課時作業(yè)43空間幾何體的表面積與體積一、選擇題1如圖是某一幾何體的三視圖，則這個幾何體的體積為()A4 B8C16 D20解析：由三視圖知，此幾何體是一個三棱錐，底面為一邊長為6，高為2的三角形，三棱錐的高為4，所以體積為V××6×2×48.故選B.答案：B2(20xx·黃岡中學月考)某空間組合體的三視圖如圖所示，則該組合體的體積為()A48 B56C64 D72解析：該組合體由兩個棱柱組成，上面的棱柱體積為2×4×540，下面的棱柱體積為4×6×124，故組合體的體積為64.故選C.答案：C3以邊長為1的正方形的一邊所在直線為旋轉軸，將該正方形旋轉一周所得圓柱的側面積等于()A2 BC2 D1解析：以邊長為1的正方形的一邊所在直線為旋轉軸旋轉一周所得的圓柱的底面半徑為1，母線長為1.故側面積為2r·l2·1·12.答案：A4如圖所示，已知三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長均為1，且AA1底面ABC，則三棱錐B1ABC1的體積為()A. B.C. D.解析：在ABC中，BC邊上的高為，即棱錐ABB1C1的高為，又SBB1C1，所以VB1ABC1VABB1C1××.答案：A5(20xx·江西九江一模)如圖，網格紙上小正方形邊長為1，粗線是一個棱錐的三視圖，則此棱錐的表面積為()A642 B84C66 D624解析：直觀圖是四棱錐PABCD，如圖所示，SPABSPADSPDC×2×22，SPBC×2×2×sin60°2，S四邊形ABCD2×24，因此所求棱錐的表面積為642.故選A.答案：A6(20xx·河南洛陽測試)已知點A，B，C，D均在球O上，ABBC，AC3，若三棱錐DABC體積的最大值為，則球O的表面積為()A36 B16C12 D.解析：由題意可得，ABC，ABC的外接圓半徑r，當三棱錐的體積取最大值時，VDABCSABC·h(h為點D到底面ABC的距離)··hh3，設R為球O的半徑，則(3R)2R2r2R2.故球O的表面積為4·2216.答案：B二、填空題7(20xx·北京卷)某四棱柱的三視圖如圖所示，則該四棱柱的體積為_解析：通過俯視圖可知該四棱柱的底面為等腰梯形，則四棱柱的底面積S，通過側(左)視圖可知四棱柱的高h1，所以該四棱柱的體積VSh.答案：8(20xx·浙江卷)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的表面積是_cm2，體積是_cm3.解析：將三視圖還原成直觀圖如圖所示，它由2個長方體組合而成，其體積V2×2×2×432 cm3，表面積為6×2×46×2×272 cm2.答案：32729一個圓錐過軸的截面為等邊三角形，它的頂點和底面圓周在球O的球面上，則該圓錐的體積與球O的體積的比值為_解析：設等邊三角形的邊長為2a，則V圓錐·a2·aa3；又R2a2(aR)2，所以Ra，故V球·3a3，則其體積比為.答案：三、解答題10一幾何體按比例繪制的三視圖如圖所示(單位：m)(1)試畫出它的直觀圖；(2)求它的表面積和體積解：解：(1)直觀圖如圖所示(2)由三視圖可知該幾何體是長方體被截去一個三棱柱，且該幾何體的體積是以A1A，A1D1，A1B1為棱的長方體的體積的，在直角梯形AA1B1B中，作BEA1B1于E，則四邊形AA1EB是正方形，AA1BE1，在RtBEB1中，BE1，EB11，所以BB1.所以幾何體的表面積SS正方形ABCDS矩形A1B1C1D12S梯形AA1B1BS矩形BB1C1CS正方形AA1D1D12×12××(12)×11×1(7)(m2)所以幾何體的體積V×1×2×1(m3)所以該幾何體的表面積為(7)m2，體積為m3.11(20xx·新課標全國卷)如圖，四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M為線段AD上一點，AM2MD，N為PC的中點()證明MN平面PAB；()求四面體NBCM的體積解：()由已知得AMAD2.取BP的中點T，連接AT，TN，由N為PC的中點知TNBC，TNBC2.又ADBC，故TN綊AM，四邊形AMNT為平行四邊形，于是MNAT.因為AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB.()因為PA平面ABCD，N為PC的中點，所以N到平面ABCD的距離為PA.取BC的中點E，連接AE，由ABAC3得AEBC，AE.由AMBC得M到BC的距離為，故SBCM×4×2.所以四面體NBCM的體積VNBCM×SBCM×.1(20xx·新課標全國卷)在封閉的直三棱柱ABCA1B1C1內有一個體積為V的球，若ABBC，AB6，BC8，AA13，則V的最大值是()A4 B.C6 D.解析：由題意可得若V最大，則球與直三棱柱的部分面相切，若與三個側面都相切，可求得球的半徑為2，球的直徑為4，超過直三棱柱的高，所以這個球放不進去，則球可與上下底面相切，此時球的半徑R，該球的體積最大，VmaxR3×.答案：B2(20xx·云南師范大學附屬中學高三適應性考試)已知三棱錐OABC的頂點A，B，C都在半徑為2的球面上，O是球心，AOB120°，當AOC與BOC的面積之和最大時，三棱錐OABC的體積為()A. B.C. D.解析：設球O的半徑為R，因為SAOCSBOCR2(sinAOCsinBOC)，所以當AOCBOC90°時，SAOCSBOC取得最大值，此時OAOC.OBOC，OBOAO，所以OC平面AOB，所以VOABCVCOABOC·OA·OBsinAOBR3sinAOB，故選B.答案：B3(20xx·浙江卷)如圖，在ABC中，ABBC2，ABC120°，若平面ABC外的點P和線段AC上的點D，滿足PDDA，PBBA，則四面體PBCD的體積的最大值是_解析：由ABBC2，ABC120°，可得AC2，要求四面體PBCD的體積，關鍵是尋找底面三角形BCD的面積SBCD和點P到平面BCD的距離h.易知h2.設ADx，則DPx，DC2x，SDBC×(2x)×2×sin30°，其中x(0,2)，且hx，所以VPBCD×SBCD×h×h·x()2，當且僅當2xx，即x時取等號故四面體PBCD的體積的最大值是.答案：4(20xx·江蘇卷)現需要設計一個倉庫，它由上下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐PA1B1C1D1，下部的形狀是正四棱柱ABCDA1B1C1D1(如圖所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍(1)若AB6 m，PO12 m，則倉庫的容積是多少？(2)若正四棱錐的側棱長為6 m，則當PO1為多少時，倉庫的容積最大？解：(1)由PO12知O1O4PO18.因為A1B1AB6，所以正四棱錐PA1B1C1D1的體積V錐·A1B·PO1×62×224(m3)正四棱柱ABCDA1B1C1D1的體積V柱AB2·O1O62×8288(m3)所以倉庫的容積VV錐V柱24288312(m3)(2)設A1B1a m，PO1h m，則0<h<6，O1O4h，如圖，連接O1B1.因為在RtPO1B1中，O1BPOPB，所以(a)2h236，即a22(36h2)于是倉庫的容積VV柱V錐a2·4ha2·ha2h(36hh3)，0<h<6，從而V(363h2)26(12h2)令V0，得h2或h2(舍)當0<h<2時，V>0，V是單調遞增函數；當2<h<6時，V<0，V是單調遞減函數故h2時，V取得極大值，也是最大值因此，當PO12 m時，倉庫的容積最大