21.2.3 一元二次方程的根的判別式各位老師：你們好！我是來(lái)自甘肅省蘭州市蘭化第一中學(xué)的數(shù)學(xué)教師宋慶萍，今天我說(shuō)課的內(nèi)容是：人教社九年義務(wù)教育四年制初中代數(shù)第三冊(cè)第十二章第三節(jié)“一元二次方程的根的判別式”。下面將從三個(gè)方面來(lái)匯報(bào)我是如何分析教材和設(shè)計(jì)教學(xué)學(xué)教程的。一、教材分析方面： 1、本節(jié)教材的地位及作用：“一元二次方程的根的判別式”一節(jié)，是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)一元二次方程的解法，并對(duì)b2-4ac的作用有所了解的基礎(chǔ)上，來(lái)進(jìn)一步研究它的作用的一個(gè)重要理論內(nèi)容，它是前面知識(shí)的深化與總結(jié)。它在整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)中占有重要的地位，既可以根據(jù)它來(lái)判斷一元二次方程的根的情況，又可以為今后研究不等式，二次函數(shù)，二次曲線等奠定基礎(chǔ)，并且可以解決許多其它問(wèn)題。通過(guò)這一節(jié)的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和觀察、分析、歸納的能力，以及邏輯思維能力、推理論證能力，并向?qū)W生滲透轉(zhuǎn)化和分類的數(shù)學(xué)思想，滲透數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美。2、教學(xué)內(nèi)容的確定：本節(jié)課的主要內(nèi)容是：一元二次方程根的判別式的意義，定理、逆定理及其應(yīng)用，對(duì)定理的引出我改變了教材中直接推證的方法，而是通過(guò)設(shè)置懸念讓學(xué)生解三種不同的方程的親身感受來(lái)發(fā)現(xiàn)定理，這樣使學(xué)生感到自然、易于授受，對(duì)教材中的例題則有所增加，例題的設(shè)置由淺入深，這樣安排符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，同時(shí)，使學(xué)習(xí)內(nèi)容充實(shí)，不單調(diào)。3、教學(xué)目的；依據(jù)教學(xué)大綱和對(duì)教材的分析，以及結(jié)合學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)，本節(jié)課的教學(xué)目的是：（1）使學(xué)生理解一元二次方程的根的判別式概念；（2）能運(yùn)用根的判別式在不解方程的前提下，判別方程根的情況，和進(jìn)行有關(guān)的推理證明；（3）會(huì)運(yùn)用根的判別式求一元二次方程中字母系數(shù)的取值范圍；（4）培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和邏輯思維能力以及推理論證能力；（5）向?qū)W生滲透分類的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美。4、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)及關(guān)鍵：重點(diǎn)：根的判別式定理及逆定理的正確理解和運(yùn)用；難點(diǎn)：根的判別式定理及逆定理的運(yùn)用。關(guān)鍵：對(duì)根的判別式定理及其逆定理使用條件的透徹理解。二、教法與學(xué)法：本著“以學(xué)生發(fā)展為本”的教育理念，同時(shí)也為了使學(xué)生都能積極地參與到課堂教學(xué)中，發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，本節(jié)課主要采用了引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)、講練結(jié)合的教學(xué)方法，教法與學(xué)法設(shè)計(jì)了以下八個(gè)層次；序號(hào)教 師學(xué) 生1設(shè)置懸念，引發(fā)興趣爭(zhēng)先恐后，欲解疑團(tuán)2設(shè)計(jì)練習(xí)，創(chuàng)設(shè)情境動(dòng)手解題，親身感知3啟發(fā)引導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)結(jié)論觀察分析、得出結(jié)論4引導(dǎo)學(xué)生，理論驗(yàn)證閱讀理解，自學(xué)教材5揭示定理加深認(rèn)識(shí)6應(yīng)用定理，解決問(wèn)題鞏固應(yīng)用，形成技能7歸納小結(jié)整體把握8布置作業(yè)鞏固提高以上八個(gè)層次，是按照“實(shí)踐認(rèn)識(shí)實(shí)踐”的認(rèn)知規(guī)律設(shè)計(jì)的，它增加了學(xué)生參與的機(jī)會(huì)和體驗(yàn)獲取知識(shí)過(guò)程的時(shí)間。從而有效地調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。三、教學(xué)過(guò)程<一>、設(shè)置懸念，引發(fā)興趣：【教師】：同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了怎么解一元二次方程，對(duì)嗎？那么，現(xiàn)在宋老師這兒還有一手絕活，就是：我隨便拿到一個(gè)一元二次方程的題目，我不用具體地去解它，就能很快知道它的根的大致情況，不信呀！同學(xué)們可以隨便地出兩個(gè)題考考我?！緦W(xué)生】【說(shuō)明】這樣設(shè)計(jì)，能馬上激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲，為后面發(fā)現(xiàn)結(jié)論創(chuàng)造一個(gè)最佳的心理狀態(tài)。<二>設(shè)計(jì)練習(xí)，創(chuàng)設(shè)情境；【教師】你們一定很想知道我的絕活是怎么回事吧？那么好，現(xiàn)在就請(qǐng)同學(xué)們用公式法解以下三個(gè)一無(wú)二次方程；你們會(huì)很快發(fā)現(xiàn)我的奧秘。用公式法解一元二次方程（用投影儀打出）(1)X2+3x+1=0 (2)4X2-4x+1=0 (3)X2-2x+5=0(注：找三名學(xué)生板演，其余學(xué)生在位上做)【學(xué)生】【說(shuō)明】這樣設(shè)計(jì)，使學(xué)生親身感知一元二次方程根的情況，培養(yǎng)了學(xué)生的探索精神，變“老師教”為“自己鉆”，從而發(fā)揮了學(xué)生的主觀能動(dòng)性。 <三>啟發(fā)引導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)結(jié)論：【教師】請(qǐng)同學(xué)們觀察這三個(gè)方程的解題過(guò)程，可以發(fā)現(xiàn)：在把系數(shù)代入求根公式之前，每題都是先確定了a、b、c的值，然后求出了b2-4ac的值，為什么要這樣寫呢？【學(xué)生】【教師】（1）由此可見：在解一元二次方程aX2+bx+c=0(a0)時(shí)，代數(shù)式b2-4ac起著重要的作用，顯然我們可以根據(jù)b2-4ac的值符號(hào)來(lái)判斷一元二次方程aX2+bx+c=0的根的情況，因此，我們把b2-4ac叫做一元二次方程的根的判別式，通常用符號(hào)“（讀作delta，它是希臘字母）”來(lái)表示，即=b2-4ac。我們說(shuō)在今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中還會(huì)遇到：用一個(gè)簡(jiǎn)單的符號(hào)來(lái)表示一個(gè)數(shù)學(xué)式子的情況，同學(xué)們要逐漸適應(yīng)這一點(diǎn)。（2）注意：，應(yīng)= b2-4ac。（3）通過(guò)解這三個(gè)方程，同學(xué)們可以發(fā)現(xiàn)一元二次方程根的情況有哪幾種，誰(shuí)能總結(jié)出來(lái)？【學(xué)生】【說(shuō)明】：這樣設(shè)計(jì)（1）是為了讓學(xué)生明白：b2-4ac的值的符號(hào)在解一元二次方程中所起的重要作用，從而很自然地引出了根的判別式概念。（2）是為了培養(yǎng)學(xué)生從具體到抽象的觀察、分析與概括能力并使學(xué)生從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)，真正體驗(yàn)自己發(fā)現(xiàn)結(jié)論的成功樂趣。<四>引導(dǎo)學(xué)生，理論驗(yàn)證： 【教師】一元二次方程根的情況果真有三種嗎？請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真閱讀課本P26-27正數(shù)第六行的內(nèi)容，書上從理論方面給我們做了很好的解釋。【學(xué)生】【說(shuō)明】這樣設(shè)計(jì)是為了培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，養(yǎng)成嚴(yán)格論證問(wèn)題的習(xí)慣以及自學(xué)能力的培養(yǎng)。<五>揭示定理：【教師】（1）由此我們就得出了：關(guān)于一元二次方程aX2+bx+c=0(a0)根的判別式定理：在一元二次方程aX2+bx+c=0(a0)中，=b2-4ac若0時(shí)，則方程有（兩個(gè)）實(shí)數(shù)根若0 則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根若 =0 則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根若0則方程沒有實(shí)數(shù)根（2）我們說(shuō)：這個(gè)定理的逆命題也成立，即有如下的逆定理：在一元二次方程aX2+bx+c=0(a0)中，=b2-4ac若方程有（兩個(gè)）實(shí)數(shù)根，則0若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則0 若方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根， 則=0若方程沒有實(shí)數(shù)根， 則0（3）定理與逆定理的用途不同定理的用途是：在不解方程的情況下，根據(jù)值的符號(hào)，用定理來(lái)判斷方程根的情況。逆定理的用途是：在已知方程根的情況下，用逆定理來(lái)確定值的符號(hào)，進(jìn)而可求出系數(shù)中某些字母的取值范圍。（4）注意運(yùn)用定理和逆定理時(shí)，必須把所給的方程化成一般形式后方可使用?！菊f(shuō)明】這樣設(shè)計(jì)是為了培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)闡述發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，如何將感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)，以及加深學(xué)生對(duì)兩個(gè)定理的認(rèn)識(shí)，為定理及逆定理的正確運(yùn)用做好鋪墊。<六>應(yīng)用定理，解決問(wèn)題：【教師】下面我們就來(lái)學(xué)習(xí)兩個(gè)定理的應(yīng)用。例1：不解方程判別下列方程根的情況。1> 2X2+3X-4=0 2> 16g2+9=24y3>5(X2+1)-7x=0 4> X2+2分析；要判別方程根的情況，根據(jù)定理可知；就是要確定值的符號(hào)，解：略小結(jié)（1）綜上可知：運(yùn)用根的判別式定理時(shí)，必須先把方程化為一般形式，并認(rèn)準(zhǔn)a、b、c的值；（2）在確定值的符號(hào)時(shí)，可不必算出的具體數(shù)值，只要能確定出值的符號(hào)即可。例如：對(duì)于第2）小題中的值可作如下處理，比較簡(jiǎn)便，=(-24)2-4×16×9=242-22×42×32=242-242=0(3)由此可知：判別方程根的情況時(shí)，不必求出方程的根。學(xué)生練習(xí)：P28/3、4、5補(bǔ)充練習(xí)：不解方程，判別下列方程根的情況，（2m2+1）X2-2mx+1=0例2：求證：關(guān)于X的方程（m2+1）X2-2mx+(m2+4)=0,沒有實(shí)數(shù)根。分析：提出兩個(gè)問(wèn)題：1>是誰(shuí)決定了方程有無(wú)實(shí)數(shù)根？2>現(xiàn)在要證方程無(wú)實(shí)數(shù)根只要證明什么就行了？解：略小結(jié)（1）運(yùn)用根的判別式定理來(lái)判斷：含有字母系數(shù)的一元二次方程根的情況的一般步驟是：把方程化為一般形式，確定a、b、c的值，計(jì)算；用配方法等將變形，使之符號(hào)明朗化后，判斷的符號(hào)。根據(jù)根的判別式定理，寫出結(jié)論。（2）注意關(guān)于的變形；一般情況下，由配方或因式分解后能變形成a2,-a2,a2+2,-(a2+2),(a+2)2,-(a+2)2等形式；那么的符號(hào)就明朗了，即可判斷其符號(hào)。學(xué)生練習(xí)；P29/B3注意：以上兩組練習(xí)時(shí)，學(xué)生板演，其余學(xué)生在位上做；板演后如果發(fā)現(xiàn)有錯(cuò)或有其他解法，下面同學(xué)可主動(dòng)上去糾正或?qū)懗鲎约旱牟煌夥?，然后教師進(jìn)行講評(píng)。思考題：已知關(guān)于X的方程X2+2(a+1)x+(a2+4a-5)=0，當(dāng)a取何正整數(shù)時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根？分析：要解決這個(gè)問(wèn)題，應(yīng)先假設(shè)方程有實(shí)根，然后根據(jù)根的判別式的逆定理，得出0，再由0解這個(gè)不等式，從而求出a的取值范圍，進(jìn)而得出a的正整數(shù)解。解：略注意：本思考題是讓學(xué)生自己分析，教師只幫助學(xué)生理清思路，最后讓學(xué)生自己完成?！菊f(shuō)明】這樣設(shè)計(jì)，主要是為了給學(xué)生創(chuàng)造一個(gè)知識(shí)運(yùn)用遷移及鞏固的機(jī)會(huì)，同時(shí)也為了吸引和調(diào)動(dòng)全班同學(xué)參與到積極動(dòng)腦，各抒已見的活躍氣氛中來(lái)。<七>歸納小結(jié)【教師】（1）今天我們是在一元二次方程解法的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)了根的判別式的應(yīng)用，它在整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)中占有重要地位，是中考命題的重要知識(shí)點(diǎn)，所以必須牢固掌握好它。（2）注意根的判別式定理與逆定理的使用區(qū)別：一般當(dāng)已知值的符號(hào)時(shí)，使用定理；當(dāng)已知方程根的情況時(shí)，使用逆定理。（3）一元二次方程aX2+bx+c=0(a0)（=b2-4ac）判別式情況根 的 情 況定 理 與 逆 定 理0X1,X2=0<=>有（兩個(gè)）實(shí)數(shù)根0<=>有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根0X1,X2=0<=>有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根0無(wú)意義, X1,X2不存在0<=>無(wú)實(shí)根【說(shuō)明】這樣設(shè)計(jì)是為了使學(xué)生系統(tǒng)地了解和掌握本節(jié)課的內(nèi)容，與前后知識(shí)的聯(lián)系以及它在教材中的地位，能起到提綱挈領(lǐng)的作用。<八>布置作業(yè)：1、閱讀課本P26-28的內(nèi)容； 2、課本P29習(xí)A2、4、6，B1，2； 3、證明：方程（2m-1）X2+2mx+2=0恒有實(shí)數(shù)根； 4、已知：方程X2+2X-n+1=0沒有實(shí)數(shù)根； 求證：方程X2+bnx=1-2n一定有兩個(gè)不相等的實(shí)根。注（第3、4題供學(xué)有余力的學(xué)生做）【說(shuō)明】這樣設(shè)計(jì)是為了使學(xué)生能鞏固本節(jié)課所學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生自覺學(xué)習(xí)的習(xí)慣，同時(shí)對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生留出自由的發(fā)展空間。6學(xué)習(xí)是一件快樂的事情，大家下載后可以自行修改