新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料第三節(jié)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 考點一三角函數(shù)的定義域和值域 例1(1)求函數(shù)ylg(sin 2x)的定義域；(2)求函數(shù)ycos2xsin x的最大值與最小值自主解答(1)由得3x或0x.函數(shù)ylg(sin 2x)的定義域為.(2)令tsin x，|x|，t.yt2t12，當(dāng)t時，ymax，t時，ymin.函數(shù)ycos2xsin x的最大值為，最小值為.【方法規(guī)律】1三角函數(shù)定義域的求法求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是解簡單的三角不等式，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來求解2三角函數(shù)值域(或最值)的求法求解三角函數(shù)的值域(或最值)常見到以下幾種類型的題目：形如yasin xbcos xc的三角函數(shù)化為yAsin(x)k的形式，再求值域(或最值)；形如yasin2xbsin xc的三角函數(shù)，可先設(shè)sin xt，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(或最值)；形如yasin xcos xb(sin x±cos x)c的三角函數(shù)，可先設(shè)tsin x±cos x，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(或最值)(2013·陜西高考)已知向量a，b(sin x，cos 2x)，xR，設(shè)函數(shù)f(x)a·b. (1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在上的最大值和最小值解：f(x)·(sin x，cos 2x)cos xsin xcos 2xsin 2xcos 2xcossin 2xsincos 2xsin.(1)f(x)的最小正周期為T，即函數(shù)f(x)的最小正周期為.(2)0x，2x.由正弦函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)2x，即x時，f(x)取得最大值1.來源:當(dāng)2x，即x0時，f(0)，當(dāng)2x，即x時，f，故f(x)的最小值為.因此，f(x)在上的最大值為1，最小值為.考點二三角函數(shù)的奇偶性、周期性和對稱性 例2(1)(2013·浙江高考)已知函數(shù)f(x)Acos(x)(A0，0，R)，則“f(x)是奇函數(shù)”是“”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件(2)(2012·福建高考)函數(shù)f(x)sin的圖象的一條對稱軸是()Ax BxCx Dx(3)(2013·江西高考)函數(shù)ysin 2x2sin2x的最小正周期T為_自主解答(1)f(x)是奇函數(shù)時，k(kZ)；時，f(x)AcosAsin x，為奇函數(shù)所以“f(x)是奇函數(shù)”是“”的必要不充分條件(2)法一：(圖象特征)正弦函數(shù)圖象的對稱軸過圖象的最高點或最低點，來源:數(shù)理化網(wǎng)故令xk，kZ，則xk，kZ.取k1，則x.法二：(驗證法)x時，ysin0，不合題意，排除A；x時，ysin，不合題意，排除B；x時，ysin，不合題意，排除D；而x時，ysin1，符合題意，C項正確，故選C.(3)ysin 2x(1cos 2x)2sin，來源:最小正周期T.答案(1)B(2)C(3)【互動探究】本例(2)中函數(shù)f(x)的對稱中心是什么？解：令xk，kZ，則xk，kZ.故函數(shù)f(x)sin的對稱中心為(kZ) 【方法規(guī)律】來源:函數(shù)f(x)Asin(x)的奇偶性、周期性和對稱性(1)若f(x)Asin(x)為偶函數(shù)，則當(dāng)x0時，f(x)取得最大或最小值；若f(x)Asin(x)為奇函數(shù)，則當(dāng)x0時，f(x)0.(2)對于函數(shù)yAsin(x)，其對稱軸一定經(jīng)過圖象的最高點或最低點，對稱中心一定是函數(shù)的零點，因此在判斷直線xx0或點(x0,0)是否是函數(shù)的對稱軸或?qū)ΨQ中心時，可通過檢驗f(x0)的值進(jìn)行判斷1函數(shù)y2sin(3x)的一條對稱軸為x，則_.解析：由ysin x的對稱軸為xk(kZ)，即3×k(kZ)，得k(kZ)又|，所以k0，故.答案：2函數(shù)ycos(3x)的圖象關(guān)于原點成中心對稱圖形，則_.解析：由題意，得ycos(3x)是奇函數(shù)，故k(kZ)答案：k(kZ)高頻考點考點三 三角函數(shù)的單調(diào)性來源:1三角函數(shù)的單調(diào)性是每年高考命題的熱點，題型既有選擇題也有填空題，難度適中，為中低檔題2高考對三角函數(shù)單調(diào)性的考查有以下幾個命題角度：(1)求已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)；(3)利用三角函數(shù)的單調(diào)性求值域(或最值)例3(1)(2012·新課標(biāo)全國卷)已知>0，函數(shù)f(x)sin在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是()A.B.C. D(0,2(2)(2013·安徽高考)已知函數(shù)f(x)4cos x·sin(>0)的最小正周期為.求的值；討論f(x)在區(qū)間上的單調(diào)性自主解答(1)由x，得x，由題意知(kZ)且2×，則且02，故.(2)f(x)4cos x·sin2sin x·cos x2cos2x(sin 2xcos 2x)2sin.因為f(x)的最小正周期為，且>0，從而有，故1.由知，f(x)2sin.若0x，則2x.當(dāng)2x，即0x時，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)2x，即x時，f(x)單調(diào)遞減綜上可知，f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減答案(1)A三角函數(shù)單調(diào)性問題的常見類型及解題策略(1)已知三角函數(shù)解析式求單調(diào)區(qū)間求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間應(yīng)遵循簡單化原則，將解析式先化簡，并注意復(fù)合函數(shù)單調(diào)性規(guī)律“同增異減”；求形如yAsin(x)或yAcos(x)(其中，0)的單調(diào)區(qū)間時，要視“x”為一個整體，通過解不等式求解但如果0，那么一定先借助誘導(dǎo)公式將化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯(2)已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后利用集合間的關(guān)系求解(3)利用三角函數(shù)的單調(diào)性求值域(或最值)形如yAsin(x)b或可化為yAsin(x)b的三角函數(shù)的值域(或最值)問題常利用三角函數(shù)的單調(diào)性解決1若函數(shù)f(x)sin x(0)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則等于()A3 B2 C. D.解析：選Cysin x(0)過原點，當(dāng)0x，即0x時，ysin x是增函數(shù)；當(dāng)x，即x時，ysin x是減函數(shù)由ysin x(0)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減知，故.2求函數(shù)ytan的單調(diào)區(qū)間解：把函數(shù)ytan變?yōu)閥tan.由k<2x<k，kZ，得k<2x<k，kZ，即<x<，kZ.故函數(shù)ytan的單調(diào)減區(qū)間為(kZ)課堂歸納通法領(lǐng)悟2個性質(zhì)周期性與奇偶性(1)周期性函數(shù)yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期為，ytan(x)的最小正周期為.(2)奇偶性三角函數(shù)中奇函數(shù)一般可化為yAsin x或yAtan x的形式，而偶函數(shù)一般可化為yAcos xb的形式3種方法求三角函數(shù)值域(或最值)的方法(1)利用sin x、cos x的有界性(2)形式復(fù)雜的函數(shù)應(yīng)化為yAsin(x)k的形式，逐步分析x的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性寫出函數(shù)的值域(或最值)(3)換元法：把sin x或cos x看作一個整體，可化為求函數(shù)在區(qū)間上的值域(或最值)問題4個注意點研究三角函數(shù)性質(zhì)應(yīng)注意的問題(1)三角函數(shù)的圖象從形上完全反映了三角函數(shù)的性質(zhì)，求三角函數(shù)的定義域、值域時應(yīng)注意利用三角函數(shù)的圖象(2)閉區(qū)間上值域(或最值)問題，首先要在定義域基礎(chǔ)上分析單調(diào)性，含參數(shù)的值域(或最值)問題，要討論參數(shù)對值域(或最值)的影響(3)利用換元法求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性時，要注意x系數(shù)的正負(fù)(4)利用換元法求三角函數(shù)值域(或最值)時要注意三角函數(shù)的有界性，如：ysin2x4sin x5，令tsin x，則y(t2)211，解法錯誤