2019-2020年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教案：第30講 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 課題直線與圓錐曲線的位置關(guān)系（共 3 課時(shí)）修改與創(chuàng)新教學(xué)目標(biāo)1通過圓錐曲線與方程的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想；2掌握直線與圓錐曲線的位置關(guān)系判定及其相關(guān)問題。命題走向近幾年來直線與圓錐曲線的位置關(guān)系在高考中占據(jù)高考解答題壓軸題的位置，且選擇、填空也有涉及，有關(guān)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的題目可能會(huì)涉及線段中點(diǎn)、弦長(zhǎng)等。分析這類問題，往往利用數(shù)形結(jié)合的思想和“設(shè)而不求”的方法，對(duì)稱的方法及韋達(dá)定理等。預(yù)測(cè)xx年高考：1會(huì)出現(xiàn)1道關(guān)于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的解答題；2與直線、圓錐曲線相結(jié)合的綜合型考題，等軸雙曲線基本不出題，坐標(biāo)軸平移或平移化簡(jiǎn)方程一般不出解答題，大多是以選擇題形式出現(xiàn)。教學(xué)準(zhǔn)備多媒體課件教學(xué)過程要點(diǎn)精講1點(diǎn)M(x0，y0)與圓錐曲線C：f(x，y)=0的位置關(guān)系2直線與圓錐曲線的位置關(guān)系直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，從幾何角度可分為三類：無公共點(diǎn)，僅有一個(gè)公共點(diǎn)及有兩個(gè)相異公共點(diǎn)。直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的研究方法可通過代數(shù)方法即解方程組的辦法來研究。因?yàn)榉匠探M解的個(gè)數(shù)與交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是一樣的。直線與圓錐曲線的位置關(guān)系可分為：相交、相切、相離對(duì)于拋物線來說，平行于對(duì)稱軸的直線與拋物線相交于一點(diǎn)，但并不是相切；對(duì)于雙曲線來說，平行于漸近線的直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，但并不相切這三種位置關(guān)系的判定條件可引導(dǎo)學(xué)生歸納為：注意：直線與拋物線、雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)是直線與拋物線、雙曲線相切的必要條件，但不是充分條件3直線與圓錐曲線相交的弦長(zhǎng)公式設(shè)直線l:y=kx+n，圓錐曲線：F(x,y)=0，它們的交點(diǎn)為P1 (x1,y1)，P2 (x2,y2)，且由，消去yax2+bx+c=0（a0），=b2 4ac。則弦長(zhǎng)公式為：d=。焦點(diǎn)弦長(zhǎng)：（點(diǎn)是圓錐曲線上的任意一點(diǎn)，是焦點(diǎn)，是到相應(yīng)于焦點(diǎn)的準(zhǔn)線的距離，是離心率）。典例解析題型1：直線與橢圓的位置關(guān)系例1已知橢圓：，過左焦點(diǎn)F作傾斜角為的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，求弦AB的長(zhǎng)。解析：a=3,b=1,c=2，則F（-2，0）。由題意知：與聯(lián)立消去y得：。設(shè)A（、B（，則是上面方程的二實(shí)根，由違達(dá)定理，又因?yàn)锳、B、F都是直線上的點(diǎn)，所以|AB|=點(diǎn)評(píng)：也可讓學(xué)生利用“焦半徑”公式計(jì)算。例2中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F1（0，）的橢圓截直線所得弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，求橢圓的方程。解析：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由F1（0，）得把直線方程代入橢圓方程整理得：。設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)為，則由根與系數(shù)的關(guān)系得：，又AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，與方程聯(lián)立可解出故所求橢圓的方程為：。點(diǎn)評(píng)：根據(jù)題意，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，與直線方程聯(lián)立解方程組，利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求出中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再由F1（0，）知，c=，最后解關(guān)于a、b的方程組即可。例3直線與曲線 的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ ）(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析：將代入得：。，顯然該關(guān)于的方程有兩正解，即x有四解，所以交點(diǎn)有4個(gè)，故選擇答案D。點(diǎn)評(píng)：本題考查了方程與曲線的關(guān)系以及絕對(duì)值的變換技巧，同時(shí)對(duì)二次方程的實(shí)根分布也進(jìn)行了簡(jiǎn)單的考查。例4已知橢圓C的焦點(diǎn)分別為F1（，0）和F2（2，0），長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，設(shè)直線y=x+2交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)。解析：設(shè)橢圓C的方程為，由題意a=3，c=2，于是b=1.橢圓C的方程為y21由得10x236x270，因?yàn)樵摱畏匠痰呐袆e式0，所以直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1x2，故線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（）點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系及線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式。題型2：直線與雙曲線的位置關(guān)系例5（1）過點(diǎn)與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有幾條，分別求出它們的方程。（2）直線與雙曲線相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)，A、B在雙曲線的同一支上？當(dāng)為何值時(shí)，A、B分別在雙曲線的兩支上？解析：（1）解：若直線的斜率不存在時(shí)，則，此時(shí)僅有一個(gè)交點(diǎn)，滿足條件；若直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為則， ，當(dāng)時(shí)，方程無解，不滿足條件；當(dāng)時(shí)，方程有一解，滿足條件；當(dāng)時(shí)，令，化簡(jiǎn)得：無解，所以不滿足條件；所以滿足條件的直線有兩條和。（2）把代入整理得：（1）當(dāng)時(shí)，。由>0得且時(shí)，方程組有兩解，直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)。若A、B在雙曲線的同一支，須>0 ，所以或。故當(dāng)或時(shí)，A、B兩點(diǎn)在同一支上；當(dāng)時(shí)，A、B兩點(diǎn)在雙曲線的兩支上。點(diǎn)評(píng)：與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有兩種。一種是與漸近線平行的兩條與雙曲線交于一點(diǎn)的直線。另一種是與雙曲線相切的直線也有兩條。例5（1）求直線被雙曲線截得的弦長(zhǎng)；（2）求過定點(diǎn)的直線被雙曲線截得的弦中點(diǎn)軌跡方程。解析：由得得（*）設(shè)方程（*）的解為，則有 得，（2）方法一：若該直線的斜率不存在時(shí)與雙曲線無交點(diǎn)，則設(shè)直線的方程為，它被雙曲線截得的弦為對(duì)應(yīng)的中點(diǎn)為， 由得（*）設(shè)方程（*）的解為，則，且，得或。方法二：設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)為，弦中點(diǎn)為，則得：， 即， 即（圖象的一部分）點(diǎn)評(píng)：（1）弦長(zhǎng)公式；（2）有關(guān)中點(diǎn)弦問題的兩種處理方法。例7過雙曲線的一焦點(diǎn)的直線垂直于一漸近線，且與雙曲線的兩支相交，求該雙曲線離心率的范圍。解析：設(shè)雙曲線的方程為，漸近線，則過的直線方程為，則，代入得，即得，即得到。點(diǎn)評(píng)：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系經(jīng)常和圓錐曲線的幾何要素建立起對(duì)應(yīng)關(guān)系，取值范圍往往與判別式的取值建立聯(lián)系。題型3：直線與拋物線的位置關(guān)系例8已知拋物線方程為，直線過拋物線的焦點(diǎn)F且被拋物線截得的弦長(zhǎng)為3，求p的值。解析：設(shè)與拋物線交于由距離公式|AB|=由從而由于p>0，解得點(diǎn)評(píng)：方程組有兩組不同實(shí)數(shù)解或一組實(shí)數(shù)解則相交；有兩組相同實(shí)數(shù)解則相切；無實(shí)數(shù)解則相離。例9直線y=x1被拋物線y2=4x截得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是_.答案：（3，2）解法一：設(shè)直線y=x1與拋物線y2=4x交于A(x1，y1),B（x2，y2）,其中點(diǎn)為P（x0，y0）。由題意得，（x1）2=4x，x26x+1=0。x0=3.y0=x01=2.P（3，2）。解法二：y22=4x2，y12=4x1，y22y12=4x24x1，=4.y1+y2=4，即y0=2，x0=y0+1=3。故中點(diǎn)為P（3，2）。點(diǎn)評(píng)：本題考查曲線的交點(diǎn)與方程的根的關(guān)系.同時(shí)應(yīng)注意解法一中的縱坐標(biāo)與解法二中的橫坐標(biāo)的求法。例10拋物線方程為y2=p（x+1）（p0），直線x+y=m與x軸的交點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線的右邊.（1）求證：直線與拋物線總有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)為Q、R，OQOR，求p關(guān)于m的函數(shù)f（m）的表達(dá)式；（3）（文）在（2）的條件下，若拋物線焦點(diǎn)F到直線x+y=m的距離為，求此直線的方程；（理）在（2）的條件下，若m變化，使得原點(diǎn)O到直線QR的距離不大于，求p的值的范圍.解：（1）拋物線y2=p（x+1）的準(zhǔn)線方程是x=1，直線x+y=m與x軸的交點(diǎn)為（m，0），由題設(shè)交點(diǎn)在準(zhǔn)線右邊，得m1，即4m+p+40.由得x2（2m+p）x+（m2p）=0.而判別式=（2m+p）24（m2p）=p（4m+p+4）.又p0及4m+p+40，可知0.因此，直線與拋物線總有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）設(shè)Q、R兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x1，y1）、（x2，y2），由（1）知，x1、x2是方程x2（2m+p）x+m2p=0的兩根，x1+x2=2m+p，x1x2=m2p.由OQOR，得kOQkOR=1，即有x1x2+y1y2=0.又Q、R為直線x+y=m上的點(diǎn)，因而y1=x1+m，y2=x2+m.于是x1x2+y1y2=2x1x2m（x1+x2）+m2=2（m2p）m（2m+p）+m2=0，p=f（m）=，由得m2，m0；（3）（文）由于拋物線y2=p（x+1）的焦點(diǎn)F坐標(biāo)為（1+，0），于是有，即|p4m4|=4.又p=|=4.解得m1=0，m2=，m3=4，m4=.但m0且m2，因而舍去m1、m2、m3，故所求直線方程為3x+3y+4=0.（理）解法一：由于原點(diǎn)O到直線x+y=m的距離不大于，于是，|m|1.由（2），知m2且m0，故m1，0）（0，1.由（2），知f（m）=（m+2）+4，當(dāng)m1，0）時(shí)，任取m1、m2，0m1m21，則f（m1）f（m2）=（m1m2）+（）=（m1m2）1.由0m1m21，知0（m1+2）（m2+2）4，10.又由m1m20知f（m1）f（m2）因而f（m）為減函數(shù).可見，當(dāng)m1，0）時(shí)，p（0，1.同樣可證，當(dāng)m（0，1時(shí)，f（m）為增函數(shù)，從而p（0，.解法二：由解法一知，m1，0）（0，1.由（2）知p=f（m）=.設(shè)t=，g（t）=t+2t2，則t（，11，+），又g（t）=2t2+t=2（t+）2.當(dāng)t（，1時(shí)，g（t）為減函數(shù)，g（t）1，+）.當(dāng)t1，+）時(shí)，g（t）為增函數(shù)，g（t）3，+）.因此，當(dāng)m1，0時(shí)，t（，1，p=（0，1；當(dāng)m（0，1時(shí)，t1，+），p（0，.點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的性質(zhì)與方程，拋物線與直線的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離，函數(shù)與不等式的知識(shí)，以及解決綜合問題的能力。例11已知拋物線y2=4x，過點(diǎn)P(4，0)的直線與拋物線相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn)，則y12+y22的最小值是 。解析：顯然0，又4（）8，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以所求的值為32。點(diǎn)評(píng)：該題考查直線與拋物線位置關(guān)系下的部分求值問題，結(jié)合基本不等式求得最終結(jié)果。思維總結(jié)1加強(qiáng)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題的復(fù)習(xí)由于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一直為高考的熱點(diǎn)。這類問題常涉及到圓錐曲線的性質(zhì)和直線的基本知識(shí)點(diǎn)、線段的中點(diǎn)、弦長(zhǎng)、垂直問題，因此分析問題時(shí)利用數(shù)形結(jié)合思想來設(shè)。而不求法與弦長(zhǎng)公式及韋達(dá)定理聯(lián)系去解決。這樣就加強(qiáng)了對(duì)數(shù)學(xué)各種能力的考查；2關(guān)于直線與圓錐曲線相交弦則結(jié)合韋達(dá)定理采用設(shè)而不求法。利用引入一個(gè)參數(shù)表示動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)x、y，間接把它們聯(lián)系起來，減少變量、未知量采用參數(shù)法。有些題目還常用它們與平面幾何的關(guān)系，利用平面幾何知識(shí)會(huì)化難為易，化繁為簡(jiǎn)，收到意想不到的解題效果；3直線與圓錐曲線有無公共點(diǎn)或有幾個(gè)公共點(diǎn)的問題，實(shí)際上是研究它們的方程組成的方程是否有實(shí)數(shù)解成實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)問題，此時(shí)要注意用好分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法；4當(dāng)直線與圓錐曲線相交時(shí) 涉及弦長(zhǎng)問題，常用“韋達(dá)定理法”設(shè)而不求計(jì)算弦長(zhǎng)(即應(yīng)用弦長(zhǎng)公式)；涉及弦長(zhǎng)的中點(diǎn)問題，常用“點(diǎn)差法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化。同時(shí)還應(yīng)充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化，往往就能事半功倍；板書設(shè)計(jì)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系1位置關(guān)系無公共點(diǎn)，僅有一個(gè)公共點(diǎn)及有兩個(gè)相異公共點(diǎn)。2弦長(zhǎng)公式則弦長(zhǎng)公式：d=。教學(xué)反思