有一杯用88 熱水沖的速溶咖啡,放在24 的房間中,如果咖啡降溫到40 需要20 min,那么降溫到35 時(shí),需要多長(zhǎng)時(shí)間(結(jié)果精確到0.1)?解:由題意知40-24=(88-24)(),即=(),解得h=10,故T-24=(88-24)(),當(dāng)T=35時(shí),代入上式,得35-24=(88-24)(),即()=,兩邊取對(duì)數(shù),用計(jì)算器求得t25.4.因此,約需要25.4 min,可降溫到35 .19.(本小題滿分10分)國際視力表值(又叫小數(shù)視力值,用V表示,范圍是0.1,1.5)和我國現(xiàn)行視力表值(又叫對(duì)數(shù)視力值,由繆天容創(chuàng)立,用L表示,范圍是4.0,5.2)的換算關(guān)系式為L(zhǎng)=5.0+lg V.(1)請(qǐng)根據(jù)此關(guān)系式將下面視力對(duì)照表補(bǔ)充完整:V1.50.4L5.04.0(2)甲、乙兩位同學(xué)檢查視力,其中甲的對(duì)數(shù)視力值為4.5,乙的小數(shù)視力值是甲的2倍,求乙的對(duì)數(shù)視力值.(所求值均精確到小數(shù)點(diǎn)后面一位數(shù)字,參考數(shù)據(jù):lg 20.301 0,lg 30.477 1)解:(1)因?yàn)?.0+lg 1.5=5.0+lg =5.0+lg =5.0+lg 3-lg 2=5.0+0.477 1-0.301 05.2,所以應(yīng)填5.2;因?yàn)?.0=5.0+lg V,所以V=1,處應(yīng)填1.0;因?yàn)?.0+lg 0.4=5.0+lg =5.0+lg 4-1=5.0+2lg 2-1=5.0+20.301 0-14.6,所以處應(yīng)填4.6;因?yàn)?.0=5.0+lg V,所以lg V=-1.所以V=0.1.所以處應(yīng)填0.1.對(duì)照表補(bǔ)充完整如下:V1.51.00.40.1L5.25.04.64.0(2)先將甲的對(duì)數(shù)視力值換算成小數(shù)視力值,則有4.5=5.0+lg V甲,所以V甲=1,則V乙=21.所以乙的對(duì)數(shù)視力值L乙=5.0+lg (21)=5.0+lg 2-0.5=5.0+0.301 0-0.54.8.20.(本小題滿分12分)某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為20 000元,每生產(chǎn)一臺(tái)儀器需增加投入100元,已知總收益滿足函數(shù):R(x)=其中x是儀器的月產(chǎn)量.(1)將利潤(rùn)表示為月產(chǎn)量的函數(shù)f(x);(2)當(dāng)月產(chǎn)量為何值時(shí),公司所獲得利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)為多少元?(總收益=總成本+利潤(rùn))解:(1)設(shè)月產(chǎn)量為x臺(tái),則總成本為20 000+100x,從而f(x)=(2)當(dāng)0x400時(shí),f(x)=-(x-300)2+25 000.所以當(dāng)x=300時(shí),f(x)的最大值為25 000;當(dāng)x>400時(shí),f(x)=60 000-100x是減函數(shù),f(x)<60 000-100400=20 000<25 000.所以當(dāng)x=300時(shí),f(x)的最大值為25 000.即每月生產(chǎn)300臺(tái)儀器時(shí),利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)為25 000元.