2019-2020年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪（文） 第三章 3-8解三角形教案1三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用2用正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型測量距離問題、高度問題、角度問題、計算面積問題、航海問題、物理問題等3實(shí)際問題中的常用角(1)仰角和俯角與目標(biāo)線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方叫俯角(如圖)(2)方向角：相對于某正方向的水平角，如南偏東30，北偏西45等(3)方位角指從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為(如圖)(4)坡度：坡面與水平面所成的二面角的正切值4解三角形應(yīng)用題的一般步驟(1)閱讀理解題意，弄清問題的實(shí)際背景，明確已知與未知，理清量與量之間的關(guān)系(2)根據(jù)題意畫出示意圖，將實(shí)際問題抽象成解三角形問題的模型(3)根據(jù)題意選擇正弦定理或余弦定理求解(4)將三角形問題還原為實(shí)際問題，注意實(shí)際問題中的有關(guān)單位問題、近似計算的要求等【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)仰角與俯角都是目標(biāo)視線和水平線的夾角，故仰角與俯角沒有區(qū)別()(2)從A處望B處的仰角為，從B處望A處的俯角為，則，的關(guān)系不能確定()(3)若P在Q的北偏東44，則Q在P的東偏北46.()(4)如果在測量中，某渠道斜坡坡比為，設(shè)為坡角，那么cos .()(5)如圖，為了測量隧道口AB的長度，可測量數(shù)據(jù)a，b，進(jìn)行計算()1.在某次測量中，在A處測得同一半平面方向的B點(diǎn)的仰角是60，C點(diǎn)的俯角是70，則BAC_.答案130解析由已知BAD60，CAD70，BAC6070130.2已知ABC，C為坐標(biāo)原點(diǎn)O，A(1，sin )，B(cos ，1)，則當(dāng)OAB的面積達(dá)到最大值時，_.答案解析S11sin 1cos (1cos )(1sin )sin cos sin 2.當(dāng)時，S取到最大值3某人向正東方向走x km后，向右轉(zhuǎn)150，然后朝新方向走3 km，結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好是 km，那么x的值為_答案或2解析如圖所示，設(shè)此人從A出發(fā)，則ABx，BC3，AC，ABC30，由余弦定理得()2x2322x3cos 30，整理，得x23x60，解得x或2.4如圖所示，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險，在原地等待營救信息中心立即把消息告知在其南偏西30且相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東的方向即沿直線CB前往B處救援，則cos 等于_答案解析在ABC中，AB40，AC20，BAC120，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcos 1202 800，所以BC20.由正弦定理，得sinACBsinBAC.由BAC120，知ACB為銳角，故cosACB.故cos cos(ACB30)cosACBcos 30sinACBsin 30.題型一測量距離、高度問題例1(1)(xx四川)如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為67，30，此時氣球的高是46 m，則河流的寬度BC約等于_m(用四舍五入法將結(jié)果精確到個位參考數(shù)據(jù)：sin 670.92，cos 670.39，sin 370.60，cos 370.80，1.73)(2)某人在塔的正東沿著南偏西60的方向前進(jìn)40米后，望見塔在東北方向，若沿途測得塔頂?shù)淖畲笱鼋菫?0，求塔高思維點(diǎn)撥(1)利用正弦定理解ABC.(2)依題意畫圖，某人在C處，AB為塔高，他沿CD前進(jìn)，CD40米，此時DBF45，從C到D沿途測塔的仰角，只有B到測試點(diǎn)的距離最短時，仰角才最大，這是因?yàn)閠anAEB，AB為定值，BE最小時，仰角最大要求塔高AB，必須先求BE，而要求BE，需先求BD(或BC)(1)答案60解析根據(jù)已知的圖形可得AB.在ABC中，BCA30，BAC37，由正弦定理，得，所以BC20.6060(m)(2)解如圖所示，某人在C處，AB為塔高，他沿CD前進(jìn)，CD40，此時DBF45，過點(diǎn)B作BECD于E，則AEB30，在BCD中，CD40，BCD30，DBC135，由正弦定理，得，BD20(米)BDE1801353015.在RtBED中，BEDBsin 152010(1)(米)在RtABE中，AEB30，ABBEtan 30(3)(米)故所求的塔高為(3)米思維升華這類實(shí)際應(yīng)用題，實(shí)質(zhì)就是解三角形問題，一般都離不開正弦定理和余弦定理，在解題中，首先要正確地畫出符合題意的示意圖，然后將問題轉(zhuǎn)化為三角形問題去求解在測量高度時，要正確理解仰角、俯角的概念，畫出準(zhǔn)確的示意圖，注意綜合應(yīng)用方程、平面幾何和立體幾何等知識(1)如圖所示，為測一樹的高度，在地面上選取A，B兩點(diǎn)，從A，B兩點(diǎn)分別測得樹尖的仰角為30，45，且A，B兩點(diǎn)間的距離為60 m，則樹的高度為_m.(2)(xx江蘇)如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50 m/min.在甲出發(fā)2 min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1 min后，再從B勻速步行到C.假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動的速度為130 m/min，山路AC長為1 260 m，經(jīng)測量cos A，cos C.求索道AB的長；問：乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？(1)答案3030解析在PAB中，PAB30，APB15，AB60，sin 15sin(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30，由正弦定理得，PB30()，樹的高度為PBsin 4530()(3030)m.(2)解在ABC中，因?yàn)閏os A，cos C，所以sin A，sin C.從而sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C.由正弦定理，得ABsin C1 040(m)所以索道AB的長為1 040 m.假設(shè)乙出發(fā)t分鐘后，甲、乙兩游客距離為d，此時，甲行走了(10050t)m，乙距離A處130t m，所以由余弦定理得d2(10050t)2(130t)22130t(10050t)200(37t270t50)，由于0t，即0t8，故當(dāng)t min時，甲、乙兩游客距離最短由正弦定理，得BCsin A500(m)乙從B出發(fā)時，甲已走了50(281)550(m)，還需走710 m才能到達(dá)C.設(shè)乙步行的速度為v m/min，由題意得33，解得v，所以為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3 min，乙步行的速度應(yīng)控制在(單位：m/min)范圍內(nèi)題型二測量角度問題例2如圖，在海岸A處發(fā)現(xiàn)北偏東45方向，距A處(1)海里的B處有一艘走私船在A處北偏西75方向，距A處2海里的C處的我方緝私船奉命以10海里/小時的速度追截走私船，此時走私船正以10海里/小時的速度，以B處向北偏東30方向逃竄問：緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船？并求出所需時間思維點(diǎn)撥設(shè)緝私船t小時后在D處追上走私船，確定出三角形，先利用余弦定理求出BC，再利用正弦定理求出時間解設(shè)緝私船應(yīng)沿CD方向行駛t小時，才能最快截獲(在D點(diǎn))走私船，則CD10t(海里)，BD10t(海里)，在ABC中，由余弦定理，有BC2AB2AC22ABACcosBAC(1)2222(1)2cos 1206.BC(海里)又，sinABC，ABC45，B點(diǎn)在C點(diǎn)的正東方向上，CBD9030120，在BCD中，由正弦定理，得，sinBCD.BCD30，緝私船沿北偏東60的方向行駛又在BCD中，CBD120，BCD30，D30，BDBC，即10t.t小時15(分鐘)緝私船應(yīng)沿北偏東60的方向行駛，才能最快截獲走私船，大約需要15分鐘思維升華測量角度問題的一般步驟(1)在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫出表示實(shí)際問題的圖形，并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離；(2)用正弦定理或余弦定理解三角形；(3)將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題的解如圖，兩座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分別為20 m、50 m，BD為水平面，求從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角的大小解依題意可得AD20(m)，AC30(m)，又CD50(m)，所以在ACD中，由余弦定理得cosCAD，又0<CAD<180，所以CAD45，所以從頂端A看建筑物CD的張角為45.題型三利用三角函數(shù)模型求最值例3如圖，在直徑為1的圓O中，作一關(guān)于圓心對稱、鄰邊互相垂直的十字形，其中y>x>0.(1)將十字形的面積表示為的函數(shù)；(2)滿足何種條件時，十字形的面積最大？最大面積是多少？思維點(diǎn)撥由題圖可得：xcos ，ysin .列出面積函數(shù)后，利用三角函數(shù)性質(zhì)求解，注意的范圍解(1)設(shè)S為十字形的面積，則S2xyx22sin cos cos2 (<<)；(2)S2sin cos cos2sin 2cos 2sin(2)，其中tan ，當(dāng)sin(2)1，即2時，S最大所以，當(dāng)(tan )時，S最大，最大值為.思維升華三角函數(shù)作為一類特殊的函數(shù)，可利用其本身的值域來求函數(shù)的最值如圖為一個纜車示意圖，該纜車半徑為4.8米，圓上最低點(diǎn)與地面距離為0.8米，且60秒轉(zhuǎn)動一圈，圖中OA與地面垂直，以O(shè)A為始邊，逆時針轉(zhuǎn)動角到OB，設(shè)B點(diǎn)與地面間的距離為h.(1)求h與間關(guān)系的函數(shù)解析式；(2)設(shè)從OA開始轉(zhuǎn)動，經(jīng)過t秒后到達(dá)OB，求h與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求纜車到達(dá)最高點(diǎn)時用的最少時間是多少？解(1)以圓心O為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則以O(shè)x為始邊，OB為終邊的角為，故點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4.8cos()，4.8sin()，h5.64.8sin.(2)點(diǎn)A在圓上轉(zhuǎn)動的角速度是弧度/秒，故t秒轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為t，h5.64.8sin，t0，)到達(dá)最高點(diǎn)時，h10.4米由sin1，得t，t30秒，纜車到達(dá)最高點(diǎn)時，用的最少時間為30秒函數(shù)思想在解三角形中的應(yīng)用典例：(14分)某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上在小艇出發(fā)時，輪船位于港口O北偏西30且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時的航行速度沿正東方向勻速行駛假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/小時的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時與輪船相遇(1)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？(2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時，試設(shè)計航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短時間與輪船相遇，并說明理由規(guī)范解答解(1)設(shè)相遇時小艇的航行距離為S海里，則S .4分故當(dāng)t時，Smin10，v30.6分即小艇以30海里/小時的速度航行，相遇小艇的航行距離最小7分(2)設(shè)小艇與輪船在B處相遇則v2t2400900t222030tcos(9030)，故v2900.9分0<v30，900900，即0，解得t.10分又t時，v30，故v30時，t取得最小值，且最小值等于.12分此時，在OAB中，有OAOBAB20.故可設(shè)計航行方案如下：航行方向?yàn)楸逼珫|30，航行速度為30海里/小時14分溫馨提醒在解決數(shù)學(xué)問題時，有一種從未知轉(zhuǎn)化為已知的手段，就是通過引入變量，尋找已知與未知之間的等量關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)，然后借助函數(shù)的變化趨勢來分析或預(yù)測未知量的變化情況，這就是函數(shù)思想在解三角形應(yīng)用舉例中，借助函數(shù)思想可以解決以下兩類問題：(1)距離最短的追緝問題(2)仰角(或視角)最大問題求解此類問題時可先借助三角形中的正(余)弦定理建立等量關(guān)系，然后借助函數(shù)的知識(如二次函數(shù)最值的求法，導(dǎo)數(shù)等)探求最優(yōu)解.方法與技巧1合理應(yīng)用仰角、俯角、方位角、方向角等概念建立三角函數(shù)模型2把生活中的問題化為二維空間解決，即在一個平面上利用三角函數(shù)求值3合理運(yùn)用換元法、代入法解決實(shí)際問題失誤與防范在解實(shí)際問題時，應(yīng)正確理解如下角的含義1方向角從指定方向線到目標(biāo)方向線的水平角2方位角從正北方向線順時針到目標(biāo)方向線的水平角3坡度坡面與水平面所成的二面角的正切值4仰角與俯角與目標(biāo)視線在同一鉛直平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方時稱為仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方時稱為俯角.A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時間：40分鐘)1如果在測量中，某渠道斜坡的坡度為，設(shè)為坡角，那么cos _.答案解析因?yàn)閠an ，所以cos .2有一長為1的斜坡，它的傾斜角為20，現(xiàn)高不變，將傾斜角改為10，則斜坡長為_(可用正弦、余弦值表示)答案2cos 10解析如圖，ABC20，AB1，ADC10，ABD160.在ABD中，由正弦定理得，ADAB2cos 10.3一個大型噴水池的中央有一個強(qiáng)力噴水柱，為了測量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點(diǎn)A測得水柱頂端的仰角為45，沿點(diǎn)A向北偏東30前進(jìn)100 m到達(dá)點(diǎn)B，在B點(diǎn)測得水柱頂端的仰角為30，則水柱的高度是_m.答案50解析設(shè)水柱高度是h m，水柱底端為C，則在ABC中，A60，ACh，AB100，BCh，根據(jù)余弦定理得，(h)2h210022h100cos 60，即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，即h50，故水柱的高度是50 m.4.如圖所示，B，C，D三點(diǎn)在地面的同一直線上，DCa，從C，D兩點(diǎn)測得A點(diǎn)的仰角分別為和(<)，則A點(diǎn)距地面的高AB為_答案解析ABACsin ，解得AB.5已知A、B兩地的距離為10 km，B、C兩地的距離為20 km，現(xiàn)測得ABC120，則A、C兩地的距離為_km.答案10解析由余弦定理AC2AB2BC22ABBCcosABC10040021020()700，AC10.6.如圖，設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測量者在點(diǎn)A的同側(cè)的河岸邊選定一點(diǎn)C，測出AC的距離為50 m，ACB45，CAB105，則A，B兩點(diǎn)的距離為_m.答案50解析在ABC中，ACB45，CAB105，B1801054530，由正弦定理得，所以AB50.7兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站北偏東40，燈塔B在觀察站南偏東60，則燈塔A在燈塔B的_方向答案北偏西10解析燈塔A、B的相對位置如圖所示，由已知得ACB80，CABCBA50，則605010，即北偏西10.8在200 m高的山頂上，測得山下一塔頂與塔底的俯角分別是30，60，如圖所示，則塔高CB為_m.答案解析由已知：在RtOAC中，OA200，OAC30，則OCOAtanOAC200tan 30.在RtABD中，AD，BAD30，BDADtanBADtan 30，又DCOA200，CBDCBD200.9.如圖所示，測量河對岸的塔高AB時，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個觀測點(diǎn)C與D，測得BCD15，BDC30，CD30 m，并在點(diǎn)C處測得塔頂A的仰角為60，求塔高AB.解在BCD中，CBD1801530135，由正弦定理，得，所以BC15 (m)在RtABC中，ABBCtanACB15tan 6015 (m)所以塔高AB為15 m.10.如圖所示，摩天輪的半徑為40 m，點(diǎn)O距地面的高度為50 m，摩天輪做勻速轉(zhuǎn)動，每3 min轉(zhuǎn)一圈，摩天輪上點(diǎn)P的起始位置在最低點(diǎn)處(1)已知在時刻t(min)時點(diǎn)P距離地面的高度f(t)Asin(t)h，求2 013 min時點(diǎn)P距離地面的高度；(2)求證：不論t為何值，f(t)f(t1)f(t2)是定值(1)解依題意，A40 m，h50 m，T3 min，則.又f(0)10，故，f(t)40sin50 (t0)則f(2 013)40sin5010.即2 013 min時點(diǎn)P距離地面的高度為10 m.(2)證明由(1)知f(t)40sin505040cos (t0)f(t)f(t1)f(t2)15040cos40cos40cos15040cos40coscos15040cos40(2)coscos 150，是定值，即得證B組專項(xiàng)能力提升(時間：30分鐘)1如圖為一半徑是3 m的水輪，水輪的圓心O距離水面2 m已知水輪每分鐘旋轉(zhuǎn)4圈，水輪上的點(diǎn)P到水面的距離y(m)與時間x(s)滿足函數(shù)關(guān)系yAsin(x)2(>0，A>0)，則_，A_.答案3解析每分鐘轉(zhuǎn)4圈，每圈所需時間T15.又T15，A3.2某地震救援隊探測出某建筑物廢墟下方C處有生命跡象，已知廢墟一側(cè)地面上的A，B探測點(diǎn)相距4米，探測線與地面的夾角分別為30和75(如圖所示)，則生命所在點(diǎn)C的深度為_米答案1解析在ABC中，由正弦定理得，BC2.點(diǎn)C的深度為BCsin 7521.3甲、乙兩樓相距20米，從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?0，從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?0，則甲、乙兩樓的高分別是_答案20米、米解析如圖，依題意有甲樓的高度為AB20tan 6020(米)，又CMDB20(米)，CAM60，所以AMCM(米)，故乙樓的高度為CD20(米)4某漁船在航行中不幸遇險，發(fā)出呼叫信號，我海軍艦艇在A處獲悉后，立即測出該漁船在方位角為45，距離為10 n mile的C處，并測得漁船正沿方位角為105的方向，以10 n mile/h的速度向某小島B靠攏，我海軍艦艇立即以10n mile/h的速度前去營救，求艦艇的航向和靠近漁船所需的時間解如圖所示，設(shè)所需時間為t小時，則AB10 t，CB10 t.在ABC中，根據(jù)余弦定理，則有AB2AC2BC22ACBCcos 120，可得：(10t)2102(10t)221010tcos 120.整理得：2t2t10，解得t1或t(舍去)所以艦艇需1小時靠近漁船，此時AB10，BC10.在ABC中，由正弦定理得：，所以sinCAB.所以CAB30.所以艦艇航行的方位角為75.5某運(yùn)輸裝置如圖所示，其中鋼結(jié)構(gòu)ABD是ABBDl，B的固定裝置，AB上可滑動的點(diǎn)C使CD垂直于地面(C不與A，B重合)，且CD可伸縮(當(dāng)CD伸縮時，裝置ABD隨之繞D在同一平面內(nèi)旋轉(zhuǎn))，利用該運(yùn)輸裝置可以將貨物從地面D處沿DCA運(yùn)送至A處，貨物從D處至C處運(yùn)行速度為v，從C處至A處運(yùn)行速度為3v.為了使運(yùn)送貨物的時間t最短，需在運(yùn)送前調(diào)整運(yùn)輸裝置中DCB的大小(1)當(dāng)變化時，試將貨物運(yùn)行的時間t表示成的函數(shù)(用含有v和l的式子表示)；(2)當(dāng)t最小時，C點(diǎn)應(yīng)設(shè)計在AB的什么位置？解(1)在BCD中，BCD，B，BDl，BC，CD，ACABBCl，則t(<<)(2)t(1).令m()，(，)，則m().令m()0，得cos ，設(shè)cos 0，0(，)，則(，0)時，m()<0；當(dāng)(0，)時，m()>0，當(dāng)cos 時，m()取得最小值2，此時BCl.故當(dāng)BCl時貨物運(yùn)行時間最短.